WIELKIE TWIERDZENIE FERMATA NA �CIE�KACH NAUKI W 1997 roku w serii ukaza�y si�: Krzysztof Ciesielski, Zdzis�aw Pogoda: Diamenty matematyki Rudolf Kippenhahn: Na tropie tajemnic S�o�ca Ken Croswell: Alchemia nieba. Opowie�� o Drodze Mlecznej, gwiazdach i astronomach Francis Crick: Zdumiewaj�ca Hipoteza, czyli nauka w poszukiwaniu duszy Robert Zubrin, Richard Wagner: Czas Marsa. Dlaczego i w jaki spos�b musimy skolonizowa� Czerwon� Planet� Peter Coveney, Richard Highfieid: Granice z�o�ono�ci. Poszukiwania porz�dku w chaotycznym �wiecie Roger Penrose: Makro�wiat, mikro�wiat i ludzki umys� Susan Quinn: �ycie Marii Curie >-^^-sffV^- W 1998 roku w serii ukaza�y si�: James Shreeve: Zagadka neandertalczyka. W poszukiwaniu rodowodu wsp�czesnego cz�owieka Donald Goidsmith: Najwi�ksza pomy�ka Einsteina? Sta�a kosmologiczna i inne niewiadome w fizyce Wszech�wiata Frank E. Manuel: Portret Izaaka Newtona J. D. Macdougall: Kr�tka historia Ziemi. G�ry, ssaki, ogie� i l�d W przygotowaniu: Michael White, )ohn Gribbin: Darwin. �ywot uczonego Igor Nowikow: Rzeka czasu AMIR D. ACZEL WIELKIE TWIERDZENIE FERMATA Rozwi�zanie zagadki starego matematycznego problemu Prze�o�y� Pawe� Strzelecki Pr�szy^ski i ^l<a Warszawa 1998 Tytu� orygina�u FERMATS LAST THEOREM Uniocking the Secret of an Ancient Mathematical Problem Copyright(c)1996 by Amir D. Aczel Ali rights reserved Projekt ok�adki Katarzyna A. jarnuszkiewicz Zdj�cie na ok�adce Science Photo Library/EAST NEWS Rysunki na podstawie wydania ameryka�skiego Krzysztof Biatkowski ISBN 83-7180-655-8 Wydawca Pr�szy�ski i S-ka 02-651 Warszawa, ul. Gara�owa 7 Druk i oprawa ��dzka Drukarnia Dzie�owa Sp�ka Akcyjna ul. Rewolucji 1905 r. nr 45, ��d� Pierrre de Fermat (1601-1665). S�OWO WST�PNE W czerwcu 1993 roku stary przyjaciel z Kalifornii, Tom Schulte, odwiedzi� mnie w Bostonie. Siedzieli�my w s�onecznej kawiarni na chodniku Newburry Street, a przed nami sta�y napoje w wysokich, oszronionych szklankach. Tom przerwa� g��bokie rozmy�lania nad niedawnym rozwodem, zwr�ci� si� w moj� stron� i rzek�: "Przy okazji, w�a�nie udowod- niono wielkie twierdzenie Fermata". Pomy�la�em, �e to na pew- no jaki� nowy �art, a Tom z powrotem zacz�� wpatrywa� si� w chodnik. Dwadzie�cia lat wcze�niej Tom i ja byli�my studentami ma- tematyki na Uniwersytecie Kalifornijskim w Berkeley i dzielili- �my ten sam pok�j w akademiku. Wielkie twierdzenie Fermata by�o cz�stym tematem naszych rozm�w. Dyskutowali�my te� o funkcjach, zbiorach, cia�ach i topologii. Kto by� studentem matematyki, nie sypia� wiele, gdy� nasza droga �yciowa je�y�a si� wprost od trudno�ci. To w�a�nie odr�nia�o nas od studen- t�w wi�kszo�ci innych dziedzin. Czasem nawet dr�czy�y nas noc� matematyczne koszmary - trzeba by�o udowodni� to czy inne twierdzenie, zanim nadejdzie ranek. Ale wielkie twierdze- nie Fermata? Nikt nigdy nie wierzy�, �e zostanie udowodnione za naszego �ycia. Twierdzenie by�o tak trudne l tak wielu ludzi pr�bowa�o si� z nim zmierzy� przez ponad trzysta lat. Mieli�my 8 � WIELKIE TWIERDZENIE FERMATA te� �wiadomo��, �e poszukiwania dowodu doprowadzi�y do rozwini�cia nowych ga��zi matematyki. Ale pr�by, jedna za drug�, wiod�y donik�d, a wielkie twierdzenie Fermata sta�o si� symbolem nieosi�galnego. Pewnego razu owa aura nieosi�galno�ci i niemo�no�ci przy- nios�a ml nawet korzy��. By�o to par� lat p�niej, r�wnie� w Berkeley, gdy uko�czy�em ju� matematyk� i robi�em w�a�nie magisterium z bada� operacyjnych. Pewien arogant szykuj�cy doktorat z matematyki, nie�wiadomy mojego przygotowania w tej dziedzinie, zaoferowa� mi pomoc, gdy spotkali�my si� w miejscu wsp�lnego zamieszkania, w International House: "Zajmuj� si� matematyk� teoretyczn�. Gdyby� mia� kiedykol- wiek jakie� zadanie z matematyki, kt�rego nie umiesz rozwi�- za�, wal do mnie jak w dym". Chcia� odej��, gdy powiedzia�em: "Hmmm, no tak... Jest co�, w czym m�g�by� mi pom�c..." Zwr�ci� si� w moj� stron�, m�wi�c: "Jasne, poka�, o co cho- dzi", a Ja na rozpostartej serwetce (byli�my w�a�nie w jadami) napisa�em powoli: x" + y" = z" nie ma �adnych rozwi�za� ca�kowitych dodatnich, gdy n. jest wi�ksze od 2. "Od wczorajszego wieczoru usi�uj� to udowodni�" - powiedzia- �em, podaj�c mu serwetk�. Widzia�em, jak zblad�, a potem burkn��: "Wielkie twierdzenie Fermata". "Tak - odpar�em. - Zajmujesz si� matematyk� teoretyczn�, czy m�g�by� mi po- m�c?" Nigdy wi�cej nie ogl�da�em Jego twarzy z bliska. "M�wi� powa�nie - powiedzia� Tom, ko�cz�c drinka. - An- drew Wi�e�. Udowodni� wielkie twierdzenie Fermata w Cam- bridge w zesz�ym miesi�cu. Zapami�taj to nazwisko, jeszcze o nim us�yszysz". Wieczorem Tom polecia� z powrotem do Kali- fornii, a ja w ci�gu nast�pnych miesi�cy przekona�em si�, �e przyjaciel wcale ze mnie nie �artowa�. Na moich oczach Wi�e� najpierw by� oklaskiwany i wychwalany, potem znaleziono luk� w jego dowodzie, potem wycofa� si� i ukry� na rok, by wreszcie pojawi� si� zn�w z poprawionym dowodem. �ledz�c t� nieko�cz�c� si� opowie��, dowiedzia�em si� r�wnie�, �e Tom S�OWO WST�PNE � 9 nie mia� racji. Zwraca� uwag� nale�a�o nie tylko na nazwisko Andrew Wilesa. Powinienem by� - albo raczej powinni�my byli wszyscy - wiedzie�, �e dow�d wielkiego twierdzenia Fermata wykracza daleko poza prac� jednego matematyka. Na r�wni z Wilesem laury nale�� si� tak�e Renowi Rlbetowi, Bany'emu Mazurowi, G�ro Shimurze, Yutace Taniyamie, Gerhardowi Freyowi i wielu innym. Ta ksi��ka opowie Warn ca�� histori�, tak�e t� zakulisow�, rozgrywaj�c� si� z dala od �wiate� sceny l gazetowego zgie�ku. B�dzie to tak�e historia intryg, podst�pu oraz zdrady. Moje wtasne do�wiadczenia z uprawianiem matematyki mo�na chyba najlepiej odda�, por�w- nuj�c je do zwiedzania ciemnego gmaszyska. Wchodz� do pierwszego pokoju; jest ciemno, zupe�nie ciemno. Drepcz� w kotko i wpadam na meble, dowiaduj�c si� stopniowo, gdzie s� ustawione. Po jakich� sze�ciu miesi�cach znaj- duj� wy��cznik i naciskam go. �wiat�o zalewa na- gle wszystko i wreszcie mog� zobaczy�, gdzie je- stem. A potem wchodz� do nast�pnego ciemnego pokoju... Tymi s�owami profesor Andrew Wi�e� opisywa� swo- je siedmioletnie poszukiwania matematycznego �wi�tego Graala. Tu� przed �witem 23 czerwca 1993 roku profesor John Conway przyszed� na pogr��ony w ciemno�ciach