WIELKIE TWIERDZENIE FERMATA NA ŚCIEŻKACH NAUKI W 1997 roku w serii ukazały się: Krzysztof Ciesielski, Zdzisław Pogoda: Diamenty matematyki Rudolf Kippenhahn: Na tropie tajemnic Słońca Ken Croswell: Alchemia nieba. Opowieść o Drodze Mlecznej, gwiazdach i astronomach Francis Crick: Zdumiewająca Hipoteza, czyli nauka w poszukiwaniu duszy Robert Zubrin, Richard Wagner: Czas Marsa. Dlaczego i w jaki sposób musimy skolonizować Czerwoną Planetę Peter Coveney, Richard Highfieid: Granice złożoności. Poszukiwania porządku w chaotycznym świecie Roger Penrose: Makroświat, mikroświat i ludzki umysł Susan Quinn: Życie Marii Curie >-^^-sffV^- W 1998 roku w serii ukazały się: James Shreeve: Zagadka neandertalczyka. W poszukiwaniu rodowodu współczesnego człowieka Donald Goidsmith: Największa pomyłka Einsteina? Stała kosmologiczna i inne niewiadome w fizyce Wszechświata Frank E. Manuel: Portret Izaaka Newtona J. D. Macdougall: Krótka historia Ziemi. Góry, ssaki, ogień i lód W przygotowaniu: Michael White, )ohn Gribbin: Darwin. Żywot uczonego Igor Nowikow: Rzeka czasu AMIR D. ACZEL WIELKIE TWIERDZENIE FERMATA Rozwiązanie zagadki starego matematycznego problemu Przełożył Paweł Strzelecki Prószy^ski i ^lderc,nduosquadr.(os. l ^^»s^e-n-^yl.^. i- Impcratum l" vi 16. diuidnur «., .<«-',»-.,,» in duos quadracos. Ponatur 'Bl»to^» ArtC A?j«» «(/low- ptimus« O^Oportr- igicur 16 9p«ty»ret(. <^ i*5t>3i*' o 'BCy-rec - l CL«q">l" e(rc ^"łdrato. JUwifuusfUlLC. ^Ili *Ut ^'a- Finzo ouadralum a numens . - i i, o i -.' quo(quot l.bucrit, cum dcfc- ^ "r ^ •'W^-^ cłu tot vnitaium quot conii- «9 ł»>«JMra>. bunTur ynkaribu. .< -iCL o/•f(l•'^,/3 ^f* ^•,^W Comniunisadiiciarur virimquc «<»» i wp»)A)»et tran ^,''ir[A«'-»Lł (('łr'] ł«JUia im r.nturfiHulia. ficntJ Q«qu»- . ir^^-^"? W lei ic N. & fic i N. 7 Entiei- ^~ ^ /' • ~t '-v-J cnr altrr quadraionim T:-' . after "»" f((az + b)/(cz + d)). Róż- nych podstawień tej postaci może być nieskończenie wiele. Liczby a, b, c, d, ułożone w macierz (kwadratową tabelę 2x2), tworzą obiekt algebraiczny, zwany grupą. Porządek wykonywa- nia podstawień nie gra roli; funkcja f jest niezmiennicza wzglę- dem owej grupy przekształceń. Takie dziwne, niesamowite funkcje Poincare nazwał formami automorflcznymi. Formy automorficzne skrywają w sobie liczne wewnętrzne symetrie; zaiste, to twory bardzo, bardzo niezwykłe. Poincare nie był do końca przekonany o ich istnieniu. Opisując swoją pracę, opowiadał, że przez dwa tygodnie co rano po przebudze- niu zasiadał na parę godzin przy biurku i próbował przekonać sam siebie, że formy automorficzne, które wymyślił, nie mogą Istnieć. Piętnastego dnia zdał sobie sprawę, że się mylił. Te dziwne, trudne do wyobrażenia i ogarnięcia rozumem funkcje naprawdę istniały. Poincarć wprowadził też nieco ogólniejsze, jeszcze bardziej skomplikowane, formy modułowe. Formy mo- dułowe mają rację bytu na górnej połówce płaszczyzny zespo- lonej, w świecie geometrii hiperbolicznej, a więc w dziwnej przestrzeni, gdzie zamiast reguł Euklidesa obowiązują reguły AMIR D. ACZEL . 89 Bolyala i Łobaczewsklego. Przez każdy punkt górnej półplasz- czyzny przechodzi wiele "prostych" równoległych do "prostej" danej. Dziwne formy modułowe odznaczają się w świecie geome- trii hiperbolicznej nieoczekiwanie licznymi symetriami, do których należą na przykład przesunięcia czy branie odwrot- ności liczby zespolonej. Na rysunku poniżej przedstawiony jest wykorzystujący te symetrie parkietaż górnej półpłaszczy- 90 • WIELKIE TWIERDZENIE FERMATA zny. W hiperbolicznym świecie wszystkie "wielokąty" są iden- tyczne. Poincare wkrótce porzucił obdarzone symetriami formy au- tomorficzne i jeszcze bardziej zawiłe formy modułowe, by za- jąć się inną matematyką. Zaprzątała go masa zagadnień, czę- stokroć po kilka naraz z różnych dziedzin; nie miał czasu przesiadywać, kontemplując piękno tylko jednego rodzaju trudno wyobrażalnych i nieskończenie symetrycznych obiek- tów. I chociaż tego nie wiedział, zasiał jedno z ziaren, z które- go miał kiedyś wykiełkować ostateczny dowód wielkiego twierdzenia Fermata. Nieoczekiwane skojarzenie z obwarzankiem W 1922 roku angielski matematyk Louis J. Mordell odkrył coś, co wskazało na dziwny związek między topologią i rozwiązania- mi równań algebraicznych. Przedmiotem zainteresowania topo- logii są różnorodne przestrzenie i powierzchnie. (Gdy topolog mówi "powierzchnia", czasem ma na myśli dwuwymiarowy obiekt umieszczony w trójwymiarowym świecie, podobny do klasycznych figur rozważanych w geometrii starożytnych Gre- ków, czasem zaś chodzi mu o dość niezwykły twór położony w przestrzeni o większej liczbie wymiarów). Topologia bada włas- ności tych przestrzeni i określonych na nich przekształceń cią- głych. Mordell natrafił na fragment topologii, dotyczący po- wierzchni w przestrzeni trójwymiarowej. Jedną z najprostszych powierzchni stanowi sfera, na przykład powierzchnia piłki do koszykówki. Piłka Jest wprawdzie trójwymiarowa, ale jej nie- skończenie cienka powierzchnia to obiekt jedynie dwuwymiaro- wy. Weźmy teraz pod uwagę kulę ziemską. Cała Ziemia jest trój- wymiarowa - żeby umiejscowić dowolny jej punkt (czy to na powierzchni, czy wewnątrz globu), trzeba podać trzy współrzęd- ne: długość i szerokość geograficzną oraz głębokość pod po- wierzchnią. Pozbawiona głębokości powierzchnia Ziemi jest jed- nak dwuwymiarowa. By określić położenie dowolnego punktu, wystarczy podać dwie liczby: długość i szerokość geograficzną. AMIR D. ACZEL • 91 genus = O genus = 1 genus = 2 Dwuwymiarowe powierzchnie w trójwymiarowej przestrzeni można rozróżniać, podając ich genus (albo inaczej rodzaj). Ge- nus to liczba dziur w powierzchni. Genus sfery, w której nie ma żadnych dziur, równa się zero. Obwarzanek ma w środku jedną dziurę. Zatem powierzchnia obwarzanka (którą matema- tycy nazywają torusem) ma genus równy jeden. Gdy mówimy "dziura", mamy na myśli otwór na wylot, przez który można by na przykład przewlec nitkę. Powierzchnia filiżanki z dwojgiem uszu ma w sobie dwie dziury na wylot. Zatem jej genus jeat- równy dwa. Powierzchnię ustalonego genusu można w sposób wzajem- nie jednoznaczny i ciągły przekształcić na dowolną, inną po- wierzchnię tego samego genusu. Wystarczy sobie wyobrazić, że obie są wykonane z nieskończenie rozciągliwej gumy. Jeśli jed- funkcja ciągła funkcja nieciągta 92 • WIELKIE TWIERDZENIE FERMATA nak chcemy przekształcić powierzchnię jednego genusu w po- wierzchnię genusu innego rodzaju, to musimy niektóre dziury stworzyć lub zniszczyć. Nie można tego dokonać jednocześnie w sposób i różnowartościowy, i ciągły, bo zmiana liczby dziur wymaga albo meciągłego rozdzierania powierzchni, albo nie- różnowartościowego sklejania Jej różnych punktów. Wróćmy jednak do Mordella. Otóż wpadł on na trop dziwnej, całkowicie nieoczekiwanej zależności: liczby dziur (genusu) po- wierzchni odpowiadającej przestrzeni rozwiązań równania za- leżą tylko od tego, czy równanie ma skończenie, czy też nie- skończenie wiele rozwiązań. Otóż jeśli powierzchnia opisana przez równanie, leżąca w pewnej dość specjalnej przestrzeni, tak zwanej dwuwymiarowej zespolonej przestrzeni rzutowej, ma przynajmniej dwie dziury (czyli genus równy dwa lub wię- cej), to wtedy równanie posiada wśród liczb całkowitych tylko skończenie wiele istotnie różnych rozwiązań. Odkrycia tego Mordell nie umiał, niestety, udowodnić. Zaczęto je więc nazy- wać hipotezą Mordella. Dowód Faltingsa W 1983 roku dwudziestosiedmioletni matematyk niemiecki, Gerd Faltings, pracujący wówczas na Uniwersytecie w Wup- pertalu, udowodnił hipotezę Mordella. Faltings nie interesował się wielkim twierdzeniem Fermata, uważając je za izolowany problem teorii liczb. Mimo to z Jego niezwykle pomysłowego do- wodu, wykorzystującego potężną dwudziestowieczną maszyne- rię geometrii algebraicznej, wypływały ważne wnioski, zmienia- jące status quo wielkiego twierdzenia Fermata. Powierzchnia opisana równaniem Fermata ma dla n większych od 3 genus co najmniej równy 2. Zatem z prawdziwości hipotezy Mordella jasno wynika, że jeśli w ogóle istnieją trójki liczb całkowitych spełniające to równanie, to jest Ich tylko skończenie wiele.30 30 Przy ustalonym wykładniku n i przy założeniu, że liczby wchodzące w skład trójki nie mają wspólnych dzielników (przyp. dum.). AMIR D. ACZEL • 9.3 Ów pocieszający wynik uzmysłowił przynajmniej, że liczba roz;- wiązań jest ograniczona. Wkrótce potem dwaj matematycy, Granville i Heath-Brown, skorzystali z wyniku Faltingsa, by udowodnić, że jeśli w ogóle istnieją rozwiązania równania Fer~- mata, to ich liczba nie rośnie wraz ze wzrostem wykładnika m. Pokazali oni, że gdy n rośnie nieograniczenie, to wśród wykładl- ników mniejszych od n jest niemal sto procent takich, dla któ- rych wielkie twierdzenie Fermata zachodzi. Innymi