Strona 1 Wybrane wzory matematyczne na egzamin maturalny z matematyki Strona 2 Zespół redakcyjny: Hubert Rauch (CKE) Mariusz Mroczek (CKE) Marian Pacholak (OKE Warszawa) dr Wioletta Kozak (CKE) dr Marcin Smolik (CKE) dr Roman Wosiek Ewa Ludwikowska (OKE Gdańsk) Joanna Berner (OKE Warszawa) Piotr Ludwikowski (OKE Kraków) Recenzenci: dr hab. Jan Jakóbowski (UWM) Agata Górniak (recenzja nauczycielska) Strona 3 Spis treści 1. Wartość bezwzględna liczby .......................................................................................... 4 2. Potęgi i pierwiastki.......................................................................................................... 4 3. Logarytmy ...................................................................................................................... 5 4. Silnia. Współczynnik dwumianowy ................................................................................. 6 5. Wzór dwumianowy Newtona .......................................................................................... 7 6. Wzory skróconego mnożenia ......................................................................................... 7 7. Funkcja kwadratowa ....................................................................................................... 7 8. Ciągi ............................................................................................................................... 9 9. Trygonometria ...............................................................................................................10 10. Planimetria ....................................................................................................................14 11. Geometria analityczna na płaszczyźnie kartezjańskiej ..................................................21 12. Stereometria..................................................................................................................24 13. Kombinatoryka ..............................................................................................................26 14. Rachunek prawdopodobieństwa ....................................................................................27 15. Parametry danych statystycznych .................................................................................29 