Wydzia� Matematyki Uniwersytetu w Princeton. Otworzy� drzwi fronto- we w�asnym kluczem i wbieg� szybko po schodach do swojego gabinetu. W ci�gu tygodni poprzedzaj�cych wyjazd Jego kolegi, Andrew Wilesa, do Anglii w �wiatku matematyk�w uporczywie kr��y�y niejasne plotki. Conway oczekiwa� wi�c, �e wydarzy si� co� wa�nego (nie mia� jednak poj�cia co). W��czy� sw�j kompu- ter l zasiad� do biurka, gapi�c si� w ekran. O 5:53 z drugiej strony Atlantyku nadesz�a lakoniczna wiadomo��, przes�ana poczt� elektroniczn�: "Wi�e� dowodzi WTF". Cambridge, Anglia, czerwiec 1993 W drugiej po�owie czerwca 1993 roku profesor Andrew Wi�e� polecia� do Anglii. Wraca� na Uniwersytet w Cambridge, gdzie przed dwudziestu laty by� doktorantem. Jego �wczesny promo- tor, profesor John Coates, organizowa� w Cambridge konferen- cj� po�wi�con� teorii Iwasawy, o kt�rej Wi�e� wiedzia� bardzo du�o, jego doktorat bowiem dotyczy� tego w�a�nie fragmentu teorii liczb. Coates poprosi� swego by�ego studenta, by zechcia� 12 � WIELKIE TWIERDZENIE FERMATA wyg�osi� na konferencji kr�tki, godzinny wyk�ad na wybrany przez siebie temat. Ku zaskoczeniu jego l pozosta�ych organi- zator�w, zazwyczaj nie�mia�y i niech�tnie przemawiaj�cy przed publiczno�ci� Wi�e� zapyta�, czy nie m�g�by na swe wyst�pie- nie dosta� trzech godzin zamiast jednej. Przybywaj�c do Cambridge, czterdziestoletni Wi�e� wygl�da� jak typowy matematyk: bia�a koszula z niestarannie podwini�- tymi r�kawami, okulary w grubej, rogowej oprawie, nieporz�d- ne kosmyki rzedn�cych, jasnych w�os�w. Wi�e� urodzi� si� w Cambridge l by� to dla niego bardzo szczeg�lny powr�t do domu, powr�t po��czony ze spe�nieniem dzieci�cych marze�. W pogoni za tymi marzeniami Andrew Wi�e� sp�dzi� ostatnie siedem lat �ycia na w�asnym poddaszu niemal jak wi�zie�. Mia� jednak nadziej�, �e wyrzeczenia, lata zmaga� i d�ugie go- dziny samotno�ci sko�cz� si� wkr�tce, a on b�dzie m�g� wi�cej czasu sp�dza� z �on� i c�rkami, kt�rych przez siedem lat w�a- �ciwie prawie nie widywa�. Rzadko pokazywa� si� na rodzin- nych obiadach i podwieczorkach, a na kolacj� zd��a� z ledwo- �ci�. Za to teraz czu�, �e zbierze wszystkie nale�ne mu laury. Instytut Nauk Matematycznych sir Izaaka Newtona w Cam- bridge otwarto nied�ugo przed przyjazdem profesora Wilesa, kt�ry mia� tam wyg�osi� trzygodzinne wyk�ady. Instytut jest przestronny, po�o�ony w malowniczym otoczeniu w pewnej od- leg�o�ci od Uniwersytetu w Cambridge. Szerokie przestrzenie na zewn�trz sal wyk�adowych wyposa�ono w mi�kkie, wygod- ne krzes�a, zaprojektowane z my�l�, by panom matematykom u�atwi� nieformaln� wymian� pomys��w, a tym samym rozwi- ja� nauk�. Wi�e�, cho� zna� wi�kszo�� matematyk�w przyby�ych ze �wiata na bardzo specjalistyczn� konferencj�, trzyma� si� na uboczu. Gdy koleg�w zaciekawi�o, dlaczego planuje tak d�ugie wyst�pienie. Wi�e� odpowiada�, �e powinni sami przyj�� na je- go wyk�ady po to, �eby dowiedzie� si�, o czym b�dzie mowa. By�a to tajemniczo�� niezwyk�a nawet jak na matematyka. Wprawdzie przedstawiciele tej profesji cz�sto pracuj� samotnie nad dowodami twierdze� i wiadomo powszechnie, �e nie s� najbardziej towarzyskimi lud�mi na �wiecie, ale jednak wyni- AMIR D, ACZEL � 13 kami swych bada� zazwyczaj si� dziel�. Rezultaty swej pracy matematycy rozprowadzaj� bez ogranicze� w formie tzw. pre- print�w (wydruk�w wst�pnych), zbieraj�c dzi�ki temu komen- tarze otoczenia, pomocne p�niej, gdy trzeba nada� ostateczn� form� artyku�owi tu� przed opublikowaniem. Ale Wi�e� nie wr�cza� preprint�w i nie dyskutowa� o swej pracy. Tytu� jego wyk�ad�w: Formy modu�owe, krzywe eliptyczne i reprezentacje Galois nie pozwala� nawet specjalistom domy�li� si�, w kt�r� stron� zmierza autor. W miar� up�ywu czasu atmosfera g�st- nia�a od plotek. Ju� pierwszego dnia Wi�e� nagrodzi� zainteresowanie dwu- dziestu s�uchaczy zebranych w skupieniu na jego wyk�adzie nieoczekiwanym l pot�nym twierdzeniem, a przecie� to byt dopiero pocz�tek. Zosta�y mu jeszcze dwa wyk�ady. Co mia�y przynie��? Dla wszystkich sta�o si� jasne, �e wyk�ady Wilesa to miejsce, gdzie nale�y bywa�. Napi�cie ros�o w miar� gro- madzenia si� w sali wyk�adowej t�umu wyczekuj�cych mate- matyk�w. Drugiego dnia Wi�e� zwi�kszy� tempo wyk�adu, przynosz�c ze sob� ponad dwie�cie stron zape�nionych wzorami i rachun- kami; formu�owa� nowe twierdzenia i ich d�ugie, abstrakcyjne dowody. Sala by�a wype�niona po brzegi. Wi�e� zn�w nie da� ni- komu pozna�, dok�d w�a�ciwie zmierza, pisz�c beznami�tnie kred� po tablicy. Gdy nadszed� czas na przerw�, znikn�� z sali. Nast�pnego dnia, w �rod� 23 czerwca 1993 roku, odby� si� jego ostatni wyk�ad. Zbli�aj�c si� do sali wyk�adowej. Wi�e� musia� torowa� sobie drog� w t�umie. Ludzie stali na zewn�trz, blokuj�c wej�cie, a sala p�ka�a w szwach. Wiele os�b mia�o ze sob� aparaty fotograficzne. Gdy Wi�e� ponownie wype�nia� ta- blic� nie ko�cz�cymi si� wzorami l twierdzeniami, emocje si�g- n�y zenitu. "Wyk�ad Wilesa m�g� mie� tylko jedn� kulminacj�, tylko jedno zako�czenie" - powiedzia� ml p�niej profesor Ken Ribet z Uniwersytetu Kalifornijskiego w Berkeley. Wi�e� ko�- czy� ostatnie linijki swego dowodu enigmatycznej i zawi�ej hi- potezy, tzw. hipotezy Shimury-Taniyamy. A potem dopisa� jeszcze jedn�, ostatni� ju� linijk�, zawieraj�c� przeformu�owa- n� wersj� twierdzenia sprzed stuleci, wersj�, kt�ra, jak to udo- 14 � WIELKIE TWIERDZENIE FERMATA wodni� siedem lat wcze�niej Ken Rlbet, wynika�aby z owej hi- potezy. "I to dowodzi wielkiego twierdzenia Fermata - rzek� skromnie. - My�l�, �e na tym sko�cz�". Przez moment na sali panowa�a pe�na zdumienia cisza, po- tem za� wybuch�y spontaniczne gromkie brawa. W b�ysku fleszy wszyscy wstawali, by podej�� z gratulacjami do rozpro- mienionego Wilesa. Par� minut p�niej faksy l poczta elektro- niczna na ca�ym �wiecie poinformowa�y o tym, �e najs�awniej- szy problem matematyczny wszech czas�w zosta� w�a�nie rozwi�zany. "Najbardziej nieoczekiwany by� potop dziennikarzy, kt�ry zala� nas nast�pnego dnia" - wspomina� profesor John Coates, kt�ry zorganizowa� konferencj�, nie maj�c poj�cia, �e b�dzie ona scen� tak znamienitych osi�gni��. Na ca�ym �wiecie posy- pa� si� istny grad gazetowych nag��wk�w, donosz�cych o nie- oczekiwanym prze�omie. "New York Times" z 24 czerwca 1993 roku obwieszcza� na pierwszej stronie: "Nareszcie okrzyk �eureka!