słowy, okazało się, że wielkie twierdzenie Fermat.a jest "niemal zawsze" prawdziwe. Jeśli istniałyby rozwlązani«a równania Fermata (to znaczy w przypadku, gdyby wielkie twier"- dzenie Fermata okazało się Jednak fałszywe), to byłoby ich, p. o pierwsze, "niewiele", a po drugie - istniałyby tylko dla "niewie-- lu" wykładników. Zatem status wielkiego twierdzenia Fermatsa w roku 1983 przedstawiał się następująco. Twierdzenie byt" o udowodnione dla wszystkich wykładników n nie przekraczają- cych miliona (w 1992 roku tę granicę podniesiono do czterecBi milionów). Dla większych wykładników n wiadomo było, że Jeśli! w ogóle istnieją rozwiązania równania Fermata, to jest ich mat'o - w pewnym sensie tym mniej, im większy jest wykładnik. Tajemniczy grecki generał o zabawnym nazwisku! Istnieją cale tuziny świetnych książek o matematyce, wyda- nych we Francji i napisanych po francusku przez niejakieg.o Nicolasa Bourbakiego. W swoim czasie żył grecki generał no- szący nazwisko Bourbaki (1816-1897); w 1862 roku oferowa- no mu tron grecki, ale odmówił. Generał odegrał ważną rolLę w wojnie francusko-pruskiej i dzięki temu ma pomnik we fran- cuskim mieście Nancy. Kłopot polega na tym, że generał Bouir- bakl z matematyką nie miał nic wspólnego l nigdy nie napisał żadnej książki - ani matematycznej, ani jakiejkolwiek inneJ. Kto więc jest autorem licznych tomów, opatrzonych na okładce Jego nazwiskiem? Odpowiedzi na to pytanie należy szukać w beztroskim, rados- nym życiu Paryża w dwudziestoleciu międzywojennym, kledły 94 • WIELKIE TWIERDZENIE FERMATA Hemingway, Picasso l Matisse, jak wielu innych mieszkańców tego miasta, uwielbiali przesiadywać w kawiarniach, spotykać przyjaciół, przyglądać się przypadkowym przechodniom i sa- memu być przedmiotem ludzkich obserwacji. W owym czasie, w otoczeniu kafejek Dzielnicy Łacińskiej l na Sorbonie, życie tętniło też wśród barwnej społeczności matematyków. Profeso- rowie uniwersytetu również lubili spotykać przyjaciół i w do- brej kawiarni na bulwarze St. Michel, przy filiżance kawy z mlekiem lub szklaneczce anyżówki, o dwa kroki od pięknych Ogrodów Luksemburskich, podyskutować... o matematyce. Paryska wiosna inspirowała pisarzy, artystów l matematyków. Wyobraźmy sobie, że w słoneczny dzień zebrała się w przy- jemnej kafejce grupa żywo rozprawiających matematyków. Podczas ognistych dysput o subtelnościach takiej czy innej teorii pojawiło się stopniowo uczucie braterstwa. Heming- wayowi, który pisał, że lubił pracować w kawiarni, hałaśliwe rozmowy zapewne by przeszkadzały, zmuszając go do przenie- sienia się do Jednej z knajpek rezerwowych, już nie tak przez niego lubianych. Kto jednak zwracałby uwagę na samotnego brodacza w kącie? Matematycy cenią sobie własne towarzy- stwo i upojną atmosferę kawiarni pełnej kolegów po fachu, mówiących tym samym, symbolicznym Językiem liczb, funkcji i przestrzeni. "Tak właśnie musieli się czuć pitagorejczycy, roz- prawiając o matematyce" - rzucił być może Jeden z seniorów, wznosząc kieliszek w toaście. "No tak, ale oni nie pijali any- żówki" - odparł ktoś inny, wzbudzając salwę śmiechu. "Mogli- byśmy pójść ich śladem - rzekł pierwszy z rozmówców. - Dla- czego właściwie nie stworzymy własnego bractwa? Naturalnie w tajemnicy". Dookoła zabrzmiały głosy poparcia. Ktoś wpadł na pomysł, by posłużyć się nazwiskiem starego generała Bour- bakiego - być może dlatego, że w owym czasie na Wydziale Ma- tematyki na Sorbonie panował obyczaj zapraszania co roku za- wodowego aktora, który audytorium profesorów i studentów przedstawiał się jako Nicolas Bourbaki i - operując matema- tycznym żargonem - wygłaszał następnie długi, dwuznaczny monolog. Publiczność bawiła się na ogół świetnie, gdyż w bo- gatych współczesnych teoriach matematycznych używa się do AMIR D. ACZEL • 95 zwięzłego opisu różnych pojęć bardzo wielu słów, często w zna- czeniu zupełnie odmiennym od potocznego. Jednym z takich! słów jest przymiotnik "gęsty". Zdanie, że "zbiór liczb wymier- nych jest gęsty wśród liczb rzeczywistych", znaczy, iż w każ- dym otoczeniu dowolnej liczby (zarówno wymiernej, Jak i nie- wymiernej) znajdują się liczby wymierne. W codziennym życiu-i słowo "gęsty" ma wiele innych znaczeń. Doktoranci wydziałów matematyki również i dziś w chwilachł braku lepszego zajęcia zabawiają się słownymi grami, opowia- dając na przykład historię dywizora, który ma odwiedzić pew- ną rozmaitość i sprawdzić, czy wszystkie snopy są wiotkie, czy też miękkie (słowa "dywizor", "rozmaitość", "snop", "wiotki"*, "miękki" mają w matematyce ściśle określone znaczenie, dale-- kie od ewentualnych skojarzeń Czytelnika, nie posiadaj ąceg«o wyższego wykształcenia w tej dziedzinie).31 Książki napisane wspólnie przez matematyków z owego francuskiego stowarzyszenia noszą na okładce nazwisko Nico»- lasa Bourbakiego. Równocześnie zainicjowano seminariunm Bourbakiego, na którym często omawiane były nowe idee i teo- rie matematyczne. Członkostwo w stowarzyszeniu było z załoa- żenia anonimowe, a zasługę za uzyskane razem wyniki przypa- sywano nie konkretnym osobom wymienionym z nazwisksa, lecz właśnie Bourbakiemu. Członkom stowarzyszenia Bourbakiego daleko jednak był: o do pitagorejczyków. Wprawdzie autorem podręczników mienił się Bourbaki, lecz wyniki badań, czyli twierdzenia i ich dowodly - mające z reguły większy wpływ na prestiż i pozycję matema- tyka niż napisane przezeń książki - podpisywali własnymi na- zwiskami ci członkowie grupy, do których dane osiągnięcie w istocie należało. Jednym z pierwszych członków stowarzy- szenia był Andre Well (1906-), który później przeniósł się dio Stanów Zjednoczonych, do sławnego Institute for Advance-d 31 Angielska gra słów w oryginale: beautiful Poły Nomifil who meets a smooth ope- rator Curly Pi, traci po polsku swój urok. W naszym kraju specjalistami w dzBe- dzinie słownych zabaw z terminologią matematyczną są tradycyjnie studenci Uniwersytetu Jagiellońskiego, piszący cale opowiadania złożone wylączm.ie z dwuznacznych zdań, najeżonych niezrozumiałym żargonem (przyp. tłum.). 96 • WIELKIE TWIERDZENIE FERMATA Study w Princeton. Jego nazwisko zawsze pojawiało się w po- bliżu ważnej hipotezy, prowadzącej do rozwiązania problemu Fermata. Do założycieli bractwa Bourbakiego należał także Jean Dieudonne, który - podobnie Jak większość pozostałych człon- ków tego towarzystwa "tylko dla Francuzów" - przeniósł się z czasem na zieleńsze pastwiska uniwersytetów amerykań- skich. Dieudonne, główny autor wielu spośród książek podpi- sanych przez Bourbakiego, świetnie uosabia starcie indywidual- nych ambicji bourbakistów z ich dążeniem do zachowania anonimowości członków stowarzyszenia. Pewnego razu Dieu- donne opublikował pracę podpisaną nazwiskiem Bourbakiego. Jak się okazało, praca zawierała błąd, więc Dieudonne napisał notkę zatytułowaną "O pewnym błędzie N. Bourbakiego" i pod- pisał ją własnym nazwiskiem.32 Nieco schizofreniczny charakter stowarzyszenia (wszyscy je- go członkowie byli Francuzami, ale większość z nich mieszkała w Stanach Zjednoczonych) przejawiał się też w adresie do kore- spondencji, umieszczanym przez Bourbakiego w publikacjach. Zazwyczaj wynika z niego, że autor, Nicolas Bourbaki, pracuje na uniwersytecie w nie istniejącym mieście Nancago, którego nazwa bierze swój początek od francuskiego Nancy, a końców- kę od Chicago. Bourbaki publikuje jednak wyłącznie po fran- cusku, a gdy spotykają się członkowie stowarzyszenia (zazwy- czaj dzieje się to w jednym z francuskich kurortów), bywa, że rozmowa toczy się nawet w specyficznym żargonie paryskich studentów. W życie owych matematyków francuskich, miesz- kających w Ameryce, wkroczył szowinizm. Andre Weił, jeden z założycieli grupy bourbakistów, opublikował wprawdzie wiele Istotnych prac po angielsku, ale jego Dzielą zebrane, mające pewien związek z hipotezą, z której wynika wielkie twierdzenie Fermata, ukazały się już po francusku, jako Oeuures.33 W wy- 32 Większość powszechnie znanych faktów o sekretnym towarzystwie Bourba- kiego pochodzi z artykułu Paula R. Halmosa: Nicolas Bourbaki, "Scientific American", t. 196, maj 1957, s. 88-97. 