16. Pochodna funkcji ...........................................................................................................30 17. Tablica wartości funkcji trygonometrycznych .................................................................32 Strona 4 1. WARTOŚĆ BEZWZGLĘDNA LICZBY  Wartość bezwzględną liczby rzeczywistej 𝑥 definiujemy wzorem: dla 𝑥 ≥ 0 |𝑥| = { 𝑥 −𝑥 dla 𝑥 < 0 Liczba |𝑥| jest to odległość na osi liczbowej punktu 𝑥 od punktu 0.  Dla dowolnej liczby 𝑥 mamy: |𝑥| ≥ 0 |𝑥| = 0 wtedy i tylko wtedy, gdy 𝑥 = 0 | − 𝑥| = |𝑥| Dla dowolnych liczb rzeczywistych 𝑥 , 𝑦 mamy: |𝑥 + 𝑦| ≤ |𝑥| + |𝑦| |𝑥 − 𝑦| ≤ |𝑥| + |𝑦| |𝑥 ⋅ 𝑦| = |𝑥| ⋅ |𝑦| Ponadto, jeśli 𝑦 ≠ 0, to: 𝑥 |𝑥| | |= 𝑦 |𝑦|  Dla dowolnych liczb rzeczywistych 𝑎 oraz 𝑟 ≥ 0 mamy: |𝑥 − 𝑎| ≤ 𝑟 wtedy i tylko wtedy, gdy 𝑎−𝑟 ≤𝑥 ≤𝑎+𝑟 |𝑥 − 𝑎| ≥ 𝑟 wtedy i tylko wtedy, gdy 𝑥 ≤ 𝑎 − 𝑟 lub 𝑥 ≥ 𝑎 + 𝑟 2. POTĘGI I PIERWIASTKI  Niech 𝑛 będzie liczbą całkowitą dodatnią. Dla dowolnej liczby rzeczywistej 𝑎 definiujemy jej 𝑛-tą potęgę: 𝑎𝑛 = ⏟ 𝑎 ⋅𝑎 ⋅…⋅ 𝑎 𝑛 razy 𝑛  Pierwiastkiem arytmetycznym √𝑎 stopnia 𝑛 z liczby 𝑎 ≥ 0 nazywamy liczbę 𝑏 ≥ 0 taką, że 𝑏 𝑛 = 𝑎 . W szczególności, dla każdej liczby rzeczywistej 𝑎 prawdziwa jest równość: √𝑎2 = |𝑎| 4 Strona 5 𝑛 Jeżeli 𝑎 < 0 oraz liczba 𝑛 jest nieparzysta, to √𝑎 oznacza liczbę 𝑏 < 0 taką, że 𝑏𝑛 = 𝑎. W zbiorze liczb rzeczywistych pierwiastki stopni parzystych z liczb ujemnych nie istnieją.  Niech 𝑚, 𝑛 będą liczbami całkowitymi dodatnimi. Definiujemy: 1  dla 𝑎 ≠ 0: 𝑎−𝑛 = 𝑎𝑛 oraz 𝑎0 = 1 𝑚 𝑛  dla 𝑎 ≥ 0: 𝑎 𝑛 = √𝑎 𝑚 𝑚 1  dla 𝑎 > 0: 𝑎– 𝑛 = 𝑛√ 𝑚 𝑎  Niech 𝑟, 𝑠 będą dowolnymi liczbami rzeczywistymi. Jeśli 𝑎 > 0 i 𝑏 > 0, to: 𝑎𝑟 𝑎𝑟 ⋅ 𝑎 𝑠 = 𝑎𝑟+𝑠 (𝑎𝑟 )𝑠 = 𝑎𝑟⋅𝑠 = 𝑎𝑟−𝑠 𝑎𝑠 𝑎 𝑟 𝑎𝑟 (𝑎 ⋅ 𝑏)𝑟 = 𝑎𝑟 ⋅ 𝑏 𝑟 ( ) = 𝑟 𝑏 𝑏 Jeżeli wykładniki 𝑟, 𝑠 są liczbami całkowitymi, to powyższe wzory obowiązują dla wszystkich liczb 𝑎 ≠ 0 i 𝑏 ≠ 0. 3. LOGARYTMY  Niech 𝑎 > 0 i 𝑎 ≠ 1. Logarytmem log 𝑎 𝑏 liczby 𝑏 > 0 przy podstawie 𝑎 nazywamy wykładnik 𝑐 potęgi, do której należy podnieść 𝑎, aby otrzymać 𝑏: log 𝑎 𝑏 = 𝑐 wtedy i tylko wtedy, gdy 𝑎𝑐 = 𝑏 Równoważnie: 𝑎log𝑎 𝑏 = 𝑏  Dla dowolnych liczb rzeczywistych 𝑥 > 0, 𝑦 > 0 oraz 𝑟 prawdziwe są równości: log 𝑎 (𝑥 ⋅ 𝑦) = log 𝑎 𝑥 + log 𝑎 𝑦 log 𝑎 𝑥 𝑟 = 𝑟 ⋅ log 𝑎 𝑥 𝑥 log 𝑎 ( ) = log 𝑎 𝑥 − log 𝑎 𝑦 𝑦 5 Strona 6 Wzór na zamianę podstawy logarytmu: jeżeli 𝑎 > 0, 𝑎 ≠ 1, 𝑏 > 0, 𝑏 ≠ 1 oraz 𝑐 > 0, to log 𝑎 𝑐 log 𝑏 𝑐 = log 𝑎 𝑏 W szczególności: 1 log 𝑎 𝑏 = log 𝑏 𝑎 Zapisy log 𝑥 oraz lg 𝑥 oznaczają log10 𝑥 . 