� w sprawie matematycznej tajemnicy sprzed stuleci". "Washington Post" w du�ym artykule nazwa� Wilesa "pogrom- c� matematycznych smok�w". Wsz�dzie opisywano osob�, kt�- ra najwyra�niej rozwi�za�a problem matematyczny, opieraj�cy si� ludzkim wysi�kom przez ponad 350 lat. W ci�gu Jednej no- cy spokojny i ceni�cy sobie prywatno�� Andrew Wi�e� trafi� na usta wszystkich. Pierre de Fermat Plerre de Fermat byt siedemnastowiecznym francuskim praw- nikiem, a tak�e mi�o�nikiem matematyki. Z formalnego punk- tu widzenia by� "amatorem", poniewa� na co dzie� wykonywa� zaw�d prawnika. Niemniej �yj�cy na pocz�tku dwudziestego wieku znany historyk matematyki, E. T. Beli, trafnie nazwa� Fermata "ksi�ciem amator�w". Jego zdaniem Fermat mia� w�r�d swych osi�gni�� wi�cej wa�nych rezultat�w ni� wi�k- szo�� wsp�czesnych mu "zawodowych" matematyk�w. Beli twierdzi� nawet, �e Fermat to najbardziej p�odny matematyk AMIR-D. ACZEL � 15 siedemnastego stulecia; stulecia, kt�re sk�din�d by�o aren� dzia�a� kilku najt�szych matematycznych umys��w wszech czas�w.� Na trzyna�cie lat przed urodzeniem slr Izaaka Newtona Fer- mat rozwin�� podstawowe idee rachunku r�niczkowego. By�o to Jedno z jego najbardziej osza�amiaj�cych osi�gni��. Na og� bowiem uwa�a si�, �e to Newton oraz wsp�czesny mu Got- tfried Wilhelm Leibniz stworzyli teori� - zwan� dzi� rachun- kiem r�niczkowym i ca�kowym - pozwalaj�c� na zastosowa- nie matematyki do opisu ruchu, si�, przyspiesze�, kszta�tu orbit cia� niebieskich i innych zjawisk, kt�re podlegaj� ci�- g�ym zmianom. Fermat fascynowa� si� dzie�ami matematycznymi staro�yt- nych Grek�w. By� mo�e do swej koncepcji podstaw rachunku r�niczkowego doszed� w�a�nie podczas studiowania prac kla- syk�w matematyki greckiej, Archimedesa i Eudoksosa, �yj�- cych odpowiednio w III i IV wieku p.n.e. Dzie�a staro�ytnych, dost�pne w�wczas w �aci�skim przek�adzie, Fermat czytywa� w ka�dej wolnej chwili. Jako zdolny prawnik pracowa�, je�li wolno tak powiedzie�, na pe�nym etacie, lecz du�o czasu po�wi�ca� swemu hobby. Pasjonowa�y go pr�by uog�lniania dzie�a staro�ytnych i odnajdywanie nowego pi�kna w ich zapo- mnianych w ci�gu wielu wiek�w odkryciach. Kiedy� powie- dzia�: "Znalaz�em bardzo wiele niezmiernie pi�knych twier- dze�". Owe twierdzenia Fermat mia� zwyczaj notowa� na marginesach egzemplarzy t�umacze� staro�ytnych dzie�, kt�re do niego nale�a�y. Fermat by� synem Dominlque'a Fermata, handlarza sk�ra- mi i zarazem drugiego konsula2 w mie�cie Beaumont-de-Lo- magne. Matk� uczonego by�a Klara de Long, kt�ra pochodzi�a z rodziny s�dziowskiej. Fermat urodzi� si� w sierpniu 1601 ro- ku (ochrzczono go 20 sierpnia w Beaumont-de-Lomagne). Ro- dzice wykszta�cili go na prawnika. Chodzi� do szko�y w Tulu- 1 E. T. Beli: Men of Mathematics. Simon and Schuster, Nowy Jork 1937, s. 56. 2 Mianem konsul�w w �wczesnej Francji okre�lano m.in. s�dzi�w wybranych Spomi�dzy kupc�w (przyp. t�um.). 16 � WIELKIE TWIERDZENIE FERMATA Arichmcticorum Lib. II. 8$ tcru�lloqiudratorum,&Canoaes lidem bi� etiam locum h�bebunt, vi mn.f.- (luuitl�. O^ASTl O VIII. PnorOtiTYM qu*draium -T ON oftiS.yfic�^^ayym diu>derc,nduosquadr.(os. l ^^�s^e-n-^yl.^. i- Impcratum l" vi 16. diuidnur �., .<�-',�-.,,� in duos quadracos. Ponatur 'Bl�to^� ArtC A?j�� �(/low- ptimus� O^Oportr- igicur 16 9p�ty�ret(. <^ i*5t>3i*' o 'BCy-rec - l CL�q">l" e(rc ^"�drato. JUwifuusfUlLC. ^Ili *Ut ^'a- Finzo ouadralum a numens . - i i, o i -.' quo(quot l.bucrit, cum dcfc- ^ "r ^ �'W^-^ c�u tot vnitaium quot conii- �9 ��>�JMra>. <r��MM r �nfa.y,i- aet latus ipfiut ic. cfto a � N. ror^onfC*. ^(TU> <AfwnA(i4< n- - 4. ipfe �gitur qu�dr3ius crit rt5r^<i'w^��?�rV^^- 4 Q.-<- K. - K N. hxc �qiu- /" - .,- f i. --� , > bunTur ynkaribu. .< -iCL o/�f(l�'^,/3 ^f* ^�,^W Comniunisadiiciarur virimquc �<�� i wp�)A)�et tran <ftw�^(�ir dcfetftus , & a fimilibu* aule- ^> ^,''ir[A�'-�L� (('�r'] ��JUia im r.nturfiHulia. ficntJ Q�qu�- . ir^^-^"? W lei ic N. & fic i N. 7 Entiei- ^~ ^ /' � ~t '-v-J cnr altrr quadraionim T:-' . after "�" <aXyn(rtAB ^ Ac^.'�^�" vcr� '.','. & vtriufquc fumma cfl ifwm oyLSKt.fiuia.untC u. y-1 loaf -.�r fen K. & vterque quidr�tui i^y^ y. ^ ^ww, o ^�fl^c cft. "�'<! �'�a\ '"� W �Mf�'mm. i(a| o py rrr f.KCw wtfJt.iSm. o A ffAfuwnfJi.iKw, 6 dS) f<So �uim3i'mc moSn u MSfsiHfAT^HmfWi^ksir.iuu Kt�mi'-^ocw�p<t'y�y<5^. Notka o wielkim twierdzeniu Fermata w wydaniu Arithmettki Diofantosa, opu- blikowanym przez syna Fermata, Samuela. Oryginalnego egzemplarza ksi��ki Diofantosa z odr�cznym zapiskiem Fermata nigdy nie odnaleziono. z�e, a w 1631 roku, gdy mia� trzydzie�ci lat, zosta� w tym mie- �cie referendarzem. W tym samym roku o�eni� si� z kuzynk� swej matki, Louise Long. Wkr�tce na �wiat przysz�o trzech sy- n�w i dwie c�rki. Prace ojca opublikowa� po jego �mierci jeden z syn�w, Clernent Samuel, wykonawca testamentu Fermata. To w�a�nie z wydanej przez niego i przechowywanej do naszych czas�w ksi��ki, zawieraj�cej prace uczonego, znamy s�awne wielkie twierdzenie Fermata. Clement Samuel de Fermat uzna� AMIR D. ACZEL � 17 nagryzmolone na marginesie twierdzenie za fakt wa�ny i doda� je do kolejnego wydania Jednego z t�umacze� staro�ytnych dzie�. Jak wynika z licznych opis�w. Fermat wi�d� �ycie spokojne, stabilne, wolne od nieoczekiwanych i gwa�townych zdarze�. Pracowa� godnie i uczciwie, w roku 1648 zosta� mianowany na wa�ne stanowisko radcy kr�lewskiego w parlamencie Tuluzy.3 Piastowa� Je a� do �mierci w 1665 roku. Bior�c pod uwag� ogrom pracy Fermata na rzecz Korony Francuskiej, s�u�b� kt�- r� pe�ni� umiej�tnie, sumiennie i z oddaniem, wielu historyk�w Jest zadziwionych, �e starcza�o mu jeszcze czasu i si� umys�u na uprawianie pierwszorz�dnej matematyki, i to na du�� ska- l�. Jeden z ekspert�w francuskich sugeruje nawet, �e oficjalna praca Fermata by�a cenn� pomoc� w jego matematycznych studiach, do obowi�zku bowiem francuskich radc�w parla- mentarnych nale�a�o zmniejszenie do minimum liczby nieofi- cjalnych kontakt�w (po to, by unikn�� pokusy �apownictwa l innych przekupstw). Poniewa� Fermat z pewno�ci� potrzebo- wa� odpr�enia po ci�kiej pracy, a �ycie towarzyskie musia� ograniczy�, matematyka prawdopodobnie sta�a si� dla� po��- danym wytchnieniem. Pomys�y zwi�zane z rachunkiem r�- niczkowym nie s� bynajmniej jedynym osi�gni�ciem Fermata. Dzi�ki Fermatowi rozkwit�a teoria liczb. Wa�ne miejsce w tej teorii zajmuje poj�cie liczby pierwszej. Liczby pierwsze Liczby jeden, dwa i trzy s� liczbami pierwszymi.4 Liczba cztery nie jest pierwsza, bo jest iloczynem dw�ch dw�jek: 2x2=4. Liczba pi�� Jest pierwsza. Liczba sze�� nie jest pierwsza, ponie- wa�, podobnie jak cztery, jest iloczynem dw�ch mniejszych 3 We Francji przed rewolucj� 1789 roku nazwa "parlament" oznacza�a s�d (przyp. t�um.). 