33 Andre Weił: Oeuures, t. I-III. Springer-Verlag, Paryż 1979. AMIR D. ACZEL • 97 niku niezwykłych działań Weila skrzywdzony został jeden z pierwszoplanowych aktorów naszej historii, czego Well nie chciał zresztą uznać. Trzeba przyznać, że członkowie towarzystwa Bourbakiego byli obdarzeni poczuciem humoru. Przed około czterdziestu la- ty do Amerykańskiego Towarzystwa Matematycznego (Ameri- can Mathematical Society, w skrócie AMS) wpłynęło podanie Nicolasa Bourbakiego z prośbą o przyjęcie w poczet członków. Niewzruszony sekretarz towarzystwa odpisał, że jeśli Bourbaki chce zostać członkiem AMS, musi ubiegać się o członkostwo jako instytucja (z czym, oczywiście, wiązały się dużo -wyższe składki). Na ten list Bourbaki nie odpowiedział. Krzywe eliptyczne Zagadnienia diofantyczne, wiążące się z równaniami podobny- mi do tych, które w III wieku naszej ery rozpatrywał Diofantos, w XX wieku stały się przedmiotem intensywnych badań, pro- wadzonych m.ln. z użyciem obiektów, które matematyk nazywa krzywymi eliptycznymi. Krzywe eliptyczne wbrew pozorom nie- wiele mają wspólnego z elipsami. Najpierw, w dziewiętnastym stuleciu używano ich w związku z tzw. funkcjami eliptycznymi, wymyślonymi z kolei po to, by ułatwić obliczanie obwodu elip- sy. Jak w przypadku wielu różnych innowacji w matematyce, pionierem w tej dziedzinie był nie kto inny, tylko Gauss. Choć nazwa zdaje się sugerować co innego, krzywe eliptycz- ne nie są ani elipsami, ani funkcjami eliptycznymi. Mówiąc najprościej, są wielomianami trzeciego stopnia zależnymi od dwóch zmiennych; fachowcy widzą krzywe eliptyczne w napi- sach postaci y2 = ox3 + Łyc2 + c, gdzie liczby a, b i c są całkowi- te lub wymierne. Przykłady krzywych eliptycznych pokazują rysunki.34 34 Wg artykułu Kennetha A. Ribeta i Briana Hayesa: Fermat's Last Theorem and Modern Arithmetic, "American Scientist", t. 82, marzec-kwiecień 1994, s. 144-156. 98 • WIELKIE TWIERDZENIE FERMATA Gdy spoglądamy na punkty wymierne na krzywej eliptycz- nej - czyli tylko na te pary liczb wymiernych [x. y), spełniające powyższe równanie, w których zarówno x, jak i y są liczbami wymiernymi (żadnych niewymierności w rodzaju n czy pier- wiastka z dwóch do rozważań nie dopuszczamy) - okazuje się, AMIR D. ACZEL • 99* że owe punkty tworzą grupę. Znaczy to, że mają one ciekawe- własności. Dwa rozwiązania można w pewnym sensie "dodać",. a wynik też będzie rozwiązaniem (a więc punktem krzywej).- Specjaliści w dziedzinie teorii liczb fascynują się krzywymi! eliptycznymi, dzięki nim bowiem mogą rozwikłać wiele proble- mów dotyczących różnorodnych równań i ich rozwiązań. Krzy- we eliptyczne stanowią w teorii liczb jedno z najpotężniejszychi narzędzi badawczych.35 Dziwna hipoteza wisi w powietrzu Eksperci w dziedzinie teorii liczb, studiujący krzywe eliptycz- ne, wiedzieli od pewnego czasu, że niektóre z nich są modulo- we. Innymi słowy, niektóre krzywe eliptyczne związane byty/ w szczególny sposób z formami modułowymi, z płaszczyzną ze- spoloną l niezwykle symetrycznymi funkcjami w przestrzeń:! hiperbollcznej. Charakter oraz przyczyny tego związku pozo- stawały jednak niejasne. To wszystko stało się przedmiotem zainteresowania matematyki bardzo zawiłej nawet dla specjali- stów. Jej bogatą, niezwykle harmonijną strukturę wewnętrzną niełatwo było zrozumieć. Te krzywe eliptyczne, o których wie- dziano, że są modułowe, miały ciekawe własności. Dlaczegóz by więc nie postawić śmiałej hipotezy, że wszystkie krzywe? eliptyczne są modułowe? Aby zrozumieć, na czym polega Istota modułowości, pojęcia dotyczącego nieeuklidesowej geometrii górnej półpłaszczyzny - świata, w którym symetrie odbiegają bardzo daleko od codziennych przyzwyczajeń naszej wyobraźni - wygodnie jes t posłużyć się prostą analogią. Rozpatrzmy dla przykładu krzy- wą, która wcale nie jest eliptyczna; zamiast równania trzeciego stopnia mamy tylko równanie kwadratowe. Nasza krzywa. to zwykły okrąg. Równanie okręgu o promieniu a i środki-i leżącym w początku układu współrzędnych ma postać 3S Dobrym wprowadzeniem do tematu jest książka Josepha H. Silvermana i Jol-i- na Tate'a: Rational Points on Elliptic Curves. Springer-Verlag, Nowy Jork 1992. 100 • WIELKIE TWIERDZENIE FERMATA x1 + y2 = a2. Weźmy teraz dwie nieskomplikowane funkcje okresowe zmiennej t: x = a cos t oraz y = a sin t. Można je wstawić do równania okręgu w miejsce xi y i nic złego się nie stanie. Będzie tak, jakbyśmy pomnożyli obie strony znanej toż- samości trygonometrycznej cos2 t + sin2 t = l przez liczbę a2. W tym sensie równanie okręgu jest modułowe. Modułowa krzywa eliptyczna to pojęcie ogólniejsze, otrzyma- ne dzięki przeniesieniu powyższego prostego pomysłu na płaszczyznę zespoloną, w świat geometrii nieeuklidesowej. Ro- lę sinusa i cosinusa - świetnie znanych funkcji okresowych, a zarazem symetrii względem jednej zmiennej t - przejmują tu formy modułowe (lub automorficzne), kryjące w sobie symetrie względem znacznie bogatszego zestawu skomplikowanych przekształceń, mających postać f [z] ->f((az + b)/(cz + d)). Tokio, Japonia, początek lat pięćdziesiątych Na początku lat pięćdziesiątych naszego wieku Japonia była krajem podnoszącym się stopniowo z wojennych zniszczeń. Nikt już nie głodował, ale niemal wszyscy nadal byli biedni; przeciętny Japończyk ciężko zmagał się z codziennością, pró- bując przeżyć kolejny dzień, tydzień czy miesiąc. Mimo to odbudowywano z gruzów fabryki, otwierano na powrót przed- siębiorstwa i ubijano nowe interesy. Z nadzieją patrzono w przyszłość. W tym czasie życie uniwersyteckie w Japonii też było nieła- twe. Studenci zaciekle współzawodniczyli ze sobą: dobre stop- nie oznaczały lepszą pracę po zrobieniu dyplomu. Ta reguła dotyczyła zwłaszcza doktorantów specjalizujących się w czystej matematyce, albowiem etatów na uniwersytetach, mimo ni- skiej płacy, brakowało dla wszystkich chętnych. Jednym z ta- kich doktorantów był Yutaka Taniyama. Urodził się 12 listopa- da 1927 roku Jako najmłodsze, ósme z kolei dziecko w rodzinie prowincjonalnego lekarza w mieście Kisai, położonym około 50 kilometrów od Tokio. W młodości zaczął studiować matematy- kę, a ściślej mówiąc, geometrię zespoloną rozmaitości abelo- AMIR D. ACZEL • 10 1 wych. Wiedziano wówczas o tej trudnej dziedzinie niewiel e i Taniyama napotykał w swej pracy mnóstwo trudności. C. o gorsza, przekonał się, że wszelkie porady starszych profesorów? Uniwersytetu Tokijskiego są niemal całkowicie bezużyteczne. Do każdego drobiazgu musiał dochodzić samodzielnie; kolejme kroki swoich badań matematycznych opisywał, używając czte- rech chińskich znaków, które oznaczają "ciężką walkę" i "gorz- kie zmagania". Życie młodego Yutaki Taniyamy nie było usłanie różami. Taniyama zakwaterował się w jednopokojowym mieszkaniiu o powierzchni około 9 metrów kwadratowych. Na każdej kom- dygnacji budynku była tylko jedna toaleta, wspólna dHa wszystkich mieszkańców piętra. Żeby się wykąpać, Taniyama musiał chodzić do odległej łaźni publicznej. Podły i nędzny bu- dynek mieszkalny, stojący przy ruchliwej ulicy, o dwa kroki od wiaduktu kolejowego, po którym co kilka minut przejeżdż-ał pociąg, jak na ironię był nazywany "Willą Spokojnych Gon"". Zapewne dlatego, by łatwiej się skoncentrować na badaniac:h, młody Yutaka pracował głównie w nocy, często kładąc się odo łóżka dopiero o szóstej rano, gdy rozpoczynał się kolejny, hała»ś- llwy dzień. Prawie codziennie, z wyjątkiem letnich upałów, Ta- niyama nosił ten sam niebiesko-zielony garnitur z metalicz- nym połyskiem. Jak wyjaśnił swemu bliskiemu przyj aclelo'\.-vi, Góro Shimurze, jego ojciec kupił ów materiał okazyjnie, nne- zwykle tanio, od handlarza starzyzny. Niestety, nikt w całej n-o- dzinie nie miał ochoty na świecące ubranie. Yutaka, który mię dbał zbytnio o swój wygląd, zgłosił się w końcu na ochotnilrfa. Z materiału uszyto mu garnitur, który stał się jego codzien- nym strojem. Taniyama ukończył Uniwersytet Tokijski w 1953 roku l do- stał na tamtejszym Wydziale Matematyki posadę asysten-ta. Jego przyjaciel Shimura ukończył uniwersytet rok wcześmiej i zajmował podobne stanowisko na Wydziale Pedagogicznym, po drugiej stronie kampusu. Ich przyjaźń zapoczątkował Inst, który jeden z nich napisał do drugiego, prosząc o zwrot do bi- blioteki egzemplarza czasopisma matematycznego, interesują- cego, jak się okazało, obu młodych ludzi. Często jadali razem 102 WIELKIE TWIERDZENIE FERMATA Tokio, rok 1955. Matematycy w tramwaju, w drodze na konferencję. Od lewej: T. Tamagawa, J.-P. Serre, Y. Taniyama l A. Well. w niedrogich restauracyjkach, które serwowały podobno stop- niowo zdobywające w Japonii popularność dania kuchni za- chodniej, w rodzaju na przykład duszonego ozorka.36 W owym czasie w Japonii pozostało niewielu dobrych mate- matyków. Kto tylko zdobył nieco uznania i renomy, natych- miast próbował przenieść się na Jakiś uniwersytet amerykań- ski czy europejski, ponieważ i matematycy cieszyli się tam większą reputacją l w dodatku można było nawiązać kontakty z ludźmi prowadzącymi badania w tej samej dziedzinie. Takie więzy są ważne, gdy usiłuje się zgłębiać ezoteryczne obszary wiedzy, o których wiadomo niewiele lub zgoła nic. By utworzyć zalążek kontaktów naukowych z ludźmi, którzy wiedzieli co nieco o dziedzinie ich zainteresowań, dwaj młodzi przyjaciele zorganizowali we wrześniu 1955 roku Tokijskie Sympozjum Algebraicznej Teorii Liczb. Niektóre wygłoszone podczas tej małej konferencji stwierdzenia miały przez długi czas pozostać niejasne, by - koniec końców - po prawie czterdziestu latach doprowadzić do rezultatów wielkiej wagi, a także do ostrych kontrowersji. 