4. SILNIA. WSPÓŁCZYNNIK DWUMIANOWY  Silnią liczby całkowitej dodatniej 𝑛 nazywamy iloczyn kolejnych liczb całkowitych od 1 do 𝑛 włącznie: 𝑛! = 1 ⋅ 2 ⋅ … ⋅ 𝑛 Ponadto przyjmujemy umowę, że 0! = 1. Dla dowolnej liczby całkowitej 𝑛 ≥ 0 prawdziwa jest równość: (𝑛 + 1)! = 𝑛! ⋅ (𝑛 + 1)  Dla liczb całkowitych 𝑛, 𝑘 spełniających warunki 0 ≤ 𝑘 ≤ 𝑛 definiujemy współczynnik 𝑛 dwumianowy ( ) (symbol Newtona): 𝑘 𝑛 𝑛! ( )= 𝑘 𝑘! (𝑛 − 𝑘)! Prawdziwe są równości: 𝑛 𝑛(𝑛 − 1)(𝑛 − 2) ⋅ … ⋅ (𝑛 − 𝑘 + 1) ( )= 𝑘 𝑘! 𝑛 𝑛 𝑛 𝑛 ( )=1 ( )=𝑛 ( )=𝑛 ( )=1 0 1 𝑛−1 𝑛 𝑛 𝑛 𝑛 𝑛 𝑛+1 ( )=( ) ( )+( )=( ) 𝑘 𝑛−𝑘 𝑘 𝑘+1 𝑘+1 6 Strona 7 5. WZÓR DWUMIANOWY NEWTONA Dla dowolnej liczby całkowitej dodatniej 𝑛 oraz dla dowolnych liczb rzeczywistych 𝑎, 𝑏 mamy: 𝑛 𝑛 𝑛 𝑛 𝑛 (𝑎 + 𝑏)𝑛 = ( ) 𝑎𝑛 + ( ) 𝑎𝑛−1 𝑏 + … + ( ) 𝑎𝑛−𝑘 𝑏 𝑘 + … + ( ) 𝑎𝑏 𝑛−1 + ( ) 𝑏 𝑛 0 1 𝑘 𝑛−1 𝑛 Dla dowolnej liczby całkowitej dodatniej 𝑛 oraz dla dowolnych liczb rzeczywistych 𝑎, 𝑏: 𝑛 𝑛 𝑛 𝑛 (𝑎 − 𝑏)𝑛 = ( ) 𝑎𝑛 − ( ) 𝑎𝑛−1 𝑏 + … + (−1)𝑘 ( ) 𝑎𝑛−𝑘 𝑏 𝑘 + … + (−1)𝑛 ( ) 𝑏 𝑛 0 1 𝑘 𝑛 6. WZORY SKRÓCONEGO MNOŻENIA Dla dowolnych liczb rzeczywistych 𝑎, 𝑏: (𝑎 + 𝑏)2 = 𝑎2 + 2𝑎𝑏 + 𝑏 2 (𝑎 + 𝑏)3 = 𝑎3 + 3𝑎2 𝑏 + 3𝑎𝑏 2 + 𝑏 3 (𝑎 − 𝑏)2 = 𝑎2 − 2𝑎𝑏 + 𝑏 2 (𝑎 − 𝑏)3 = 𝑎3 − 3𝑎2 𝑏 + 3𝑎𝑏 2 − 𝑏 3 Dla dowolnej liczby całkowitej dodatniej 𝑛 oraz dowolnych liczb rzeczywistych 𝑎, 𝑏 mamy: 𝑎𝑛 − 𝑏 𝑛 = (𝑎 − 𝑏)(𝑎𝑛−1 + 𝑎𝑛−2 𝑏 + … + 𝑎𝑛−𝑘 𝑏 𝑘−1 + … + 𝑎𝑏 𝑛−2 + 𝑏 𝑛−1 ) W szczególności: 𝑎2 − 𝑏 2 = (𝑎 − 𝑏)(𝑎 + 𝑏) 𝑎2 − 1 = (𝑎 − 1)(𝑎 + 1) 𝑎3 − 𝑏 3 = (𝑎 − 𝑏)(𝑎2 + 𝑎𝑏 + 𝑏 2 ) 𝑎3 − 1 = (𝑎 − 1)(𝑎2 + 𝑎 + 1) 𝑎3 + 𝑏 3 = (𝑎 + 𝑏)(𝑎2 − 𝑎𝑏 + 𝑏 2 ) 𝑎3 + 1 = (𝑎 + 1)(𝑎2 − 𝑎 + 1) 𝑎𝑛 − 1 = (𝑎 − 1)(𝑎𝑛−1 + 𝑎𝑛−2 + … + 𝑎 + 1) 7. FUNKCJA KWADRATOWA  Wyróżnikiem Δ trójmianu kwadratowego 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 (𝑎 ≠ 0, 𝑏, 𝑐 ∈ ℝ) zmiennej rzeczywistej 𝑥 nazywamy liczbę Δ = 𝑏 2 − 4𝑎𝑐  Postać ogólna funkcji kwadratowej: 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 , 𝑎 ≠ 0, 𝑏, 𝑐 ∈ ℝ, 𝑥 ∈ ℝ . 7 Strona 8  Wykresem funkcji kwadratowej jest parabola o wierzchołku w punkcie 𝑏 𝛥 𝑊 = (𝑝, 𝑞) gdzie 𝑝=− , 𝑞=− 2𝑎 4𝑎 Gdy 𝑎 > 0, to ramiona paraboli skierowane są ku górze. Gdy 𝑎 < 0 ramiona paraboli skierowane są ku dołowi.  