4 Zazwyczaj przyjmuje si�, �e liczba l nie jest ani pierwsza, ani z�o�ona - jest to kwestia do�� powszechnie stosowanej umowy, kt�r� by� mo�e Czytelnik pami�- ta ze szko�y (przyp. t�um.). 18 � WIELKIE TWIERDZENIE FERMATA liczb: 2x3=6. Siedem jest liczb� pierwsz�, osiem ni� nie jest (2x2x2=8), podobnie jak dziewi�� (3 x 3 = 9) i dziesi�� (2x5 = 10). Ale jedena�cie zn�w jest liczb� pierwsz�, poniewa� opr�cz liii nie ma dw�ch liczb naturalnych, kt�rych iloczyn by�by r�wny 11. T� wyliczank� mo�na przed�u�y�: 12 nie jest liczb� pierwsz�, 13 jest, 14 nie jest, 15 nie jest, 16 nie jest, 17 jest l tak dalej. Nie wida� tu �adnej wyra�nej struktury. Nie mo�na, na przyk�ad, powiedzie�, �e co czwarta liczba jest pierwsza; bardziej skomplikowanych prawid�owo�ci te� na pierwszy rzut oka dostrzec si� nie da. Ta sprawa fascynuje lu- dzi od czas�w staro�ytnych. Liczby pierwsze odgrywaj� w teorii liczb Istotn� rol� l �w brak �atwej do zauwa�enia struktury po- woduje, �e teoria liczb mo�e si� wydawa� dziedzin� niejednoli- t�. Z tej samej przyczyny problemy teorii liczb s� izolowane i trudne; ich zwi�zki z Innymi ga��ziami matematyki wydaj� si� nie zawsze jasne. Jak powiedzia� Bany Mazur: "Teoria liczb produkuje bez wysi�ku niezliczone problemy, kt�re wygl�daj� s�odko i niewinnie jak kusz�ce kwiatki; mimo to w teorii liczb a� roi si� od owad�w, kt�re czekaj� tylko, by zwabi� i uk�si� mi�o�nik�w kwiatk�w, a ci, raz uk�szeni, pobudzani s� p�niej do nadmiernych wysi�k�w".5 S�awny dopisek na marginesie Fermata zauroczy� czar liczb; odnajdywa� w nich pi�kno l zna- czenie. Sformu�owa� wiele twierdze� teorii liczb. Jedno z nich orzeka na przyk�ad, �e ka�da liczba postaci 22n + l (dwa, pod- niesione do pot�gi o wyk�adniku r�wnym dwa do pot�gi n, do- da� jeden) jest liczb� pierwsz�. P�niej odkryto, �e to twierdze- nie jest fa�szywe. Istniej� bowiem liczby, kt�re spe�niaj� powy�szy warunek, ale nie s� pierwsze. W�r�d �aci�skich przek�ad�w staro�ytnych tekst�w Fermat szczeg�lnie upodoba� sobie ksi��k� pod tytu�em Arithmenca, s Barry Mazur: Number Theory as Gadfiy, "American Mathematical Monthly" 98 (1991), s. 593. AMIR D. ACZEL � 19 kt�rej autorem by� grecki matematyk Diofantos, �yj�cy w III wieku naszej ery. Na marginesie swojego egzemplarza dzie�a Diofantosa, obok zadania o rozk�adaniu kwadratu liczby na sum� dw�ch kwadrat�w. Fermat umie�ci� oko�o 1637 roku na- st�puj�cy dopisek po �acinie: Wiadomo, �e nie mo�na roz�o�y� sze�cianu na dwa sze�cia- ny ani bikwadratu na dwa bikwadraty, ani �adnej pot�gi, opr�cz kwadratu, na dwie inne pot�gi o tym samym wyk�ad- niku. Odkry�em prawdziwie cudowny dow�d tego faktu, jed- nak�e ten margines jest zbyt w�ski, by go zmie�ci�. To tajemnicze zdanie zapewni�o zaj�cie wielu pokoleniom ma- tematyk�w, pr�buj�cych zrekonstruowa� "prawdziwie cudow- ny dow�d", kt�ry rzekomo Fermat zna�. Twierdzenie, �e cho� niekt�re kwadraty liczb ca�kowitych mo�na przedstawi� w po- staci sumy kwadrat�w dw�ch innych liczb ca�kowitych (na przyk�ad, kwadrat pi�tki, czyli 25, Jest r�wny sumie kwadratu czw�rki - 16 - i kwadratu tr�jki - 9), a nie da si� tego samego zrobi� z sze�cianami ani �adnymi wy�szymi pot�gami, wygl�da z�udnie prosto. W pocz�tkach XIX wieku wszystkie inne twier- dzenia sformu�owane przez Fermata by�y ju� albo udowodnio- ne, albo obalone. Do rozstrzygni�cia pozosta�a tylko ta pozor- nie niewinna kwestia. Nadano jej nazw� wielkiego twierdzenia Fermata.6 Czy istotnie by�o ono prawdziwe? Udzielenie twier- dz�cej odpowiedzi jest w naszym stuleciu zadaniem przekra- czaj�cym nawet mo�liwo�ci komputer�w. Komputer potrafi sprawdza� twierdzenie dla bardzo du�ych liczb, nie pomo�e jednak w sytuacji, gdy trzeba ustali� prawdziwo�� czegokol- wiek dla wszystkich liczb. Mo�na wypr�bowa� miliardy liczb, a l tak do sprawdzenia pozostanie ich niesko�czenie wiele. Wyk�adnik�w te� jest niesko�czenie wiele. Dla uzasadnienia wielkiego twierdzenia Fermata potrzebny jest matematyczny dow�d. 6 W literaturze angloj�zycznej powszechnie u�ywa si� nazwy "ostatnie twierdze- nie Fermata" (przyp. dum.). 20 � WIELKIE TWIERDZENIE FERMATA W XIX wieku akademie nauk we Francji i Niemczech zaofe- rowa�y nagrody dla autora dowodu. Od tej pory co roku tysi�ce matematyk�w i nawiedzonych amator�w wysy�a�o "dowody" do czasopism matematycznych i wydaj�cych os�d ekspert�w. Na pr�no. Lipiec-sierpie� 1993: wykrycie fatalnego przeoczenia Gdy Wi�e� schodzi� z podestu przy tablicy w ow� pami�tn� czerwcow� �rod�, w�r�d matematyk�w panowa� ostro�ny opty- mizm. Wydawa�o si�, �e tajemnica sprzed 350 lat wreszcie znalaz�a rozwi�zanie. D�ugi dow�d Wilesa, wymagaj�cy stoso- wania skomplikowanych poj�� matematycznych i teorii nie znanych nie tylko w czasach Fermata, lecz tak�e przed nadej- �ciem XX wieku, musia� by� sprawdzony przez niezale�nych ekspert�w. Prac� wys�ano do kilku czo�owych specjalist�w. By� mo�e siedem lat samotnych wysi�k�w w pustelni na stry- chu mia�o si� wreszcie Wilesowi op�aci�. Ale rado�� trwa�a kr�tko: po paru tygodniach w rozumowaniu Wilesa wykryto luk�. Pr�bowa� j� za�ata�, ale luka nie chcia�a tak po prostu znikn��. Peter Samak, matematyk z Princeton l bliski przyja- ciel Wilesa, obserwowa� jego codzienne, pe�ne udr�ki zmagania z dowodem, kt�ry dwa miesi�ce wcze�niej zosta� pokazany w Cambridge ca�emu �wiatu. "By�o to tak, jakby Andrew pr�- bowa� u�o�y� w pokoju za du�y dywan - t�umaczy� Samak. - Naci�ga� go i dywan �wietnie pasowa� z Jednej strony pokoju, ale po drugiej stronie w�azi� na �cian�; szed� wi�c tam i �ci�ga� go w d�, a dywan wybrzusza� si� w innym miejscu. Stwierdze- nie, czy dywan ma rozmiar dopasowany do pokoju, czy nie, przekracza�o jego mo�liwo�ci". Wi�e� wr�ci� na sw�j strych, a