36 Większość informacji o życiu Yutaki Taniyamy pochodzi z artykułu: Góro Slu- niura, Yataka Taniyama and His Time: Very Personal Recollections, "Bulledn of the London Mathematical Society", tom 21 (1989), s. 184-196. AMIR D. ACZEL • 10 3 Pełen nadziei początek Obaj przyjaciele wypełnili niezbędne papiery l formularze-, wynajęli odpowiednie pomieszczenia i wysłali zaproszenia doo tych matematyków japońskich i zagranicznych, których spo - dziewali się zainteresować tematem konferencji. Na liście za- proszonych znalazł się Andre Well, który w owym czasie wyje - chał Już z Francji i został profesorem na Uniwersytecie w Chicago. Pięć lat wcześniej, podczas Międzynarodowego Kongresu Matematyków, Well zwrócił uwagę społeczności ma- tematycznej na nieznaną hipotezę niejakiego Hassego, doty- czącą "funkcji dzeta na rozmaitości nad ciałem liczbowym" . Niejasne przypuszczenie niosło w sobie treści interesujące dla. badaczy teorii liczb. Well najwyraźniej kolekcjonował różne hi- potetyczne pomysły dotyczące teorii liczb; ten akurat umieściB w swych Dziełach zebranych, przypisując zasługę jego sformu- łowania Hassemu. Dzięki zainteresowaniu różnymi rezultatami badań w owej dziedzinie, Well był dla Shimury l Taniyamy atrakcyjnym go- ściem. Ucieszyli się obaj, gdy przyjął zaproszenie do udziałm w Ich konferencji. W Tokio oczekiwano też Innego cudzoziem- ca, młodszego od Weila matematyka francuskiego, Jean-Pier- re'a Serre'a. Nie byt on jeszcze wówczas członkiem towarzy- stwa Bourbakiego, przyjmowano bowiem do niego tylko* matematyków bardzo dobrze znanych; miał on jednak zostać- bourbakistą już wkrótce. Serre, opisywany przez niektórych- matematyków jako ambitny i zaciekły wyczynowiec, przyje- chał na tokijskie sympozjum, by dowiedzieć się tyle, ile się tyl- ko da. Japończycy o teorii liczb wiedzieli sporo, a niektóre wy- niki publikowali w pracach dostępnych tylko po japońsku. skrywając je tym samym przed resztą świata. Nadarzała się więc wspaniała okazja, żeby poznać owe rezultaty, tym bar- dziej że oficjalnym językiem konferencji miał być angielski. W gronie konferencyjnych gości Serre był jednym z niewielu cudzoziemców orientujących się w prezentowanej tematyce. Sprawozdanie z konferencji ukazało się tylko po Japoński!. Gdy więc dwadzieścia lat później Serre zwrócił uwag^ na nie- 104 • WIELKIE TWIERDZENIE FERMATA które wydarzenia z tokijsklego sympozjum, świat poznał po- czątkowo jego wersję, a nie tę, którą zapisano w japońskich sprawozdaniach. Sprawozdania zawierają trzydzieści sześć problemów. Pro- blemy o numerach 10, 11, 12 i 13, zapisane przez Yutakę Ta- niyamę, tworzyły wspólnie pewną hipotezę o funkcjach typu dzeta, przypominającą nieco idee Hassego. Wydawało się, że Taniyama chce w jakiś sposób powiązać funkcje automorficz- ne na płaszczyźnie zespolonej z funkcją typu dzeta, określoną na krzywej eliptycznej. W tych usiłowaniach było coś tajemni- czego: dlaczegóż dowolna krzywa eliptyczna miała być w jakiś sposób powiązana z czymś na płaszczyźnie zespolonej? "Przepraszam, co Pan powiedział...?" Hipoteza, wypływająca z owych czterech problemów, była mglista; Taniyama sformułował je niezbyt Jasno, zapewne dla- tego, że nie był do końca pewien. Jakiego właściwie związku chciałby się doszukać. Ale tkwił tam rdzeń pomysłu; swego ro- dzaju intuicja, instynktowne przeczucie, że funkcje automor- ficzne zmiennej zespolonej i ich bogate symetrie są w jakiś sposób związane z równaniami diofantycznymi. Z pewnością nie było to oczywiste. Taniyama próbował odnaleźć ukryte przejście, łączące dwie bardzo odległe gałęzie matematyki. Andre Weił chciał dokładnie wiedzieć, co właściwie Taniy- ama miał na myśli. Jak można wyczytać w protokole z obrad konferencji, opublikowanym łącznie z Japońskimi sprawozda- niami, pewnego dnia odbyta się następująca wymiana zdań obu panów:37 WEIŁ: Czy sądzi Pan, że wszystkie funkcje eliptyczne są uni- formizowane przez funkcje modułowe? TANIYAMA: Same funkcje modułowe nie wystarczą. Myślę, że potrzebne są inne, specjalne typy funkcji automorflcznych. 37 Zob. japońskie czasopismo "Sugaku" z maja 1956 roku, s. 227-231. • AMIR D. ACZEL • 1 05 WEIŁ: Oczywiście, z niektórymi zapewne można sobie w ten sposób poradzić. W ogólnym przypadku wyglądają o»ne jednak tajemniczo i zupełnie Inaczej. Z tej rozmowy wynikają jasno dwie sprawy. Po pierwsze, TTa- nlyama mówił, że z krzywymi eliptycznymi wiążą się raczej "funkcje automorficzne", a nie "same funkcje modułowe". Po drugie, Weił nie wierzył, by w ogólnym przypadku taki związsek mógł mieć miejsce. Później ową niewiarę Weił wyrażał znaczmie dobitniej, dlatego jeszcze bardziej zaskakuje fakt, że to właśmie jego nazwisko zostało w końcu przypisane do hipotezy, kto-rej ani sam nie postawił, ani nigdy w Jej prawdziwość nie wierz=ył. Jednakże koleje losu bywają nieoczekiwane; w przyszłoaści miały wyjść na jaw jeszcze dziwniejsze wydarzenia. Na to, by owe sprawy nabrały wagi, trzeba było odczelsać kilkadziesiąt lat. Współcześni historycy nauki oddaliby wie=le, żeby szczegółowo poznać treść wypowiedzi l myśli Taniyanny. Lecz, niestety, Taniyama, podobnie jak wielu innych młodych matematycznych geniuszy, skończył życie młodo l tragicznie-. Po paru latach Góro Shimura wyjechał z Tokio, najpierw do Paryża, a potem do Institute for Advanced Study w Princeton. Obaj przyjaciele regularnie ze sobą korespondowali. We wrzaeś- niu 1958 roku Góro Shimura otrzymał od Yutaki Taniyaany ostatni list. Rankiem 17 listopada 1958, pięć dni po jego trzy- dziestych pierwszych urodzinach, Yutakę Taniyamę znalezio»no w mieszkaniu martwego. Na biurku leżał list pożegnalny. Hipoteza Shimury Od tokijskiej konferencji upłynęło dziesięć lat. Góro Shimmra swoje badania w teorii liczb, koncentrujące się na funkcji d:ze- ta i krzywych eliptycznych, prowadził teraz w Princeton. Zrro- zumiał, w których miejscach mylił się nieżyjący przyjacilel, l dzięki własnym badaniom oraz poszukiwaniu harmonii skzry- tej we wnętrzu matematyki doszedł do hipotezy innej, śmilel- szej, dobitnej sformułowanej. Jego hipoteza głosiła, że każda 106 • WIELKIE TWIERDZENIE FERMATA krzywa eliptyczna nad ciałem liczb wymiernych Jest uniformi- zowana przez pewną formę modułową. Formy modułowe są na płaszczyźnie zespolonej tworami bardziej konkretnymi niż funkcje automorficzne, z których chciał korzystać Taniyama. Shimura dokonał też kilku innych ważnych zmian i poprawek, między innymi doprecyzował, że dziedzinę powinny stanowić liczby wymierne. Hipotezę Shimury można spróbować wyjaśnić, wykorzystu- jąc taki oto rysunek: Jeśli zwiniemy płaszczyznę zespoloną w torus, czyli tak, by otrzymać powierzchnię obwarzanka z rysunku,38 to owa po- wierzchnia skrywać będzie w sobie wszystkie krzywe eliptycz-' ne nad liczbami wymiernymi. Każda taka krzywa odpowiada z kolei pewnemu rozwiązaniu równania diofantycznego. Jeśli istniałoby rozwiązanie równania Fermata, x" + y" = z", to od- powiadająca mu krzywa eliptyczna też byłaby ukryta w na- szym torusie. Ten fakt miał później odegrać ważną rolę w do- wodzie wielkiego twierdzenia Fermata. Shimura postawił hipotezę, że każda krzywa eliptyczna o współczynnikach wy- miernych ma "koleżankę" na rozpatrywanej przez Poincarego górnej półpłaszczyźnie, wyposażonej w nieeuklidesową, hiper- 38 Trzeba sobie wyobrazić, że najpierw zwijamy płaszczyznę w bardzo długą rurkę, a potem jeden koniec rurki wkładamy w drugi i zwijamy dalej, jakbyśmy chcieli z kawałka gumowego węża zrobić kółko przypominające dętkę (przyp. dum.). AMIR D. ACZEL • 10'7 bollczną geometrię. .Koleżanką" danej krzywej eliptycznej miaa- ła być konkretna funkcja zmiennej zespolonej, nieczuła na do- konywanie najróżniejszych (wspomnianych już nieco wcze- śniej) podstawień postaci z -> [aż + b)/(cz + d), tworzących h grupę o nieoczekiwanie bogatej symetrii. Wszystko to było ba«-- dzo techniczne, szalenie skomplikowane i - jak przez kilkra dziesięcioleci sądziło wielu matematyków - nie do udowodnie- nia w dającej się przewidzieć przyszłości. Hipotezę Shimury można pokazać w sposób nieco bardzitej obrazowy l uznać, że każda krzywa eliptyczna jest czymś w ro- dzaju czubka góry lodowej, widocznego nad powierzchnią wo- dy. Pod wodą zaś kryje się zawiła struktura. Żeby udowodnBć hipotezę, należało wykazać, że każda góra lodowa ma częSć podwodną. Wiedziano wprawdzie, że wiele gór lodowych talcą podwodną część posiada, ale ponieważ gór lodowych było niee- skończenie wiele, więc nie dawało się, ot tak, po kolei, obejrzeć każdej od spodu. Należało znaleźć ogólną regułę, z której wyn-1- kałoby, że góra lodowa bez podwodnej części nie może po pro- stu istnieć. I właśnie podanie takiego ogólnego dowodu matae- matycy uważali za niezwykle trudną rzecz. Intryga i zdrada Na początku lat sześćdziesiątych, na przyjęciu w Institute fcor Advanced Study w Princeton, Góro Shimura i Jean-Piera-e Serre spotkali się powtórnie. Według Shimury Serre zbliżył s.ię do niego z dość arogancką miną. "Nie sądzę, by Pana wyniDri o krzywych modułowych były w jakikolwiek sposób pożytecz- ne - powiedział. - Nie można Ich przecież zastosować do ka_ź- dej krzywej eliptycznej". W odpowiedzi Shimura dokładn-le sformułował swą hipotezę: "Taka krzywa, jak przypuszczani!, zawsze jest uniformizowana przez pewną krzywą moduło- wą".39 Nieco później Serre złożył relację ze swojej rozmowy 39 Shimura sformułował zatem swą hipotezę; dzieląc się nią po raz pierwszy, uf. al, że Serre uzna go za jej autora. 