Liczba miejsc zerowych funkcji kwadratowej 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 (liczba pierwiastków trójmianu kwadratowego, liczba rzeczywistych rozwiązań równania kwadratowego 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0) zależy od wyróżnika Δ: 1. jeżeli 𝚫 > 𝟎, to funkcja kwadratowa ma dwa miejsca zerowe (trójmian kwadratowy ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste, równanie kwadratowe ma dwa rozwiązania rzeczywiste): −𝑏 − √𝛥 −𝑏 + √𝛥 𝑥1 = 𝑥2 = 2𝑎 2𝑎 2. jeżeli 𝚫 = 𝟎, to funkcja kwadratowa ma dokładnie jedno miejsce zerowe (trójmian kwadratowy ma jeden pierwiastek, równanie kwadratowe ma dokładnie jedno rozwiązanie rzeczywiste): 𝑏 𝑥1 = 𝑥2 = − 2𝑎 3. jeżeli 𝚫 < 𝟎, to funkcja kwadratowa nie ma miejsc zerowych (trójmian kwadratowy nie ma pierwiastków rzeczywistych, równanie kwadratowe nie ma rozwiązań rzeczywistych).  Postać kanoniczna funkcji kwadratowej: 𝑓(𝑥) = 𝑎(𝑥 − 𝑝)2 + 𝑞  Jeżeli Δ ≥ 0, to funkcję kwadratową można przestawić w postaci iloczynowej 𝑓(𝑥) = 𝑎(𝑥 − 𝑥1 )(𝑥 − 𝑥2 )  Wzory Viète’a Jeżeli Δ ≥ 0, to 𝑏 𝑐 𝑥1 + 𝑥2 = − 𝑥1 ⋅ 𝑥2 = 𝑎 𝑎 8 Strona 9 8. CIĄGI  Wzór na 𝑛-ty wyraz ciągu arytmetycznego (𝑎𝑛 ), określonego dla 𝑛 ≥ 1, o pierwszym wyrazie 𝑎1 i różnicy 𝑟: 𝑎𝑛 = 𝑎1 + (𝑛 − 1)𝑟  Wzory na sumę 𝑆𝑛 początkowych 𝑛 wyrazów ciągu arytmetycznego: 𝑎1 + 𝑎𝑛 2𝑎1 + (𝑛 − 1)𝑟 𝑆𝑛 = ⋅𝑛 𝑆𝑛 = ⋅𝑛 2 2  Dla sąsiednich wyrazów ciągu arytmetycznego (𝑎𝑛 ) prawdziwa jest równość: 𝑎𝑛−1 + 𝑎𝑛+1 𝑎𝑛 = dla 𝑛 ≥ 2 2  Wzór na 𝑛-ty wyraz ciągu geometrycznego (𝑎𝑛 ), określonego dla 𝑛 ≥ 1, o pierwszym wyrazie 𝑎1 i ilorazie 𝑞 : 𝑎𝑛 = 𝑎1 ⋅ 𝑞 𝑛−1 dla 𝑛 ≥ 2  Wzory na sumę 𝑆𝑛 początkowych 𝑛 wyrazów ciągu geometrycznego: 1 − 𝑞𝑛 𝑆𝑛 = 𝑎1 ⋅ dla 𝑞≠1 𝑆𝑛 = 𝑛 ⋅ 𝑎1 dla 𝑞=1 1−𝑞  Dla sąsiednich wyrazów ciągu geometrycznego (𝑎𝑛 ) prawdziwa jest równość: (𝑎𝑛 )2 = 𝑎𝑛−1 ⋅ 𝑎𝑛+1 dla 𝑛 ≥ 2  Suma wyrazów nieskończonego ciągu geometrycznego Dany jest nieskończony ciąg geometryczny (𝑎𝑛 ), określony dla 𝑛 ≥ 1, o ilorazie 𝑞 . Niech (𝑆𝑛 ) oznacza ciąg sum początkowych wyrazów ciągu (𝑎𝑛 ), to znaczy ciąg określony wzorem 𝑆𝑛 = 𝑎1 + 𝑎2 + … + 𝑎𝑛 dla 𝑛 ≥ 1. Jeżeli |𝑞| < 1, to ciąg (𝑆𝑛 ) ma granicę równą 𝑎1 𝑆 = lim 𝑆𝑛 = 𝑛→∞ 1−𝑞 Granicę tę nazywamy sumą wszystkich wyrazów ciągu (𝑎𝑛 ). 