reporterzy "New York Timesa" i inni przedstawiciele medi�w pozostawili go sam na sam z Jego zadaniem. Poniewa� czas p�yn��, a dowodu nie by�o, matematycy (i nie tylko) zacz�li si� zastanawia�, czy w og�le wielkie twierdzenie Fermata jest prawdziwe. Wi�e� zdo�a� wprawdzie na chwil� przekona� �wiat, AMIR D. ACZEL � 21 �e posiad� cudowny dow�d, lecz oto nagle �w dow�d sta� si� nie bardziej rzeczywisty ni� nie mieszcz�cy si� na zbyt w�skim marginesie, "prawdziwie cudowny dow�d" samego Fermata. Mi�dzy Tygrysem i Eufratem, oko�o 2000 roku p. n. e. Historia wielkiego twierdzenia Fermata jest o wiele starsza ni� jego autor. Jest nawet starsza ni� Diofantos, kt�rego prace Fermat pr�bowa� uog�lnia�. Pocz�tki tego nieskomplikowanie wygl�daj�cego, a mimo to g��bokiego twierdzenia s� r�wnie stare jak ludzka cywilizacja. Ich korzenie si�gaj� kultury epoki br�zu, kt�ra rozwin�a si� na �yznych terenach mi�dzy Tygry- sem i Eufratem, w staro�ytnym Babilonie (dzi� Jest to teren Iraku). I chocia� wielkie twierdzenie Fermata jest abstrakcyjne l nie ma �adnych zastosowa� w nauce, technice czy matema- tyce - nawet w teorii liczb, swej kolebce - rodow�d tego twier- dzenia wi��e si� z codziennym �yciem ludu, kt�ry zamieszki- wa� Mezopotami� oko�o 2000 roku p.n.e. Okres pomi�dzy 2000 a 600 rokiem p.n.e. w dolinie Mezo- potamii mo�na nazwa� er� pa�stwa babilo�skiego. By� to czas zadziwiaj�cego rozwoju kulturowego, o czym �wiadczy m.in. stosowanie pisma, u�ycie ko�a i pocz�tki metalurgii. Do nawadniania wielkich po�aci ziemi mi�dzy dwiema rzekami wykorzystywano system kana��w. W miar� rozkwitu cywiliza- cji w �yznej dolinie Babilonu, zamieszkuj�cy tamte niziny staro�ytny lud nauczy� si� prowadzi� handel i budowa� mia- sta, takie jak Babilon czy Ur (w kt�rym urodzi� si� biblijny Abraham). Prymitywne formy pisma rozwin�y si� zar�wno w Mezopotamii, jak i w dolinie Nilu znacznie wcze�niej, bo ju� w ko�cu czwartego tysi�clecia przed nasz� er�. W obfituj�cej w glin� Mezopotamii znaki w kszta�cie klin�w wyciskano trzcinowym rylcem na glinianych tabliczkach, kt�re p�niej wypalano w piecu lub zostawiano, by stwardnia�y na s�o�cu. Od kszta�tu znak�w na tabliczkach pochodzi nazwa "pismo klinowe". Pismo klinowe jest najstarsze w�r�d wszystkich 22 � WIELKIE TWIERDZENIE FERMATA znanych odmian pisma, jakich kiedykolwiek u�ywano na �wiecie. Rozw�j handlu i budownictwa w Babilonie oraz staro�ytnym Egipcie przyni�s� zapotrzebowanie na dok�adne pomiary. Uczeni obu tych spo�ecze�stw epoki br�zu wiedzieli, jak oszacowa� sto- sunek obwodu kota do jego �rednicy. Pos�ugiwali si� w tym celu liczb� blisk� tej, kt�r� dzi� nazywamy n. Budowniczowie pot�- nego zigguratu, biblijnej wie�y Babel l wisz�cych ogrod�w Seml- ramidy, jednego z siedmiu cud�w staro�ytnego �wiata, musieli zna� sposoby obliczania pola powierzchni i obj�to�ci. Bogactwo mierzy si� w jednostkach kwadratowych W Babilonie rozwini�to do�� skomplikowany system Uczenia, o podstawie sze��dziesi�t. Dzi�ki temu babilo�scy in�yniero- wie i budowniczowie mogli oblicza� wielko�ci niezb�dne w ich codziennej pracy. Cho� nie wida� tego na pierwszy rzut oka, kwadraty liczb pojawiaj� si� w �yciu w naturalny spos�b. Mo�- na powiedzie�, �e kwadraty liczb przedstawiaj� bogactwo. Dla- czego? Ot� los rolnika zale�y od ilo�ci zebranych plon�w. Plo- ny zale�� z kolei od powierzchni, na kt�rej rolnik mo�e sia�. Pole powierzchni to iloczyn d�ugo�ci i szeroko�ci obsiewanego zagonu - tu w�a�nie pojawiaj� si� kwadraty. Zagon o szeroko- �ci i d�ugo�ci r�wnej a ma pole powierzchni r�wne "a-kwadrat" (a2). Zatem, przynajmniej w tym sensie, bogactwo mierzy si� w jednostkach kwadratowych. Babilo�czycy chcieli wiedzie�, kiedy mo�na otrzyma� kwa-i drat liczby ca�kowitej, dodaj�c kwadraty innych liczb ca�kowi- tych. Rolnik, kt�ry mia� jedno pole o powierzchni dwudziestu pi�ciu jednostek kwadratowych, m�g� wymieni� Je na dwa pola w kszta�cie kwadratu: jedno licz�ce szesna�cie jednostek kwa- dratowych i drugie, maj�ce dziewi�� jednostek kwadratowych. Zatem pole pi�� na pi�� jednostek by�o warte tyle, co dwa pola: Jedno cztery na cztery i jedno trzy na trzy. Ta wa�na Informacja pomaga�a w rozwi�zywaniu praktycznych zagadnie�. Dzisiaj za- AMIR D. ACZEL � 23 pisaliby�my ten zwi�zek w postaci r�wnania: 52 = 42 + 32. Tr�jki takich liczb naturalnych, jak 3, 4 i 5, kt�rych kwadraty spe�niaj� �w zwi�zek, nazywamy tr�jkami pitagorejskimi na cze�� legendarnego greckiego matematyka. Pitagorasa, cho� wiadomo, �e Babilo�czycy znali takie tr�jki Ju� ponad tysi�c lat przed urodzeniem s�awnego uczonego. Przekonuje nas o tym niezwyk�a gliniana tabliczka, pochodz�ca mniej wi�cej z 1900 roku p.n.e. Plimpton 322 Babilo�czycy mieli na punkcie tabliczek swego rodzaju obse- sj�, a dzi�ki prostej technologii pisma klinowego i obfito�ci gli- ny mogli ich stworzy� wiele. Glina jest surowcem do�� trwa�ym l dlatego wiele tabliczek zachowa�o si� a� do naszych czas�w. Podczas wykopalisk prowadzonych tylko w jednym miejscu, w staro�ytnym Nippur, odnaleziono ich ponad pi��dziesi�t tysi�cy. Dzi� znajduj� si� one w zbiorach muze�w w Yale, Columbia i na uniwersytecie w Pensylwanii. Wielu z tych tabli- czek nikt jeszcze nie przeczyta� i nie rozszyfrowa�. W muzeal- nych piwnicach zaczyna pokrywa� je kurz. W�r�d odczytanych tabliczek na szczeg�ln� uwag� zas�u- guje tabliczka, zwana Plimpton 322, znajduj�ca si� w mu- zeum Uniwersytetu Columbia. Na ca�� jej zawarto�� sk�ada si� pi�tna�cie tr�jek liczb. Pierwsza liczba ka�dej tr�jki Jest pe�nym kwadratem, a zarazem sum� dw�ch pozosta�ych liczb danej tr�jki, kt�re te� s� pe�nymi kwadratami. Zatem tablicz- ka Plimpton 322 zawiera kwadraty liczb, tworz�cych pi�tna- �cie tr�jek pitagorejsklch.7 S� w�r�d nich m.ln. liczby 25 = 16 + 9, odpowiadaj�ce najprostszej tr�jce pitagorej sklej (5, 4, 3), a tak�e 169 = 144 + 25, czyli 132 = 122 + 52. Na py- 7 Uwag� spo�eczno�ci naukowej na tabliczk� Plimpton 322 i zaawansowany poziom matematyki babilo�skiej zwr�ci� w 1934 roku Otto Neugebauer. Do- k�adniejszy opis tych kwestii w j�zyku polskim mo�na odnale�� np. w pracach: Marek Kordos: Wyk�ady z historii matematyki. WSiP, Warszawa 1994; Historio matematyki, pod red. A. P. Juszkiewicza. PWN, Warszawa 1975. 