108 . WIELKIE TWIERDZENIE FERMATA z Shimurą Weilowi, który na przyjęciu nie był, lecz, jako jeden z pracowników Instytutu, mieszkał w pobliżu. Zaintrygowany Weił odwiedził potem Shimurę. "Czy Pan naprawdę to powie- dział?" - zapytał. "Tak - odparł Shimura. - Nie sądzi Pan, że to prawdopodobne?" Po dziesięciu latach od pierwszego spotka- nia z Taniyamą Andre Weił nadal nie wierzył w prawdziwość którejkolwiek wersji hipotezy. Odparł: "Nie widzę niczego, co świadczyłoby o nieprawdziwości tej hipotezy, oba bowiem zbiory są przeliczalne; nie widzę jednak niczego, co przema- wiałoby na Jej korzyść". Wypowiedziane przy tej okazji przez Weila słowa Serge Lang, matematyk z Yale University, który tak zwaną "teczkę Shimury-Taniyamy", zawierającą kopie dwóch tuzinów listów i jego własne do nich komentarze, roz- powszechnił wśród około pięćdziesięciu matematyków na ca- łym świecie określił później jako "bezmyślne" i "głupie". To, co Weił odpowiedział Shimurze, było równoznaczne mniej więcej następującemu stwierdzeniu: Jeśli w pokoju znajduje się sie- dem kobiet i siedmiu mężczyzn, a Pan twierdzi, że to siedem małżeństw, to nie widzę w tym od razu sprzeczności, ponieważ liczba mężczyzn zgadza się z liczbą kobiet. Nie dostrzegam jednak również niczego, co świadczyłoby za pańską hipotezą - być może to sami kawalerowie i same panny. Lang nazwał tę wypowiedź głupią zapewne dlatego, że argument, polegający na liczeniu, nie znajdował tu wcale zastosowania. "Przeliczal- ny" znaczy bowiem z grubsza tyle, co "nieskończony, lecz da- jący się policzyć" (]'ak na przykład zbiór wszystkich liczb natu- ralnych: l, 2, 3, 4, ...), a ustawianie w pary dwóch takich nieskończonych kolekcji rozmaitych obiektów nie należy do prostych zadań. W każdym razie było oczywiste, że Andre Well nie wierzył w prawdziwość snutych przez Shimurę teorii. Przyznał póź- niej, że wspomniana rozmowa - mniejsza o to, czy głupia i bezmyślna, czy też nie - istotnie miała miejsce, a nawet ją zacytował. Zdarzyło się to jednak dopiero w roku 1979, kiedy Weił napisał:40 40 Andrć Weił: Oeuwes, op. cit., t. m, s. 450. AMIR D. ACZEL • 109 Quelques annees plus tarci, a Princeton, Shimura me deman- da sije trouuais plausible que toute courbe elliptiąue sur Q jut con.ten.ue dans lejacobienne d'une courbe deflnie par une sous-groupe de congruence du groupe modulaire;je lut repondis, ii me semble, que je n'y uoyais pas d'empeche' ment, puisque l'un et 1'autre ensemble est denombrable, ma- Isje ne uoyais rien non plus qui parlat enfaveur de cette hy- pothese. [Kilka lat później, w Princeton, Shimura zapytał mnie, czy uważam za prawdopodobne, że każda krzywa eliptyczna nad Q zawiera się w jakobianie krzywej wyznaczonej przez podgru- pę kongruencji grupy modułowej; odpowiedziałem mu, że, jak mi się wydaje, nie dostrzegam przeszkód, ponieważ jeden i drugi zbiór jest przeliczalny, lecz nie widzę też niczego, co przemawiałoby za ową hipotezą). Niemniej nawet wówczas Weił, pisząc o stwierdzeniu, które Jest hipotezą Shimury, wolał użyć zwrotu "Shimura zapytał mnie", a nie "Shimura powiedział mi". Weił opublikował kilka prac na zbliżone tematy; chociaż sam nie wierzył w teorię Shi- mury, jego nazwisko zaczęto z nią łączyć. Wielu matematyków ten błąd powielało, powołując się we własnych artykułach na stwierdzenia zawarte w pracach kolegów. Błędne cytowania można napotkać do dziś; nie znający historii autorzy piszą o hipotezie Taniyamy-Weila zamiast o hipotezie Shimury-Ta- niyamy. Weilowi najwidoczniej podobało się to połączenie jego nazwiska z niejasnym, lecz pięknym przypuszczeniem; sam wprawdzie w jego prawdziwość nie wierzył, lecz wedle osądu większości matematyków niezbędne dowody miały pojawić się pewnego dnia w odległej przyszłości. W miarę upływu kolejnych dziesięcioleci znajdowano coraz więcej poszlak, świadczących o istnieniu tajemniczego związ- ku. Hipoteza, gdy się ją udowodni, zmienia się w solidną mate- matyczną teorię. Weił prowadził badania w dziedzinach przyle- gających do hipotezy, a uzyskiwane przez niego matematyczne wyniki nigdy nie byty zbyt odległe od teorii form modułowych na płaszczyźnie zespolonej i krzywych eliptycznych odpowla- 110 • WIELKIE TWIERDZENIE FERMATA dających równaniom diofantycznym. I mimo że z pewnością wiedział o kluczowej roli Shimury, nie wspominał o niej przez blisko dwadzieścia lat. Potem bez większych ceregieli napo- mknął o Shimurze w przypadkowej rozmowie i - niemal prze- lotnie - wymienił jego nazwisko w jednej ze swych opublikowa- nych prac. Równocześnie we Francji Serre pracował bardzo aktywnie, dokładając wszelkich starań, by powiązać z hipotezą nazwisko Andre Weila, a nie Góro Shimury. "Ćwiczenie dla zainteresowanego Czytelnika" W 1967 roku Andre Weił napisał po niemiecku artykuł,41 w którym znalazły się następujące słowa: Ob sich diese Dtnge immer, d.h.fu.rJede uber Q deftnierte Ku- rve C, so uerhalten, scheint im. Moment noch problematisch zu sein und mag dem interessierten Leser als Ubungsaufga- be empfohten werden. (Czy tak się sprawy mają, tzn. czy jest tak dla każdej krzywej C określonej nad Q, wydaje się w chwili obecnej problematycz- ne i może być ćwiczeniem dla zainteresowanego Czytelnika]. Akapit ten mówi o krzywych eliptycznych nad liczbami wy- miernymi (zbiór wszystkich liczb wymiernych matematycy na całym świecie oznaczają literą Q), a słowa so uerhalten odno- szą się do tego, czy krzywe są modułowe, czy też nie. A zatem Weił pisze o hipotezie Shimury, po raz kolejny nie wymieniając nazwiska jej autora (wspomniał o nim dopiero 12 lat później, a i wówczas, jak pokazaliśmy przed chwilą, użył nie do końca prawdziwych słów "Shimura zapytał mnie"). W pracy opubliko- wanej w "Mathematische Annalen" Well mówi o hipotezie, że Jest "problematyczna", by zaraz potem zrobić coś dziwnego - uczynić ją ćwiczeniem dla zainteresowanego Czytelnika (und 41 Andre Weił: Ober die Bestimmung Dirichletscher Reihen durch Funktional- gleichungen, "Mathematische Annalen", tom 168 (1967), s. 165-172.' ĄMIR D. ACZEL •111 mag dem interessierten Leser als Ubungsaufgabe empfohie-n werden). Próby rozwiązania owego ćwiczenia dla "zaintereso- wanego Czytelnika" miały zająć jednemu z naj świetniej szyć h matematyków świata siedem lat pracy w samotności. Kiedły matematyk nazywa coś ćwiczeniem (Ubungsaufgabe), zwykle zna rozwiązanie problemu i nie tyle wierzy, co wie z całą pevw- nością, że przytoczone stwierdzenie jest prawdziwe, a nie, jai.k napisał Weił, "problematyczne". Jest taka stara anegdota o profesorze matematyki, którzy, omawiając pewne pojęcie podczas wykładu, mówi: "to jest oczywiste". Studenci patrzą po sobie zakłopotani, rzecz bo- wiem wcale nie Jest oczywista, i wreszcie jeden z nich ośmiela się zapytać: "Dlaczego?" Profesor na to zaczyna coś rysować zawzięcie jedną ręką i pisać na brzeżku tablicy, zasłaniając li- tery i formuły drugą ręką, a gdy mu brak miejsca, szybko wszystko ściera. Po mniej więcej dziesięciu minutach bazgra- nia ukradkiem profesor ściera tablicę do czysta i obwieszcza zdumionym studentom: "Tak, to było oczywiste". Kłamstwo W latach siedemdziesiątych problemy Taniyamy, sformuł o- wane podczas tokijskiej konferencji, zostały upowszechnLo- ne. Równocześnie, ponieważ Well pisał o tej hipotezie (w któ- rą wątpił), modułowe krzywe eliptyczne zaczęto nazyw-ać "krzywymi Weila". Gdy na Zachodzie poznano lepiej problemy Taniyamy, hipoteza dotycząca modułowości krzywych elLp- tycznych zyskała nazwę "hipotezy Taniyamy-Weila"; o nazwi- sku Shimury nawet nie wspominano. Od kiedy jednak poja- wiło się nazwisko Taniyamy, Weił zaczął tępić wszellile hipotezy na ten temat. W 1979 roku wyraził swój sprzeciw wobec "tak zwanej hipotezy Mordella o równaniach dlofai.n- tycznych" (zaledwie cztery lata później udowodnił ją Ge-rd Faltings), mówiąc: "Byłoby miło, gdyby okazało się to pra_w- dą, i wolałbym się założyć, że jest to prawda, a nie fałsz. Są to jednak tylko pobożne życzenia, nie ma bowiem nawet 112 • WIELKIE