9 Strona 10  Twierdzenie o granicy sumy, różnicy, iloczynu i ilorazu ciągów zbieżnych Jeżeli ciągi (𝑎𝑛 ) i (𝑏𝑛 ), określone dla każdej liczby naturalnej 𝑛 ≥ 1, są zbieżne i lim 𝑎𝑛 = 𝑎 oraz lim 𝑏𝑛 = 𝑏, to ciągi (𝑎𝑛 + 𝑏𝑛 ), (𝑎𝑛 − 𝑏𝑛 ), (𝑎𝑛 ⋅ 𝑏𝑛 ) są zbieżne, 𝑛→∞ 𝑛→∞ a ponadto lim (𝑎𝑛 + 𝑏𝑛 ) = 𝑎 + 𝑏 lim (𝑎𝑛 − 𝑏𝑛 ) = 𝑎 − 𝑏 lim (𝑎𝑛 ⋅ 𝑏𝑛 ) = 𝑎 ⋅ 𝑏 𝑛→∞ 𝑛→∞ 𝑛→∞ 𝑎 Jeżeli ponadto 𝑏𝑛 ≠ 0 dla 𝑛 ≥ 1 oraz 𝑏 ≠ 0, to ciąg ( 𝑛 ) jest zbieżny i 𝑏𝑛 𝑎𝑛 𝑎 lim ( ) = 𝑛→∞ 𝑏𝑛 𝑏  Twierdzenie o trzech ciągach Jeżeli wyrazy ciągów (𝑎𝑛 ), (𝑏𝑛 ) i (𝑐𝑛 ), określonych dla 𝑛 ≥ 1, spełniają nierówność 𝑎𝑛 ≤ 𝑏𝑛 ≤ 𝑐𝑛 dla 𝑛 ≥ 1, a ciągi (𝑎𝑛 ) i (𝑐𝑛 ) są zbieżne do wspólnej granicy lim 𝑎𝑛 = lim 𝑐𝑛 = 𝑔, to ciąg (𝑏𝑛 ) jest zbieżny, a ponadto lim 𝑏𝑛 = 𝑔. 𝑛→∞ 𝑛→∞ 𝑛→∞  Procent składany Jeżeli kapitał początkowy 𝐾0 złożymy na okres 𝑛 lat na lokacie bankowej, której oprocentowanie wynosi 𝑝% w skali rocznej, a kapitalizacja odsetek następuje po upływie każdego roku trwania lokaty, to kapitał końcowy 𝐾𝑛 jest określony wzorem: 𝑝 𝑛 𝐾𝑛 = 𝐾0 ⋅ (1 + ) 100 9. TRYGONOMETRIA  Definicje funkcji trygonometrycznych kąta ostrego w trójkącie prostokątnym 𝐵 𝑎 sin 𝛼 = 𝑐 𝑐 𝑏 𝑎 cos 𝛼 = 𝑐 𝑎 tg 𝛼 = 𝛼 𝑏 𝐶 𝑏 𝐴 10 Strona 11  Definicje funkcji trygonometrycznych dowolnego kąta 𝑦 𝑦 sin 𝛼 = 𝑟 𝑥 cos 𝛼 = 𝑟 𝑀(𝑥, 𝑦) 𝑦 𝑦 tg 𝛼 = , o ile 𝑥 ≠ 0 𝑥 𝑟 gdzie 𝜶 𝑟 = |𝑂𝑀| = √𝑥 2 + 𝑦 2 > 0 𝑥 𝑂 𝑥  Wykresy funkcji trygonometrycznych 𝑦 𝑦 = sin 𝑥 1 1 1 3 −𝜋 −2𝜋 0 𝜋 𝜋 𝜋 2𝜋 𝑥 2 2 −1 𝑦 𝑦 = cos 𝑥 1 1 1 3 −𝜋 −2𝜋 0 𝜋 𝜋 𝜋 2𝜋 𝑥 2 2 −1 𝑦 𝑦 = tg 𝑥 1 1 3 −𝜋 −2𝜋 0 2 𝜋 𝜋 2 𝜋 2𝜋 𝑥 11 Strona 12  Związki między funkcjami trygonometrycznymi tego samego kąta sin2 𝛼 + cos2 𝛼 = 1 sin 𝛼 1 tg 𝛼 = dla 𝛼 ≠ 𝜋 + 𝑘𝜋, 𝑘 ∈ ℤ cos 𝛼 2  Wartości funkcji trygonometrycznych dla wybranych kątów 0° 30° 45° 60° 90° 𝛼 1 1 1 1 0 𝜋 𝜋 𝜋 𝜋 6 4 3 2 1 √2 √3 sin 𝛼 0 1 2 2 2 √3 √2 1 cos 𝛼 1 0 2 2 2 tg 𝛼 0 √3 1 nie istnieje √3 3  Funkcje trygonometryczne sumy i różnicy kątów Dla dowolnych kątów 𝛼 oraz 𝛽 prawdziwe są równości: sin(𝛼 + 𝛽) = sin 𝛼 cos 𝛽 + cos 𝛼 sin 𝛽 sin(𝛼 − 𝛽) = sin 𝛼 cos 𝛽 − cos 𝛼 sin 𝛽 cos(𝛼 + 𝛽) = cos 𝛼 cos 𝛽 − sin 𝛼 sin 𝛽 cos(𝛼 − 𝛽) = cos 𝛼 cos 𝛽 + sin 𝛼 sin 𝛽 Ponadto tg 𝛼 + tg 𝛽 𝜋 tg(𝛼 + 𝛽) = gdy 𝛼, 𝛽, 𝛼 + 𝛽 ≠ + 𝑘𝜋, 𝑘 ∈ ℤ 1 − tg 𝛼 ⋅ tg 𝛽 2 tg 𝛼 − tg 𝛽 𝜋 tg(𝛼 − 𝛽) = gdy 𝛼, 𝛽, 𝛼 + 𝛽 ≠ + 𝑘𝜋, 𝑘 ∈ ℤ 1 + tg 𝛼 ⋅ tg 𝛽 2 12 Strona 13  Funkcje trygonometryczne podwojonego kąta sin 2𝛼 = 2 sin 𝛼 cos 𝛼 cos 2𝛼 = cos2 𝛼 − sin2 𝛼 cos 2𝛼 = 2 cos2 𝛼 − 1 cos 2𝛼 = 