24 � WIELKIE TWIERDZENIE FERMATA Fot. Columbia University. Rare Books and Manuscript Library. tanie, z jakich powod�w staro�ytni Babilo�czycy interesowali si� akurat tymi liczbami, historycy nie udzielaj� zgodnych odpowiedzi. Jedna z teorii g�osi, �e to zainteresowanie by�o podyktowane czysto praktycznymi wzgl�dami; argumentuje si� w niej, �e Babilo�czykom do oblicze� w systemie sze��- dziesi�tkowym wygodniej by�o u�ywa� liczb ca�kowitych ni� u�amk�w, a �adne, pe�ne kwadraty liczb ca�kowitych przyda- wa�y si� do rozwi�zywania praktycznych zada�. Inni eksperci s�dz�, �e zainteresowanie kwadratami liczb ca�kowitych mog- �o by� po prostu przejawem zwyk�ej ciekawo�ci. Niezale�nie od motyw�w, wydaje si�, �e tabliczka Plimpton 322 mog�a s�u- �y� - jako swego rodzaju pomoc dydaktyczna - do t�umacze- nia uczniom rozwi�za� zada�, w kt�rych wyst�powa�y kwa- draty liczb ca�kowitych. Babilo�czycy bowiem nie rozwijali og�lnych teorii rozwi�zywania takich zada�, lecz tworzyli ta- bliczki z listami tr�jek odpowiednich liczb, a zadaniem uczni�w by�o opanowanie sposobu ich odczytywania i wyko- rzystywania. AMIR D, ACZEL � 25 Staro�ytne sprzysi�enie czcicieli liczb Pitagoras urodzi� si� oko�o 580 roku p. n. e. na greckiej wyspie Samos.8 Zje�dzi� staro�ytny �wiat wzd�u� i wszerz; odwiedza� Babilon, Egipt, mo�e nawet Indie. Podczas swych podr�y do Babilonu Pitagoras nawi�za� kontakty z tamtejszymi mate- matykami i dowiedzia� si� o badaniach liczb, kt�re p�niej nazwano na jego cze�� tr�jkami pitagorejskimi, a kt�re znane by�y w�wczas babilo�skim uczonym od ponad 1500 lat. Pitagoras spotka� te� tw�rc�w wspania�ych dzie� sztuki, a matematyczne aspekty cud�w architektury niew�tpliwie nie usz�y jego uwadze. Zetkn�� si� r�wnie� z filozofi� i religia- mi Wschodu. Po powrocie do Grecji opu�ci� wysp� Samos i przeni�s� si� do le��cej na podeszwie "w�oskiego buta" Krotony. Zwr��my uwag� na ciekawostk�: Pitagoras zapewne widzia� wi�kszo�� z siedmiu cud�w �wiata. Jeden z nich, �wi�tynia Hery, znajdo- wa� si� na jego rodzinnej wyspie Samos. Ruiny wspania�ej �wi�tyni - do dzi� zachowa�a si� tylko jedna samotna kolum- na, kt�ra ocala�a spo�r�d setek Innych - s�siaduj� obecnie z nowoczesnym miastem Pythagorion, nazwanym tak na cze�� znamienitego obywatela wyspy. Po drugiej stronie cie�niny, kilka mil na p�noc wzd�u� brzegu, na terenie dzisiejszej Turcji sta�a ongi� �wi�tynia Artemidy w Efezie. Kolos Rodyjski znaj- dowa� si� o par� krok�w na po�udnie od Samos; w Egipcie Pi- tagoras widzia� tamtejsze piramidy i Sfinksa, a w Babilonie uj- rza� niew�tpliwie wisz�ce ogrody Semiramidy. Po�udniowa cz�� P�wyspu Apeni�skiego, w tym Krotona, w kt�rej osiedli� si� Pitagoras, by�a w owym czasie cz�ci� tzw. Magna Graecia, czyli Wielkiej Grecji, obejmuj�cej swym zasi�- giem liczne kolonie rozrzucone na wybrze�ach wschodniej cz�- �ci basenu Morza �r�dziemnego. Jedn� z takich kolonii stano- 8 Istniej� wprawdzie staro�ytne biografie Pitagorasa, na przyk�ad pi�ra Dioge- nesa Laertiosa, lecz nie ma pe�nej zgody co do tego, czy Pitagoras naprawd� jest postaci� historyczn�; Arystoteles uwa�a� Pitagorasa jedynie za personifika- cj� idei pitagorejskiej (przyp. t�um.). 26 � WIELKIE TWIERDZENIE FERMATA wi�a p�niej Aleksandria - potomkowie ludno�ci etnicznie greckiej przetrwali w niej do pocz�tk�w wieku dwudziestego. Niedaleko Krotony po�o�one by�y Jaskinie licznych wyroczni, w tym stawnej wyroczni delficklej, przepowiadaj�cej (czy traf- nie, to inna sprawa) losy ludzi i narod�w. Wszystko jest liczb� Na ja�owych, kamienistych, sk�panych w bezlitosnym s�o�cu terenach P�wyspu Apeni�skiego Pitagoras za�o�y� tajemny zwi�zek, kt�rego celem sta�o si� studiowanie w�asno�ci liczb. Zgodnie z popularnym pogl�dem cz�onkowie tego zwi�zku, tak zwani pitagorejczycy, stworzyli - pracuj�c w g��bokiej ta- jemnicy - solidny kawa� matematycznej wiedzy. Uwa�a si�, �e AMIR D. ACZEL � 27 pitagorejczycy wyznawali doktryn� intelektualn�, kt�r� dobrze streszcza ich motto: "wszystko jest liczb�". R�ne liczby, obda- rzone wedle pitagorejczyk�w cechami magicznymi, by�y dla nich przedmiotem swoistego kultu. W kr�gu zainteresowa� pitagorejczyk�w znalaz�y si� m.in. liczby "doskona�e", pojawia- j�ce si� tak�e w badaniach uczonych �redniowiecza i w mistycz- nej �ydowskiej Kabale. Liczba doskona�a to liczba naturalna, kt�ra jest sum� wszystkich (nie licz�c jej samej) swych dzielni- k�w. Najprostszy przyk�ad stanowi sz�stka, kt�ra jest iloczy- nem tr�jki, dw�jki i jedynki; w dodatku s� to jej wszystkie (nie licz�c jej samej) dzielniki. Mamy wi�c 6 = 3 x 2 x l. Zauwa�my jednak, �e je�li - zamiast mno�y� - dodamy te liczby, to wynik si� nie zmieni: 6=3+2+ l. To za� oznacza, �e sz�stka jest licz- b� doskona��. Inn� liczb� doskona�� jest 28, kt�rej dzielnikami s� l, 2, 4, 7 i 14; �atwo sprawdzi�, �e 28 = l + 2 + 4 + 7 + 14. Pitagorejczycy wiedli ascetyczny tryb �ycia, pe�en rozlicz- nych obwarowa� i zasad. Nie Jedli na przyk�ad bobu, gdy�, ich zdaniem, swym kszta�tem przypomina� j�dra. Ich zaabsorbo- wanie liczbami mia�o charakter religijny; na religijnych pod- stawach tak�e opiera� si� rygorystycznie przez nich przestrze- gany �cis�y wegetarianizm. Nie znamy wprawdzie �adnych dokument�w pisanych z czas�w Pitagorasa, lecz wiele nieco p�niejszych �r�de� staro�ytnych przedstawia dzie�o mistrza l jego uczni�w, a sam Pitagoras uznawany jest za jednego z najwi�kszych matematyk�w staro�ytnych. Przypisuje mu si� odkrycie twierdzenia, zwanego dzi� twierdzeniem Pitagorasa, m�wi�cego o kwadratach d�ugo�ci bok�w tr�jk�ta prostok�t- nego. Ma ono �cis�y zwi�zek z tr�jkami pitagorejskimi, a po- �rednio wi��e si� te� z m�odszym o dwa tysi�clecia wielkim twierdzeniem Fermata. Kwadrat przeciwprostok�tnej Jest r�wny sumie kwadrat�w pozosta�ych bok�w... Samo twierdzenie znane by�o zapewne ju� w Babilonie, Babl- lo�czycy bowiem wiedzieli o istnieniu tr�jek pitagorejsklch. 