TWIERDZENIE FERMATA strzępka dowodu - ani za, ani przeciw". Niemniej również i wówczas Weił się mylił. Matematycy rosyjscy, między Inny- mi Szafarewicz i Parszyn, już na początku lat siedemdziesią- tych otrzymywali rezultaty, które mogty świadczyć o prawdzi- wości hipotezy Mordella. W roku 1983 Gerd Faltings najzwyczajniej w świecie tę hipotezę udowodnił, pokazując tym samym, że wielkie twierdzenie Fermata jest "prawie za- wsze prawdziwe". Gdy Andre Weił wytoczył wojnę wszelkim nie udowodnio- nym przypuszczeniom, a z hipotezą, zwaną teraz przez wielu matematyków hipotezą Taniyamy-Weila, wiązano już nie tylko jego nazwisko, w Paryżu Serre dokładał starań, by nazwiska Shimury nikt nadal z owym sądem nie łączył. W 1986 roku, na przyjęciu zorganizowanym na Uniwersytecie Kalifornijskim w Berkeley, Jean-Pierre Serre przy świadkach powiedział Ser- ge'owi Langowi, że Andre Weił wspomniał o rozmowie, którą w swoim czasie odbył z Shimurą. Według Serre'a, Weił powie- dział mu o następującej wymianie zdań: WEIŁ: Dlaczego Taniyama sądził, że wszystkie krzywe elip- tyczne są modułowe? SHIMURĄ: Sam mu Pan tak powiedział, a potem Pan zapo- mniał. W tym momencie Lang, który sam bezwiednie używał nazw "krzywa Weila" i "hipoteza Taniyamy-Weila", zaczął coś podej- rzewać. Postanowił poznać prawdę i niezwłocznie napisał zarówno do Weila, jak i do Shimury, a potem do Serre'a. Shi- murą zdecydowanie zaprzeczył, jakoby taka rozmowa kiedy- kolwiek się odbyła, podając obfite uzasadnienie swego stano- wiska. Well nie odpowiedział od razu, Serre zaś w swojej odpowiedzi skrytykował podjęte przez Langa próby ustalenia do prawdy. Na seminarium zorganizowanym przez towarzy- stwo Bourbakiego w czerwcu 1995 roku Serre wciąż jeszcze, mówiąc o "hipotezie Taniyamy-Weila", opuszczał nazwisko jej prawdziwego autora, który przed trzydziestu laty obdarzył go zaufaniem i powierzył swe przypuszczenia. AMIR D. ACZEL .113 Well odpowiedział dopiero po drugiej próbie nawiązania kontaktu. Oto jego list:42 3 grudnia 19SS6 Drogi Panie Lang, Nie przypominam sobie w tej chwili, kiedy i gdzie otrzyma- łem pański list z dnia 9 sierpnia. Gdy się to stało, zaprząt- nięty byłem (i nadal jestem) daleko ważniejszymi sprawami!. Pańskimi sugestiami, jakobym kiedykolwiek usiłował p>o- mniejszyć zasługi przypadające w udziale Taniyamle l Srni- murze, mogę być jedynie głęboko oburzony. Cieszę się, żre, podobnie jak ja, podziwia Pan tych uczonych. Opowieści o rozmowach sprzed lat bywają źródłem nieporo- zumień. Postanowił Pan uznać je za źródło historyczne, kt-ó- rym nie są. W najlepszym razie to anegdoty. Co się tyc:zy kontrowersji, którą zdecydował się Pan podnieść, listy Shi- mury kładą jej, moim zdaniem, kres. Jeśli zaś chodzi o przypisywanie nazwisk pojęciom, twier- dzeniom czy (?] hipotezom, często podkreślałem, że (a) g* 2, a zatem wielkie twierdzenie 45 Barry Mazur, op. cit. 130 • WIELKIE TWIERDZENIE FERMATA Fermata Jest udowodnione. Przepisany na czysto dowód zajął Wllesowi 200 stron. Skończył pracę akurat w porę, by zdążyć na samolot do Anglii. I na zakończenie ostatniego ze swych wy- kładów na konferencji w Cambridge stanął dumnie i zwycięsko wśród głośnych braw, reporterów l błysku fleszy. Co było potem? Przyszła teraz pora na recenzje. Nowy wynik matematyczny (a właściwie każde odkrycie naukowe) składa się zwykle do pu- blikacji w "recenzowanym czasopiśmie". Takie recenzowane cza- sopisma określają poziom. Jaki powinny mieć publikowane pra- ce naukowców. Zadaniem redakcji czasopisma jest wysłanie przedłożonego materiału do innych specjalistów w odpowiedniej dziedzinie, którzy oceniają zawartość pracy, sprawdzają, czy jest ona poprawna i czy stanowi godzien opublikowania wkład w na- ukę. Recenzowane artykuły w czasopismach to w życiu uniwer- sytetów l akademii chleb powszedni. Od liczby l jakości produ- kowanych przez uczonego artykułów w recenzowanych czasopismach zależą stanowiska, profesura, awanse, wreszcie wysokość wynagrodzenia ł podwyżki. Andrew Wiłeś wybrał Jednak inną drogę. Zamiast złożyć swój dowód do publikacji w profesjonalnym matematycznym czasopiśmie - co zrobiłby na jego miejscu niemal każdy - za- prezentował go na konferencji. Powody po temu były zapewne dwojakie. Przez wszystkie lata pracy nad dowodem Wilesowi towarzyszyła obsesja zachowania tajemnicy. Gdyby złożył dowód w jakimś czasopiśmie, wysłano by go do kilku recen- zentów wybranych przez redakcję, a jeden z nich lub któryś z redaktorów mógłby coś ujawnić. Wiłeś obawiał się też praw- dopodobnie, że ktoś, kto przeczytałby złożony do publikacji do- wód, mógłby dokonać kradzieży i wysłać go do publikacji po- wtórnie, pod własnym nazwiskiem. To się, niestety, w życiu akademickim zdarza. Drugi powód wiązał się z pierwszym. Wiłeś chciał, by prezentacji dowodu w Cambridge towarzyszyło narastające napięcie i ciekawość słuchaczy. AMIR D. ACZEL • 131 Lecz mimo to, mimo zaprezentowania rezultatów na konfe- rencji, praca Wilesa musiała być poddana recenzji. Jego Ikole- dzy po fachu, Inni specjaliści w dziedzinie teorii liczb, biedą brnąć przez dowód i wpatrywać się weń linijka po linijce, by potwierdzić, czy rzeczywiście Wiłeś udowodnił to, co sobi«e za- mierzył. Nad przepaścią Dwustustronicową pracę Wilesa wysłano do kilku czoło\-vych ekspertów w dziedzinie teorii liczb. Niektórzy z nich szybko wy- razili zaniepokojenie, lecz ogólnie rzecz biorąc matemaatycy uważali, że dowód najprawdopodobniej jest poprawny. Trzeba było jednak poczekać na werdykt ekspertów. "O tak! - powie- dział Ken Rlbet, gdy zapytałem go, czy wierzył w prawdzr-wość dowodu Wilesa. - Nie mogłem zrozumieć tego, co niektórzy mówili wkrótce po przeczytaniu dowodu, a mianowicie, ż*e nie ma tam żadnego systemu Eulera". Wśród ekspertów wybranych do prześledzenia dowodu ^Vlle- sa znalazł się jego przyjaciel z Princeton, Nick Katz. Przez- dwa nieprzerwane miesiące, lipiec l sierpień 1993 roku, prorfesor Katz zajmował się wyłącznie studiowaniem dowodu. Codzien- nie zasiadał przy biurku i powoli wczytywał się w każdą linijkę, każdy matematyczny znaczek, każdą implikację, by upe-wnić się, czy wszystko ma sens i czy rzeczywiście każdy czytający dowód matematyk zaakceptowałby go bez zastrzeżeń. Ra-z czy dwa dziennie Katz wysyłał do Wilesa, który tego lata przebywał poza Princeton, pocztą elektroniczną liścik, pytając: "Co miasz na myśli w tej i tej linijce, na tej i na tej stronie?" albo "Disacze- go ta implikacja wynika z poprzedniej? Nie rozumiem". Wiłeś wysyłał swoje odpowiedzi pocztą elektroniczną albo, jeśli trze- ba było podać więcej szczegółów, faksem. Pewnego dnia, po przebrnięciu przez mniej więcej dwie trze- cie długiego maszynopisu Wilesa, Katz napotkał problem. Z początku wyglądało to raczej niewinnie, jak jedna z wielu kwestii, na które Wiłeś poprzednio odpowiedział ku jego p"ełne- 132 • WIELKIE TWIERDZENIE FERMATA mu zadowoleniu. Lecz tym razem stało się inaczej. Wątpliwości Katza Wiłeś próbował wyjaśnić korzystając z poczty elektro- nicznej. Katz jednak musiał wystukać na swojej klawiaturze odpowiedź: "Nadal tego nie rozumiem, Andrew". Tym razem Wiłeś wysłał faks, próbując powiązać wszystko w logiczną ca- łość. Katz ciągle nie był przekonany. Coś najzwyczajniej było nie w porządku, dokładnie w miejscu, które Wiłeś i Katz sta- rannie sprawdzili wiosną, gdy Wiłeś prowadził swój "wykład". Wszelkie niejasności i zmarszczki powinny ulec już wygładze- niu, lecz najwidoczniej luka w rozumowaniu Wilesa umknęła uwadze ich obu. Może gdyby doktoranci do końca słuchali wy- kładów, jeden z nich uświadomiłby dwójce matematyków, że coś Jest nie tak... Mniej więcej w tym samym czasie, gdy Katz znalazł błąd, in- ni matematycy w różnych miejscach świata wychwycili ten sam kłopotliwy moment w dowodzie Wilesa. Po prostu nie było tu żadnego systemu Eulera i cała maszyneria nie chciała dzia- łać. Bez systemu Eulera, który miał podobno być uogólnie- niem wcześniejszych prac Flacha i Koływagina, trudno mówić o wzorze na liczbę klas ideałów. Bez wzoru na liczbę klas ide- ałów nie dawało się "ustawiać w pary" form modułowych i re- prezentacji Galois krzywych eliptycznych, a więc nie było uza- sadnienia hipotezy Shimury-Taniyamy. A skoro nic nie wiadomo o prawdziwości hipotezy Shimury-Taniyamy, to nie ma dowodu wielkiego twierdzenia Fermata... Krótko mówiąc, z powodu luki w systemie Eulera cała konstrukcja waliła się niczym domek z kart. Agonia Zakłopotany, zdenerwowany, zły, sfrustrowany i upokorzony Andrew Wiłeś wrócił do Princeton jesienią 1993 roku. Obiecał światu dowód wielkiego twierdzenia Fermata, a okazało się, że nie jest w stanie go dostarczyć. W matematyce, jak w niemal każdej dziedzinie, nie wręcza się nagród pocieszenia; "srebr- nych medalistów" spotyka zapomnienie. Strącony ze szczytu AMIR