1 − 2 sin2 𝛼 2 tg 𝛼 tg 2𝛼 = o ile tg 𝛼 istnieje i tg 2 𝛼 ≠ 1 1 − tg 2 𝛼  Wybrane wzory redukcyjne sin(90° − 𝛼) = cos 𝛼 cos(90° − 𝛼) = sin 𝛼 sin(90° + 𝛼) = cos 𝛼 cos(90° + 𝛼) = − sin 𝛼 sin(180° − 𝛼) = sin 𝛼 cos(180° − 𝛼) = − cos 𝛼 tg(180° − 𝛼) = − tg 𝛼 sin(180° + 𝛼) = −sin 𝛼 cos(180° + 𝛼) = − cos 𝛼 tg(180° + 𝛼) = tg 𝛼  Sumy, różnice i iloczyny funkcji trygonometrycznych 𝛼+𝛽 𝛼−𝛽 𝛼+𝛽 𝛼−𝛽 sin 𝛼 + sin 𝛽 = 2 sin cos cos 𝛼 + cos 𝛽 = 2 cos cos 2 2 2 2 𝛼+𝛽 𝛼−𝛽 𝛼+𝛽 𝛼−𝛽 sin 𝛼 − sin 𝛽 = 2 cos sin cos 𝛼 − cos 𝛽 = −2 sin sin 2 2 2 2 1 sin 𝛼 ⋅ sin 𝛽 = − [cos(𝛼 + 𝛽) − cos(𝛼 − 𝛽)] 2 1 cos 𝛼 ⋅ cos 𝛽 = [cos(𝛼 + 𝛽) + cos(𝛼 − 𝛽)] 2 1 sin 𝛼 ⋅ cos 𝛽 = [sin(𝛼 + 𝛽) + sin(𝛼 − 𝛽)] 2  Okresowość funkcji trygonometrycznych Dla każdego kąta 𝛼 i liczby całkowitej 𝑘 prawdziwe są związki: sin(𝛼 + 𝑘 ⋅ 360°) = sin 𝛼 cos(𝛼 + 𝑘 ⋅ 360°) = cos 𝛼 13 Strona 14 1 Ponadto, jeżeli 𝛼 ≠ 𝜋 + 𝑚𝜋, 𝑚 ∈ ℤ to: 2 tg(𝛼 + 𝑘 ⋅ 180°) = tg 𝛼 10. PLANIMETRIA 𝐶 Przyjmujemy następujące oznaczenia w trójkącie 𝐴𝐵𝐶 : 𝛾 𝑎, 𝑏, 𝑐 – długości boków w trójkącie 𝐴𝐵𝐶 𝑏 𝑎 𝛼, 𝛽, 𝛾 – miary kątów wewnętrznych trójkąta leżących – odpowiednio – przy wierzchołkach 𝐴, 𝐵 oraz 𝐶 𝑅, 𝑟 – długości promieni okręgów opisanego 𝛼 𝛽 i wpisanego w trójkąt 𝐴𝐵𝐶 𝐴 𝑐 𝐵 ℎ𝑎 , ℎ𝑏 , ℎ𝑐 – wysokości trójkąta opuszczone – odpowiednio – z wierzchołków 𝐴, 𝐵 i 𝐶 . 𝑝 – połowa obwodu trójkąta 𝐴𝐵𝐶 , tj. 𝑎+𝑏+𝑐 𝑝= 2  Twierdzenie Pitagorasa (wraz z twierdzeniem odwrotnym do niego) Jeżeli w trójkącie 𝐴𝐵𝐶 kąt 𝛾 jest kątem prostym, to 𝑎2 + 𝑏 2 = 𝑐 2 Jeżeli w trójkącie 𝐴𝐵𝐶 długości boków spełniają równość 𝑎2 + 𝑏 2 = 𝑐 2 , to kąt 𝛾 jest kątem prostym.  Twierdzenie sinusów 𝑎 𝑏 𝑐 = 2𝑅 = 2𝑅 = 2𝑅 sin 𝛼 sin 𝛽 sin 𝛾  Twierdzenie cosinusów 𝑎2 = 𝑏 2 + 𝑐 2 − 2𝑏𝑐 ⋅ cos 𝛼 𝑏 2 = 𝑎2 + 𝑐 2 − 2𝑎𝑐 ⋅ cos 𝛽 𝑐 2 = 𝑎2 + 𝑏 2 − 2𝑎𝑏 ⋅ cos 𝛾 14 Strona 15  Wzory na pole trójkąta 𝐴𝐵𝐶 : 1 1 1 𝑃Δ𝐴𝐵𝐶 = 𝑎 ⋅ ℎ𝑎 = 𝑏 ⋅ ℎ𝑏 = 𝑐 ⋅ ℎ𝑐 2 2 2 1 1 1 𝑃ΔABC = 𝑎𝑏 ⋅ sin 𝛾 = 𝑏𝑐 ⋅ sin 𝛼 = 𝑐𝑎 ⋅ sin 𝛽 2 2 2 𝑎𝑏𝑐 𝑃Δ𝐴𝐵𝐶 = 𝑃Δ𝐴𝐵𝐶 = 𝑝 ⋅ 𝑟 4𝑅 𝑃Δ𝐴𝐵𝐶 = √𝑝(𝑝 − 𝑎)(𝑝 − 𝑏)(𝑝 − 𝑐) 1 2 sin 𝛽 ⋅ sin 𝛾 1 2 sin 𝛾 ⋅ sin 𝛼 1 2 sin 𝛼 ⋅ sin 𝛽 𝑃Δ𝐴𝐵𝐶 = 𝑎 ⋅ = 𝑏 ⋅ = 𝑐 ⋅ 2 sin 𝛼 2 sin 𝛽 2 sin 𝛾 𝑃Δ𝐴𝐵𝐶 = 2𝑅 2 ⋅ sin 𝛼 ⋅ sin 𝛽 ⋅ sin 𝛾  Związki miarowe w trójkącie prostokątnym Przyjmijmy, że w trójkącie 𝐴𝐵𝐶 kąt przy wierzchołku 𝐶 jest kątem prostym. Niech 𝐷 będzie spodkiem wysokości opuszczonej z wierzchołka 𝐶 na podstawę 𝐴𝐵 