28 � WIELKIE TWIERDZENIE FERMATA Y2 Sformu�owanie og�lnego zagadnienia geometrycznego, kt�re ma sens nie tylko wtedy, gdy d�ugo�ci bok�w s� Liczbami natu- ralnymi, przypisuje si� jednak pitagorej czy koma. Twierdzenie Pitagorasa (prosz� spojrze� na rysunek powy�ej) g�osi, �e kwa- drat d�ugo�ci przeciwprostok�tnej jest r�wny sumie kwadra- t�w d�ugo�ci przyprostok�tnych. Gdy d�ugo�� przeciwprostok�tnej Jest liczb� maturaln� (na przyk�ad r�wn� 5), to mo�e si� zdarzy� tak, �e w�r�d dopusz- czalnych przez twierdzenie Pitagorasa d�ugo�ci przyprostok�t- nych znajdziemy par� liczb naturalnych (dla pi-�tki rzeczywi- �cie tak Jest - wystarczy wzi�� tr�jk� i czw�rk�). Innymi s�owy, je�li d�ugo�ci bok�w tr�jk�ta prostok�tnego s� l iczbami natu- ralnymi, to tworz� tr�jk� pitagorejsk� (i by� mo�=e znajduj� si� na tabliczce Plimpton 322, chocia� nie jest to takie pewne, albowiem r�nych tr�jek pitagorejskich Jest niesl-es�czenie wie- le, a wi�c du�o wi�cej ni� na s�awnej tabliczce, kt�ra zawiera ich zaledwie 15). AMIR D. ACZEL � 29 000 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Nawiasem m�wi�c, pitagorejczycy wiedzieli tak�e, �e kwa- draty liczb naturalnych s� sumami kolejnych liczb nieparzy- stych: 22 = 4 = l + 3; 32 =9=1+3+5; 42 = 16 =1+3+5+7 itd. Ilustrowali t� prawid�owo��, rysuj�c k�ka uk�adaj�ce si� w kwadratowy wz�r. Gdy do�o�ymy nieparzyst� liczb� k�ek, umieszczaj�c je wzd�u� dw�ch s�siednich bok�w kwadratu, powstanie nowy kwadrat. Liczby naturalne, wymierne i co jeszcze? Liczby ca�kowite, a tak�e liczby wymierne (to znaczy liczby ta- kie, jak 1/2, 1/3, 5/8, 147/1769 itp.) znane by�y w staro�yt- no�ci zar�wno w Egipcie, jak i Babilonie. Pitagorejczycy odkry- li, �e istniej� jeszcze liczby niewymierne - nie mo�na ich zapisa� w postaci u�amka o liczniku i mianowniku natural- nym, za� ich rozwini�cia dziesi�tne sk�adaj� si� z niesko�cze- nie wielu chaotycznie, nieokresowo rozmieszczonych cyfr. Licz- b� niewymiern� j est na przyk�ad liczba K = 3,141592653..., kt�ra wyra�a stosunek obwodu ko�a do jego �rednicy. W u�o- �eniu niesko�czenie wielu cyfr, tworz�cych rozwini�cie dzie- si�tne liczby TI, nie wida� �adnej regularno�ci; wypisanie tych wszystkich cyfr zaj�oby ca�� wieczno��. Oszcz�dzamy cenny 30 � WIELKIE TWIERDZENIE FERMATA czas, u�ywaj�c jako symbolu greckiej litery n. Mo�emy te� po- s�u�y� si� przybli�eniem, wypisuj�c sko�czon� liczb� cyfr po przecinku. W tej chwili, dzi�ki zastosowaniu komputer�w, znamy ich miliony, a nawet miliardy, cho� do wi�kszo�ci praktycznych cel�w wystarczy kilka pocz�tkowych. R�ne przybli�enia liczby TC znane by�y ju� Egipcjanom i Ba- bilonczykom w drugim tysi�cleciu przed nasz� er�. Zaintereso- wanie t� liczb� wi��e si� w naturalny spos�b z wynalezieniem kota. Przyjmowano, �e n to nieco wi�cej ni� 3. Co ciekawe, licz- ba 7t oddaje te� niekt�re proporcje piramidy Cheopsa. Niejaw- n� wzmiank� o n odnajdzie te� uwa�ny czytelnik Pierwszej Ksi�gi Kr�lewskiej Starego Testamentu (l Kri 7, 23), �ledz�c zawarty tam opis budowy kolistego zbiornika na wod�. Z poda- nych warto�ci obwodu i �rednicy mo�emy wnioskowa�, �e przyj�ta przez Izraelit�w warto�� n r�wna�a si�, z grubsza bio- r�c, trzy. Pitagorejczycy odkryli, �e pierwiastek z dw�ch jest licz- b� niewymiern�. Stosuj�c twierdzenie Pitagorasa do tr�j- k�ta prostok�tnego o dw�ch bokach jednostkowej d�ugo- �ci, stwierdzili, �e d�ugo�� przeciwprostok�tnej takiego tr�jk�ta wyra�a si� dziwn� liczb�: jej kwadrat jest r�wny dw�jce. Potrafili precyzyjnie wykaza�, �e nie jest to ani licz- ba ca�kowita, ani te� u�amek (m�wi�c �ci�lej: iloraz dw�ch liczb naturalnych). Cyfry rozwini�cia dziesi�tnego pierwiast- ka z dw�ch nie powtarzaj� si� w �aden regularny spo- s�b. Podobnie jak w przypadku TI, wypisanie wszystkich cyfr rozwini�cia trwa�oby ca�� wieczno��, tworz� bo- wiem one niesko�czony, jedyny w swoim rodzaju ci�g, w ni- czym nie przypominaj�cy ci�gu takiego jak na przyk�ad: 1,8571428571428571..., kt�ry przecie� �atwo mo�emy do- k�adnie opisa�, nie wymieniaj�c wcale jego wszystkich cyfr. Ka�da liczba, kt�ra ma okresowe rozwini�cie dziesi�tne (w naszym przyk�adzie okres stanowi powtarzaj�ca si� zbit- ka sze�ciu cyfr 857142), jest liczb� wymiern�, czyli ilorazem dw�ch liczb naturalnych a l b, a to znaczy, �e mo�emy j� zapisa� w postaci u�amka a/bo naturalnym liczniku l mianowniku. Na przyk�ad iloraz 13/7 jest r�wny liczbie AMIR D. ACZEL � 31 1,8571428571428571... - sze�ciocyfrowy ci�g 857142 po- wtarza si� po przecinku w niesko�czono��. Odkrycie niewymiemo�ci pierwiastka z dw�ch by�o dla pita- gorejczyk�w - zagorza�ych wielbicieli liczb - nieprzyjemn� nie- spodziank�. Zaprzysi�gli, �e nie podziel� si� t� wiadomo�ci� z nikim, kto nie by�by cz�onkiem ich zwi�zku. Tajemnicy nie uda�o si� Jednak zachowa�. Jedna z legend g�osi, �e zdrajc�, kt�ry ujawni� �wiatu sekret istnienia dziwnych liczb niewy- miernych, Pitagoras skaza� na �mier� przez utopienie i sam wykona� wyrok. Na osi liczbowej znajduj� si� liczby dw�ch rodzaj�w: wy- mierne i niewymierne. Razem wype�niaj� one o� liczbow� szczelnie, nie pozostawiaj�c najmniejszej dziurki. Liczby roz- mieszczone s� w bardzo, bardzo ma�ych (niesko�czenie ma- �ych) odst�pach. M�wi si�, �e u�o�enie liczb niewymiernych w�r�d liczb rzeczywistych jest g�ste. Oznacza to, �e ka�dy, cho�by i najmniejszy, odcineczek osi liczbowej zawiera liczby niewymierne. Co wi�cej, w ka�dym dowolnie ma�ym otoczeniu ka�dej liczby wymiernej jest niesko�czenie wiele liczb niewy- miernych, a w ka�dym dowolnie ma�ym otoczeniu liczby nie- wymiernej jest niesko�czenie wiele liczb wymiernych. M�wi�c nieco inaczej, oba podzbiory osi liczbowej - a wi�c liczby wymierne i liczby niewymierne - s� niesko�czone i bardzo do- k�adnie nawzajem przemieszane. Okazuje si� jednak, �e nie- sko�czono�ci mog� by� r�ne, a liczb niewymiernych jest w pewnym sensie niepor�wnywalnie wi�cej ni� wymiernych. W latach siedemdziesi�tych XIX wieku udowodni� ten fakt niemiecki matematyk Georg Cantor (1845-1918), kt�ry stwo- rzy� nauk� o w�asno�ciach zbior�w, tzw. teori� mnogo�ci. Z pocz�tku niewiele os�b by�o sk�onnych da� wiar� jego od- kryciom. Autora teorii, pozwalaj�cej okre�li�, ile jest liczb wy- miernych, a ile niewymiernych, wyszydza� i o�miesza� jego ar- cywr�g, Leopold Kronecker (1823-1891), znany ze swego stwierdzenia: "Liczby naturalne stworzy� dobry B�g, reszta za� Jest dzie�em cz�owieka". Mia�o to znaczy�, �e liczby niewymier- ne, takie Jak cho�by pierwiastek z dw�ch, nie istniej� napraw- d�, lecz s� jedynie idealnymi tworami naszej wyobra�ni. Przy- 32 � WIELKIE TWIERDZENIE FERMATA Mi�dzy dwiema dowolnymi liczbami wyinierryinl le�y Jaka� liczba niewymierna. i t U o i ? 