D. ACZEL • 133 Wiłeś trafił z powrotem na swój strych, próbując poprawie do- wód. "Żył wtedy jak ktoś, kto ukrywa przed światem tajemmlcę - wspominał Nick Katz. - Sądzę, że w tej roli musiał się czuć bardzo niezręcznie". Pomóc Wllesowi próbowali koledzy, mię- dzy innymi jego były student, Richard Taylor, który mczył w Cambridge, lecz przybył do Princeton wesprzeć Wilesa -^v je- go próbach załatania dowodu. "Przez pierwsze siedem lat pracy w całkowitej samotności cieszyłem się każdą chwilą - wspominał Wiłeś - bez względu na to, jak trudne czy niemożliwe z pozoru do pokonania na- potykałem przeszkody. Teraz jednak przyszło mi upra_wiać matematykę publicznie, w nazbyt odsłonięty sposób; z pew- nością nie było to w moim stylu. Nie chciałbym kiedykolwiek doświadczać tego powtórnie". Tymczasem przykre doświad- czenia wciąż trwały. Richard Taylor, któremu skończył się urlop naukowy, wrócił do Cambridge, a Wiłeś nadal ni e wi- dział światła w tunelu. Spojrzenia jego kolegów wyrażały mie- szaninę niecierpliwości, nadziel i litości, a jego clerpieni.e do- strzegali wszyscy dookoła. Ludzie chcieli wiedzieć; ctnciell usłyszeć dobrą nowinę, lecz zapytać, jak Wiłeś radzi -sobie z dowodem, nie ośmielał się nikt. Zarówno jego wydziaH, jak l cały świat zamarli w oczekiwaniu. W nocy 4 grudnia 1993 ro- ku Wiłeś wysłał pocztą elektroniczną list do abonentów kom- puterowej listy adresowej Sci.math, wśród których bytto też kilkunastu specjalistów w dziedzinie teorii liczb i innycł-i ma- tematyków: Z uwagi na liczne spekulacje w kwestii stanu moich, prac nad hipotezą Shimury-Taniyamy i wielkim twierdze-niem Fermata składam krótką relację, jak się sprawy mają.. Pod- czas recenzowania wypłynęło kilka problemów; więk-szość z nich została wyjaśniona, lecz Jednego nie zdołałenn roz- strzygnąć... Ufam, że w niedalekiej przyszłości będę w stanie ukończyć pracę, wykorzystując pomysły, które omówiłem podczas wykładów w Cambridge. Mój maszynopis wymaga jeszcze dużego nakładu pracy i z tego względu nie nadaje się do rozpowszechnienia w postaci preprintu. Podczas wykła- 134 • WIELKIE TWIERDZENIE FERMATA dów w Princeton, które rozpocznę w lutym, przedstawię mo- ją pracę w całości. Andrew Wiłeś Post niortem Optymizm Andrew Wilesa był przedwczesny. Zaplanowane na Uniwersytecie w Princeton wykłady nie przyniosły żadnego rozwiązania. Gdy od krótkotrwałego triumfu w Cambridge mi- nął ponad rok, Andrew Wiłeś bliski był porzucenia wszelkiej nadziei i zapomnienia o swym kalekim dowodzie. W poniedziałek rano, 19 września 1994 roku, Wiłeś sie- dział przy swoim zasłanym stertami papierów biurku na Uni- wersytecie w Princeton. Postanowił, że zanim ciśnie wszystko precz i porzuci wszelką nadzieję, zerknie jeszcze po raz ostat- ni na swój dowód. Chciał dokładnie zrozumieć, dlaczego nie mógł skonstruować systemu Eulera. Chciał wiedzieć - choć- by dla własnej satysfakcji - dlaczego poniósł porażkę; chciał precyzyjnie określić w dowodzie ten techniczny szczegół, któ- ry powodował, że wszystko się waliło. Czuł, że jeśli ma się poddać, to przynajmniej należy mu się wyjaśnienie, dlaczego się pomylił. Wiłeś studiował rozłożone na biurku papiery, koncentrując się bardzo mocno przez niemal dwadzieścia minut. I wtedy na- gle zobaczył jak na dłoni, dlaczego dowód nie działa. Zrozumiał wreszcie, gdzie tkwił błąd. "To była najważniejsza chwila w ca- łym moim zawodowym życiu - opisywał później to uczucie. - Nagle, zupełnie nieoczekiwanie, naszło mnie to niewiarygodne objawienie. Nic, co kiedykolwiek jeszcze zrobię, nie będzie już..." W tym momencie głos Wilesa zadrżał ze wzruszenia, a w jego oku wezbrała łza.46 To, co Wiłeś zrozumiał w owej brzemiennej w skutki chwili, było "tak nieopisanie piękne, tak 46 Nie jest to literacka metafora; Izy w oczach Wilesa istotnie zarejestrowała ka- mera telewizji BBC podczas kręcenia zdjęć do programu, o którym Autor wspo- mina w posiowiu (przyp. tłum.). AMIR D. ACZEL - 135 eleganckie l proste... A ja tylko wpatrywałem się w to, ^ełen niedowierzania". Wiłeś zrozumiał, że system Eulera zawodzi z tej samej przyczyny, dzięki której mogłoby zadziałać podej- ście wykorzystujące horyzontalną teorię Iwasawy, zaniec-hane przezeń trzy lata wcześniej. Długo wpatrywał się w swojąi pra- cę. Pomyślał, że chyba śni, bo wszystko wyglądało zbyt pięk- nie, by mogło być prawdziwe. Później jednak mówił, że wszyst- ko wyglądało zbyt pięknie, by mogło być fałszywe. Odisrycle było tak potężne i tak piękne, że po prostu musiało być yraw- dziwe. Wiłeś spacerował po wydziale przez kilka godzin. Nie wie- dział, czy to jawa, czy sen. Co pewien czas wracał do swego biurka, zerknąć, czyjego fantastyczne znalezisko nadal jest na miejscu. Było. Poszedł więc do domu. Musiał się przespało; być może rano odnajdzie w nowym rozumowaniu jakąś lukę. Rok życia pod presją wywieraną przez cały świat, rok pełen frustru- jących, nieudanych prób zachwiał wiarą Wilesa we własn e siły. Rano wrócił do biurka; niezwykły klejnot znaleziony poprzed- niego dnia nadal tam był. Po prostu czekał na niego. Wiłeś przepisał na czysto nowy dowód, oparty na skorygo- wanym podejściu, wykorzystującym horyzontalną teoricę Iwa- sawy. Wszystkie kawałki układanki wreszcie znalazły się na swoich miejscach. Podejście, którego używał przed trzemsa laty, było poprawne. Wiedział o tym dlatego, że droga Flacha i- Koły- wagina, którą jednocześnie próbował kroczyć, zawiodła g^o do- nikąd. Maszynopis pracy był gotowy do wysyłki. Wiłeś w- rado- snym nastroju siedział przy klawiaturze swojego komp utera. Po nitkach pajęczyny Intemetu biegły w świat, do innych ma- tematyków, jednobrzmiące wiadomości: "Spodziewaj się -w naj- bliższych dniach przesyłki ekspresowej". Jak obiecał swemu przyjacielowi Richardowi Taylorow?!, któ- ry przybył z Anglii specjalnie po to, by pomóc mu popra'wlć je- go dowód, nowa praca, korygująca sposób wykorzystania teorii Iwasawy, była podpisana nazwiskami ich obu, choć faktycznie Wiłeś otrzymał wynik już po wyjeździe Taylora. W następnych paru tygodniach matematycy, którzy dostali od Wilesa uzupeł- nioną wersję prac z Cambridge, sprawdzali wszystkie szczegó- 136 • WIELKIE TWIERDZENIE FERMATA ty. Nikt nie znalazł żadnego błędu. Wiłeś tym razem skorzystał ze zwyczajowego sposobu prezentowania wyników matema- tycznych. Zamiast robić to samo, co półtora roku wcześniej w Cambridge, wysłał obie prace do redakcji profesjonalnego czasopisma, "Annals of Mathematics"47, gdzie mogły zostać poddane recenzji Innych matematyków. Recenzje zabrały kilka miesięcy, lecz tym razem nie znaleziono żadnych usterek. Majowy numer "Annals of Mathematics" z 1995 roku zawiera pierwotną pracę Wilesa z Cambridge oraz pracę z poprawkami Taylora i Wilesa.48 Wielkie twierdzenie Fermata można wreszcie zostawić w spokoju. Czy Fermat znal dowód? Andrew Wiłeś opisuje swój dowód Jako "dowód dwudziesto- wieczny". Wiłeś wykorzystał osiągnięcia wielu matematyków XX wieku; spożytkował też jednak prace kilku uczonych żyją- cych wcześniej. Wszystkie niezliczone elementy monumental- nej konstrukcji Wilesa istnieją dzięki wkładowi innych mate- matyków. Tak więc przeprowadzony przez Wilesa dowód wielkiego twierdzenia Fermata jest w pewnym sensie osiągnię- ciem sporej grupy matematyków XX wieku, a także ich po- przedników, którzy zmagali się z problemem od czasów Fermata. 47 "Annals of Mathematics" uznawane jest powszechnie przez matematyków, obok szwedzkiego "Acta Mathematica", za najlepsze na świecie czasopismo; opinię tę potwierdzają wyniki indeksu cytowań (przyp. tłum.). 