trójkąta. Wówczas: 𝐶 𝑎𝑏 ℎ𝑐 = √|𝐴𝐷| ⋅ |𝐷𝐵| ℎ𝑐 = 90°𝛾 𝑐 𝑎+𝑏−𝑐 1 𝑏 𝑎 𝑟= 𝑅= 𝑐 2 2 1 𝛼 𝛽 𝑎 = 𝑐 ⋅ sin 𝛼 = 𝑐 ⋅ cos 𝛽 = 𝑏 ⋅ tg 𝛼 = 𝑏 ⋅ 𝐴 𝐷 𝐵 tg 𝛽 𝑐  Związki miarowe w trójkącie równobocznym 𝑎 – długość boku trójkąta równobocznego ℎ – wysokość trójkąta równobocznego 𝐶 2 𝑎√3 𝑎 √3 ℎ= 𝑃Δ = 2 4 𝑎 ℎ 𝑎 1 2 𝑟= ℎ 𝑅= ℎ 3 3 𝐴 𝑎 𝐵 15 Strona 16  Cechy przystawania trójkątów 𝐶 𝑀 𝐴 𝐵 𝐾 𝐿 a) cecha przystawania „bok–bok–bok” dla trójkątów 𝐴𝐵𝐶 i 𝐾𝐿𝑀 : długości boków trójkąta 𝐴𝐵𝐶 są równe odpowiednim długościom boków trójkąta 𝐾𝐿𝑀, np.: |𝐴𝐵| = |𝐾𝐿|, |𝐵𝐶| = |𝐾𝑀|, |𝐶𝐴| = |𝑀𝐿|. b) cecha przystawania „bok–kąt–bok” dla trójkątów 𝐴𝐵𝐶 i 𝐾𝐿𝑀 : długości dwóch boków trójkąta 𝐴𝐵𝐶 są równe odpowiednim długościom dwóch boków trójkąta 𝐾𝐿𝑀 i kąty między tymi parami boków są przystające, np.: |𝐴𝐵| = |𝐾𝐿|, |𝐵𝐶| = |𝐾𝑀| i |∡𝐴𝐵𝐶| = |∡𝐿𝐾𝑀|. c) cecha przystawania „kąt–bok–kąt” dla trójkątów 𝐴𝐵𝐶 i 𝐾𝐿𝑀 : długość jednego boku trójkąta 𝐴𝐵𝐶 jest równa długości jednego boku trójkąta 𝐾𝐿𝑀 i kąty przyległe do tego boku trójkąta 𝐴𝐵𝐶 są przystające do odpowiednich kątów przyległych do odpowiedniego boku trójkąta 𝐾𝐿𝑀 , np.: |∡𝐵𝐴𝐶| = |∡𝐾𝐿𝑀| i |∡𝐴𝐵𝐶| = |∡𝐿𝐾𝑀| i |𝐴𝐵| = |𝐾𝐿|.  Cechy podobieństwa trójkątów 𝑀 𝐶 𝐴 𝐵 𝐾 𝐿 a) cecha podobieństwa „bok–bok–bok” dla trójkątów 𝐴𝐵𝐶 i 𝐾𝐿𝑀 : długości boków trójkąta 𝐴𝐵𝐶 są proporcjonalne do odpowiednich długości boków |𝐴𝐵| |𝐵𝐶| |𝐶𝐴| trójkąta 𝐾𝐿𝑀 , np.: = = . |𝐾𝐿| |𝐿𝑀| |𝑀𝐾| b) cecha podobieństwa „bok–kąt–bok” dla trójkątów 𝐴𝐵𝐶 i 𝐾𝐿𝑀 : długości dwóch boków trójkąta 𝐴𝐵𝐶 są proporcjonalne do odpowiednich długości dwóch boków trójkąta 𝐾𝐿𝑀 i kąty między tymi parami boków są przystające, np.: |𝐴𝐵| |𝐴𝐶| |𝐾𝐿| = |𝐾𝑀| i |∡𝐵𝐴𝐶| = |∡𝐿𝐾𝑀|. c) cecha podobieństwa „kąt–kąt–kąt” dla trójkątów 𝐴𝐵𝐶 i 𝐾𝐿𝑀 : kąty trójkąta 𝐴𝐵𝐶 są przystające do odpowiednich kątów trójkąta 𝐾𝐿𝑀 , np.: |∡𝐵𝐴𝐶| = |∡𝐿𝐾𝑀| i |∡𝐴𝐵𝐶| = |∡𝐾𝐿𝑀| i |∡𝐴𝐶𝐵| = |∡𝐾𝑀𝐿|. 16 Strona 17  Twierdzenie Talesa (wraz z twierdzeniem odwrotnym do niego) Różne proste 𝐴𝐵 i 𝐶𝐷 przecinają się w punkcie 𝑃, przy czym spełniony jest jeden z warunków: – punkt 𝐴 leży wewnątrz odcinka 𝑃𝐵 oraz punkt 𝐶 leży wewnątrz odcinka 𝑃𝐷 LUB – punkt 𝐴 leży na zewnątrz odcinka 𝑃𝐵 oraz punkt 𝐶 leży na zewnątrz odcinka 𝑃𝐷 . |𝐴𝐵| |𝐶𝐷| Jeżeli = |𝑃𝐶| , to proste 𝐴𝐶 i 𝐵𝐷 są równoległe. |𝑃𝐴| |𝐴𝐵| |𝐶𝐷| Jeżeli proste 𝐴𝐶 i 𝐵𝐷 są równoległe, to = |𝑃𝐶| . |𝑃𝐴| 𝐵 𝐷 𝐴 𝐴 𝑃 𝐵 𝑃 𝐶 𝐷 𝐶  