1 n 2 Liczby wymierne to u�amki o ca�kowitym liczniku l mianowniku. pomnijmy: rzecz dzia�a si� ponad dwa tysi�ce lat po odkry- ciach pitagorejczyk�w! Oskar�a si� czasem Kr-oneckera o to, �e z powodu jego wrogo�ci Cantor nie obj�� presti�owej profe- sury na Uniwersytecie Berli�skim i ostatecznie, po licznych za�amaniach nerwowych, sko�czy� w przytu�ku dla ob��ka- nych. Dzi� wszyscy matematycy przyznaj� racj� Cantorowi l zgodnie twierdz�, �e chocia� oba zbiory, liczb wymiernych l liczb niewymiernych, s� niesko�czone, to dr-ugi z nich jest niesko�czenie wiele razy wi�kszy. Lecz czy staro�ytni Grecy to wszystko wiedzieli?9 Pitagorejskie dziedzictwo Wa�nym aspektem pitagorej sklej doktryny, ob ok uwielbienia liczb, nakaz�w przestrzegania odpowiedniej ddiety oraz owia- nych nimbem tajemnicy spotka� i rytua��w, by�o tak�e uzna- nie studi�w filozoficznych i matematycznych za moralny obo- wi�zek i cel �ycia. Niekt�rzy twierdz�, �e s�owa "filozofia" (czyli umi�owanie m�dro�ci) i "matematyka" (pochod� �ce od greckle- 9 Cantor w istocie poszed� du�o dalej i postawi� hipotez�, �e- nie istnieje �aden zbi�r, kt�ry mia�by istotnie wi�cej element�w ni� zbi�r liczb* wymiernych i jed- nocze�nie istotnie mniej ni� zbi�r liczb niewymiernych. To zdanie nosi nazw� hi- potezy continuum. W 1963 roku Pau� Cohen udowodni� niezale�no�� hipotezy continuum. Oznacza to, �e mo�na bez obaw do��czy� j� do i nnych aksjomat�w teorii mnogo�ci albo - r�wnie dobrze - mo�na przyj�� za p ewnik, �e hipoteza continuum jest fa�szywa. Istnienie takich alternatywnych matematycznych �wiat�w pozostaje jednym z najdziwniejszych fakt�w podsta-w matematyki. AMIR D, ACZEL � 33 go mathem, co znaczy "uczy� si�" lut) "wiedzie�") utworzy� sam Pitagoras, kt�ry zg��bianie wiedzy matematycznej traktowa� ja- ko swego rodzaju d��enie do wolno�ci i poznania harmonii �wiata. Pitagoras zmar� oko�o 500 r. p.n.e., nie pozostawiaj�c po so- bie �adnych dzie� utrwalonych na pi�mie. Szko�a w Krotonie uleg�a zniszczeniu, gdy grupa, rywalizuj�ca z pitagorej czykaml o polityczne wp�ywy, podczas niespodziewanego napadu wy- mordowa�a wi�kszo�� cz�onk�w tej szko�y filozoficznej. Nielicz- ni, kt�rzy zdo�ali ocale�, rozproszyli si� po �wczesnym greckim �wiecie wok� basenu Morza �r�dziemnego, zabieraj�c ze sob� sw� filozofi� i mistyczn� mi�o�� do liczb. W�r�d nowych uczni�w garstki uchod�c�w znalaz� si� m.in. Filolaos z Taren- tu, studiuj�cy matematyk� i filozofi� w szkole za�o�onej w owym mie�cie przez pitagorejczyk�w. Filolaos to pierwszy z greckich filozof�w, kt�ry spisa� histori� i osi�gni�cia zwi�zku pitagorejczyk�w. W�a�nie z jego ksi��ki Platon poznawa�, a p�niej sam opisa� pitagorejsk� kosmologi�, filozofi� liczby i mistycyzm. Znakiem i symbolem zwi�zku pitagorejskiego by� penta- gram, czyli pi�cioramienna gwiazda wpisana w pi�ciok�t fo- remny. Ramiona gwiazdy to przek�tne pi�ciok�ta, kt�re, prze- cinaj�c si�, tworz� nast�pny, mniejszy pi�ciok�t foremny (odwr�cony do g�ry nogami). Gdy narysujemy przek�tne mniejszego pi�ciok�ta, utworz� one jeszcze jeden pi�ciok�t i tak dalej, w niesko�czono��. Pi�ciok�t foremny i gwiazda z je- go przek�tnych maj� ciekawe w�asno�ci, kt�re pitagorejczycy uznawali za magiczne. Punkt przeci�cia dw�ch przek�tnych dzieli ka�d� z nich na dwie nier�wne cz�ci. Stosunek d�ugo�ci ca�ej przek�tnej do d�ugo�ci wi�kszego odcinka jest r�wny sto- sunkowi d�ugo�ci wi�kszego odcinka do d�ugo�ci mniejszego odcinka. Ten sam stosunek d�ugo�ci odcink�w powtarza si� w kolejnych, coraz mniejszych pi�ciok�tach. Nazywa si� go za- zwyczaj wsp�czynnikiem z�otej proporcji (albo z�otego podzia- �u). Jest to liczba niewymierna 1,61803398... Gdy podzielimy jedynk� przez t� liczb�, to zostanie tylko cz�� u�amkowa, czyli 0,61803398... Taki sam wynik otrzymaliby�my, odejmuj�c od 34 � WIELKIE TWIERDZENIE FERMATA wsp�czynnika z�otej proporcji jedynk�. Jak si� przekonamy nieco p�niej, z�ota proporcja wyst�puje w r�nych zjawiskach przyrodniczych, a oko ludzkie jest sk�onne postrzega� j� jako szczeg�lnie pi�kn�. Wsp�czynnik z�otej proporcji jest granicz- n� warto�ci� stosunk�w kolejnych liczb Fibonacciego - s�aw- nych liczb, kt�re spotkamy ju� wkr�tce. Czytelnik mo�e sprawdzi�, �e wsp�czynnik z�otej proporcji pojawia si� w Interesuj�cy spos�b w wyniku wykonania serii prostych dzia�a� na kalkulatorze. Trzeba mianowicie zacz�� od Jedynki, potem nacisn�� trzy klawisze: +, l, =, p�niej klawisz l/x, nast�pnie zn�w trzy klawisze +, l, =, znowu l/xitd. Je�li tylko wystarczy nam cierpliwo�ci, po kilkunastu krokach kal- kulator zacznie wskazywa� na przemian 1,618... l 0,618... Wi�ksza z tych liczb to w�a�nie wsp�czynnik z�otej proporcji, r�wny w rzeczywisto�ci po�owie sumy jedynki i pierwiastka kwadratowego z pi�ciu. Mo�na si� o tym przekona�, uk�adaj�c i rozwi�zuj�c r�wnanie opisuj�ce z�ot� proporcj�. Z niewymier- no�ci pierwiastka kwadratowego z pi�ciu wynika niewymier- no�� wsp�czynnika z�otej proporcji (w do�wiadczeniu z kalku- latorem obserwujemy w istocie tylko Jego coraz dok�adniejsze wymierne przybli�enia). Temu zjawisku przypatrzymy si� jesz- cze bli�ej nieco p�niej. Pitagorejczycy odkryli tak�e, �e je�li stosunek d�ugo�ci dw�ch napi�tych strun wyra�a si� niewielkimi liczbami natu- ralnymi, to struny te wydaj� d�wi�ki przyjemnie wsp�brzmi�- AMIR D. ACZEL � 35 ce. Wed�ug Arystotelesa pitagorejczycy wierzyli, �e Wszech- �wiat to przede wszystkim muzyka i liczby. Ich wiara w zasad�, zgodnie z kt�r� wszystko jest liczb�, mia�a swoje �r�d�a w kon- templacji harmonii, widocznej m.in. w muzyce czy geometrii. Pitagorejczycy s�dzili ponadto, �e wszystkie podstawowe sto- sunki w muzyce mo�na opisa� liczbami: l, 2, 3 i 4, kt�re s� przez to wa�niejsze od innych. Suma tych liczb to 10; dlatego w�a�nie liczymy w systemie dziesi�tnym. Pitagorejczycy przed- stawiali liczb� 10, rysuj�c tr�jk�t o nazwie tetraktys:10 O o o 000 0000 Na tetraktys, uznany za �wi�to��, pitagorejczycy sk�adali przysi�gi. Nawiasem m�wi�c, Arystoteles, Owidiusz i wielu In- nych klasycznych autor�w podaje, �e liczba dziesi�� jest pod- staw� systemu liczenia dlatego, �e cz�owiek ma dziesi�� pal- c�w u r�k. Przypomnijmy jednak, �e Babllo�czycy korzystali z systemu liczenia