Koło Pole 𝑃 koła o promieniu 𝑟 jest równe: 𝑃 = 𝜋𝑟 2 𝑟 Obwód 𝐿 koła o promieniu 𝑟 jest równy: 𝐿 = 2𝜋𝑟  Wycinek koła Pole 𝑃 wycinka koła o promieniu 𝑟 i kącie środkowym 𝛼 wyrażonym w stopniach jest równe: 𝛼 𝐴 𝑃= ⋅ 𝜋𝑟 2 360° 𝑟 𝛼 Długość 𝐿 łuku 𝐴𝐵 wycinka koła o promieniu 𝑟 i kącie środkowym 𝛼 wyrażonym w stopniach jest równa: 𝐵 𝛼 𝐿= ⋅ 2𝜋𝑟 360° 17 Strona 18  Kąty w okręgu Miara kąta wpisanego w okrąg o środku 𝑂 jest równa połowie 𝛼 miary kąta środkowego, opartego na tym samym łuku. Miary kątów wpisanych w okrąg o środku 𝑂, opartych na tym 𝑂 𝛼 samym łuku, są równe. 2𝛼 𝛼  Twierdzenie o kącie między styczną i cięciwą Dany jest okrąg o środku w punkcie 𝑂 i cięciwa 𝐴𝐵 tego okręgu. Prosta 𝐴𝐶 jest styczna do tego okręgu w punkcie 𝐴, natomiast punkt 𝑃 leży na tym okręgu i nie należy do kąta 𝐶𝐴𝐵. Wtedy |∡𝐴𝑃𝐵| = |∡𝐶𝐴𝐵| i |∡𝐴𝑂𝐵| = 2 ⋅ |∡𝐶𝐴𝐵| przy czym wybieramy ten z kątów środkowych 𝐴𝑂𝐵, który jest oparty na łuku znajdującym się wewnątrz kąta 𝐶𝐴𝐵. 𝐵 𝐵 𝐵 𝑂 𝑂 𝑂 𝑃 𝐴 𝐶 𝐴 𝐶 𝐶 𝐴  Twierdzenie o odcinkach stycznych Jeżeli styczne do okręgu w punktach 𝐴 i 𝐵 przecinają się w punkcie 𝑃, to 𝐴 𝑃 |𝑃𝐴| = |𝑃𝐵| 𝐵 18 Strona 19  Twierdzenie o odcinkach siecznej i stycznej Dane są: prosta przecinająca okrąg w punktach 𝐴 i 𝐵 oraz prosta styczna do tego okręgu w punkcie 𝐶 . Jeżeli proste te przecinają się w punkcie 𝑃, to |𝑃𝐴| ⋅ |𝑃𝐵| = |𝑃𝐶|2 𝐵 𝐴 𝑃 𝐶  Czworokąty Trapez – czworokąt, który ma co najmniej jedną parę boków równoległych. 𝑏 Wzór na pole 𝑃 trapezu: 𝑎+𝑏 ℎ 𝑃= ⋅ℎ 2 𝑎 Równoległobok – czworokąt, który ma dwie pary boków równoległych. Wzory na pole 𝑃 równoległoboku: 𝐷 𝐶 𝑃 = 𝑎ℎ 𝑃 = 𝑎 ⋅ 𝑏 ⋅ sin 𝛼 1 𝑏 𝑃 = ⋅ |𝐴𝐶| ⋅ |𝐵𝐷| ⋅ sin 𝛾 𝛾 2 ℎ 𝛼 𝐴 𝑎 𝐵 19 Strona 20 Romb – czworokąt, który ma wszystkie boki jednakowej długości. Wzory na pole 𝑃 rombu: 𝐷 𝐶 𝑃 = 𝑎ℎ 𝑃 = 𝑎2 ⋅ sin 𝛼 1 𝑎 ℎ 𝑃= ⋅ |𝐴𝐶| ⋅ |𝐵𝐷| 2 𝛼 𝐴 𝑎 𝐵 Deltoid – czworokąt wypukły, który ma oś symetrii zawierającą jedną z przekątnych. Wzór na pole 𝑃 deltoidu: 𝐷 1 𝑃= ⋅ |𝐴𝐶| ⋅ |𝐵𝐷| 2 𝐴 𝐶 𝐵  Okrąg opisany na czworokącie Na czworokącie można opisać okrąg wtedy i tylko wtedy, gdy sumy miar jego przeciwległych kątów wewnętrznych są równe 180°. 𝛼 𝛼+𝛾 =𝛽+𝛿 𝛿 𝛼 + 𝛾 = 180° β + γ = 180° 𝛽 𝛾  Okrąg wpisany w czworokąt 𝑎 W czworokąt wypukły można wpisać okrąg 𝑑 wtedy i tylko wtedy, gdy sumy długości jego przeciwległych boków są równe. 𝑎+𝑐 =𝑏+𝑑 𝑏 𝑐 20