48 Pierwsza i ważniejsza z obu prac - Andrew Wiłeś: Modular Elliptic Curves and Fermat's Last Theorem, "Annals of Mathematics", tom 142 (1995), s. 443-551 - przytacza na początku łaciński tekst marginesowej notki Fermata ze sformułowaniem jego twierdzenia: Cubum autem in duos cubos aut ąuadrato- ąuadratum in duos quadratoquadratos, et generaliter nullam in infinitum ultra quadratum potestatem in duos eiusdem nominis fas est dwidere: cuius rei demon- strationem mirabilem sane detexi. Hanc marginis exiguitas non caperet. Pierre de Fermat. Cały nakład "Annals of Mathematics" sprzedano na pniu jeszcze przed datą publikacji, a czasopismo po raz pierwszy nałożyło dodatkową opłatę w wy- sokości 14 dolarów za numer. AMIR D. ACZEL • 137 Wedle Wilesa, Fermat nie mógł znać tego dowodu, gdy uimiesz- czał swą sławną notkę na marginesie tłumaczeń Badieta. Choćby dlatego, że hipoteza Shimury-Taniyamy nie istailala przed nadejściem XX wieku. Ale czy Fermat nie mógł mleć na myśli innego dowodu? Odpowiedź brzmi: prawdopodobnie nie. Nie wiemy je-dnak tego na pewno i nigdy wiedzieć nie będziemy. Z jednej sLrony, po zapisaniu swego twierdzenia na marginesie Fermat pn-zeżył jeszcze 28 lat i nigdy więcej nie wspomniał o tym ani sto wem. Być może więc wiedział, że nie potrafi podać dowodu. Mó-gł też błędnie sądzić, że metodę spadku, użytą przezeń w nie trud- nym dowodzie dla n = 4, da się zastosować do rozpatrzenia przypadku ogólnego. A może po prostu zapomniał o twierdze- niu i zajął się innymi sprawami. Udowodnienie twierdzenia w taki sposób, w jaki to w 1-rońcu zrobiono w latach dziewięćdziesiątych naszego stulecia, wyma- gało wiedzy matematycznej znacznie szerszej niż ta, którą mógł dysponować Fermat. Głęboka natura twierdzenia polega nie tylko na tym, że jego historia rozpięta jest w czasie nównie szeroko, jak historia naszej cywilizacji. Ostateczne rozwiązanie problemu wymagało zaprzęgnięcia - i w pewnym sensie- zjed- noczenia - całej potęgi matematyki. To właśnie owo zjedmocze- nie całkowicie z pozoru odmiennych dziedzin umożliwiło w końcu pokonanie problemu. I mimo że to Andrew Wił es był osobą, która wykonała ogromną, wieńczącą dzieło, kortcową część pracy nad twierdzeniem, dowodząc potrzebnej d o jego uzasadnienia hipotezy Shimury-Taniyamy, cale przedsięwzię- cie stało się udziałem wielu osób. To dzięki wkładowi praicy ich wszystkich rozwiązanie w ogóle było możliwe. Bez prac Emsta Kummera nie byłoby teorii Ideałów, a bez ideałów nie isttniała- by praca Barry'ego Mazura. Bez dokonań Mazura nie byłoby hipotezy Freya, a bez tej kluczowej hipotezy, bez dokonanego przez Serre'a jej uściślenia, Ribet nie udowodniłby, że z 1-iipote- zy Shimury-Taniyamy wynika wielkie twierdzenie Ferrmata. Wydaje się wreszcie, że żaden dowód wielkiego twi erdze- nia Fermata nie byłby możliwy bez hipotezy, wysi-miętej w 1955 roku na pamiętnym tokijskim sympozjum przez 138 • WIELKIE TWIERDZENIE FERMATA Od lewej: John Coates, Andrew Wiłeś, Ken Rlbet l Kar! Rubin bezpośrednio po historycznym wykładzie Wilesa w Cambridge świętują sukces. Yutakę Taniyamę, a później udoskonalonej i doprecyzowanej przez Góro Shimurę. Ale może to nie do końca prawda? Fermat oczywiście nie mógł postawić równie dalekosiężnej hipotezy, spinającej w jedno dwie bardzo różne gałęzie mate- matyki. Ale skąd my to wiemy? A może jednak mógł? Nic nie jest pewne. Potrafimy tylko powiedzieć, że twierdzenie zostało w końcu udowodnione, a każdy, najmniejszy nawet szczegół w dowodzie został obejrzany i sprawdzony przez dziesiątki ma- tematyków na całym świecie. Lecz sam fakt, że istniejący do- wód jest szalenie zaawansowany i skomplikowany technicznie, nie oznacza, iż nie można znaleźć dowodu prostszego. W isto- cie, Rlbet w jednej ze swoich prac wskazuje kierunek wiodący być może do dowodu wielkiego twierdzenia Fermata z pominię- ciem dowodu hipotezy Shimury-Taniyamy. Niewykluczone, że Fermat znał wiele faktów należących do potężnej, "współcze- snej" matematyki, a tylko ślad po tym zaginął (kopii dzieł Dio- fantosa w tłumaczeniu Bacheta, w której przypuszczalnie umieścił swój dopisek na marginesie, nigdy przecież nie odna- leziono). Czy więc Fermat rzeczywiście odkrył "prawdziwie cu- downy" dowód swego twierdzenia, dowód nie mieszczący się na marginesie książki, pozostanie na zawsze jego tajemnicą. OD AUTORA Pisząc tę książeczkę, zaczerpnąłem wiele wiadomości hi- storycznych z różnych źródeł. Wśród nich najpesiniej- szym, najbardziej oryginalnym była moja ulubiona kssiążka E. T. Bella Men of Mathematics (nie podoba mi się jedm-ak jej mylący, pełen seksizmu tytuł - wśród bohaterów Bella są dwie kobiety; książka pochodzi z roku 1937). Najwyraźniej u»ni hi- storycy matematyki czerpali garściami Informacje z Bellał., więc nie będę ich tu wymieniał z nazwiska. Wszystkie źródła są wy- mienione w przypisach. Skorzystałem ponadto z artykułów Jocełyn Savani z Uniwersytetu w Princeton ("Princeton W^eekły Bulletin", 6 września 1993). Dziękuję jej także za przesłamie mi kopii programu BBC, poświęconego wielkiemu twierdzeniu Fermata. C. J. Mozzochiemu wdzięczny jestem za zdjęcia mate-maty- ków, uczestniczących w tworzeniu dowodu wielkiego twi-erdze- nia Fermata. Bardzo gorąco dziękuję profesorowi Kennethowi A. Ribetowi z Uniwersytetu Kalifornijskiego w Berkeley za po- uczające wywiady i wiele cennych informacji o jego pracach, które zostały wykorzystane podczas przeprowadzania dcowodu twierdzenia Fermata. Głęboko wdzięczny Jestem profesorowi Góro Shimurze z Uniwersytetu w Princeton za poświęcony mi czas l dostęp do niezwykle ważnych Informacji o jego pracach 140 • WIELKIE TWIERDZENIE FERMATA l hipotezie, bez której nie byłoby dowodu wielkiego twierdzenia Fermata. Dziękuję też profesorowi Gerhardowi Freyowi z Uni- wersytetu w Essen w Niemczech za prowokujące wywiady l głębokie przemyślenia. Podziękowania za tłumaczenie mi ważnych pojęć geometrii i teorii liczb należą się profesorowi Barry'emu Mazurowi z Uniwersytetu Harvarda. Wszelkie błę- dy, które Czytelnik zdoła w książce odnaleźć, są zawinione wy- łącznie przeze mnie. Memu wydawcy, Johnowi Oakesowi, dziękuję za zachętę l wsparcie. Dziękuję też Jill EHyn Riley l Kathryn Belden z wy- dawnictwa Four Walls Eight Windows. Na koniec wyrazy głę- bokiej wdzięczności otrzymuje moja żona, Debra. INDEKS Abel, Niels Henrik 66, 82-83 abelowe grupy 83 - rozmaitości 83 aksjomaty 37 Al-Chwarizmi. Mohamet Ibn Musa 42 algebra 42-43, 47-50 - abstrakcyjna 77-78 algebraiczne liczby 84 algorytm 42 Amerykańskie Towarzystwo Matematyczne 97 analityczne funkcje 63 analiza 67 - numeryczna 71 - zespolona 56, 61-63 Analysis situs (Poincare) 87 .Annals of Mathematlcs" 136 Archimedes 15, 38-40 Archimedesa śruba 39 Arithmetica (Diofantos) 16, 18-19,41, 50 Ars magna (Cardano) 49 Arystoteles 35 automorflczne formy 88, 104-105 Babilon 21-24 babiloński system Uczenia 22-23 Bachet, Ciaude 50 Beli, E. T. 14 Bemoulll, Daniel 53, 54 Bemoulli, Jan 53 Bemoulli, Mikołaj 53, 54 Bessel, Friedrich Wilhelm 63 Bolyai, Janos 77 Bourbakl, Nicolas 93-97, 103 Cantor, Georg31 Cardano, Girolamo 48-49 Cauchy, Augustin Louls 74, 78., 82-83 Chevaller, Auguste 82 ciało liczb zespolonych 61 Coates.John 11, 14, 120, 125,. 129 Conway, John 11 Cossisti (Cossisten) 48-49 Cycero 39 Dedekind, Richard 83-85 Diderot. Denis 55 Dieudonne, Jean 96 Diofantos 16, 19, 40-41, 50 Dirlchlet, Peter Gustav Le)eunee 52, 66-67, 74,84-85 Disquisitione arithmetlcae (Gamss) 60, 66-67, 82 dowód - hipotezy Freya 119 142 • WIELKIE TWIERDZENIE FERMATA - hipotezy Shimuty-TanIyamy 121-130 Dzieje (Herodot) 36 Elsenstein, Ferdinand Gotthold 128-129 Elsenstelna Idea} 114 Elementy (Euklides) 36, 37 Eudoksos z Knidos 15, 38-39 Euklides 36, 37 Euler, Leonard 51, 52-58 Eulera system 125, 132, 134-I3B Faltings. Gerd 92, 111 Fermat, element Samuel de 16 Fermat, Domlnlque 15 Fermat, Plerre de 14-17, 18, 50, 51, 136-138 Ferro, Scipplone del 49 Fibonacci (Leonardo z Pizy) 43 Fibonacciego liczby (Fibonacciego ciągi 44-45 Fibonacciego Towarzystwo 46 Fllolaos z Tarentu 33 Flach, Matthlas 124-125, 126 Fourier, Joseph 68-72 Fouriera szeregi 71-72 fourierowska analiza 72 Francuska Akademia Nauk 75 Frey. Gerhard 114-119, 122 funkcje - analityczne 63 - automorflczne 88, 104-105 - dzeta 103, 104, 105 - okresowe 69-72 - zdefiniowane na plaszczyźnie zespolonej 62-63 Galols teoria 78-80, 85, 115, 123-124 Galols, Evariste 78-82, 124 Gauss, Cari Friedrich 58-61, 63-66. 67, 88, 84,97,128 genus91-92 geometria - algebraiczna 43, 114 - arytmetyczna 114 - euklidesowa 37 - nieeuklidesowa 77, 88-89 - początki 36-37 Germain, Sophle 63-65 grupy macierzowe 88 Guthrie, Francis 57 Helberg, J. L. 40 Herodot 36 Heron II, król Syrakuz 38-39 hipoteza 50 - epsilonowa 121 horyzonatalna teoria Iwasawy 124, 135 ideały 84 Ireland, Kenneth F. 117 Katz, Nick 126-127. 131-132 kometa 65-66 Kronecker, Leopold 31-32 krzywe eliptyczne 97-100, 120 - funkcje dzeta na krzywych eliptycznych 104-105 - nad ciałem liczb wymiernych 105-106 - przetaczanie 129 - semistabilne 122-130 - związek z formami modułowymi 99-100,104-105, 106-110, 122-130 Kummer, Emst Eduard 73-76 Lamę, Gabriel 52, 72-73 Lang, Serge 108, 112-113 Lebesgue, Henri 52 Legendre, Adrien-Marie 52, 66 Leibniz. Gottfried Wilhelm von 15 lemat 50 Liber abaci (Fibonacci) 43 Liber quadratorum (Fibonacci) 43 liczby doskonale 27 - idealne 74 - pierwsze nieregularne 75 -urojone 56, 61-66 -wymierne 30-31 Liouville, Joseph 73, 82 ; INDEKS • 143 Łobaczewski, Mikołaj Iwanowicz 77 Mahomet 42 Marcellus 39 Mazur, Barry 18. 84, 115. 118-119, 129 Mestre.J.-F. 116 metoda spadku 51 - wyczerpywania 38 Mezopotamia 21-24 modułowe formy 63, 88-90, 99-100, 104, 105,106-110, 115 modulowość 99 Monge, Gaspard 68 Mordell, LoulsJ. 90-92 Mordella hipoteza 92, 111 Newton, Izaak 15 O fculi (walcu (Archimedcs) 40 Olbers. H. W. M. 60-61 Owidiusz 35 Pacioli, Luca 48 Partenon 47 pentagram 23-24 Pitagoras 23, 25-27, 33 Pitagorasa twierdzenie 27-29 pitagorejczycy 28-30, 32-35 pttagorejskie trójki 22-24, 28 Platon 33. 38 ptaszczyzna zespolona 62 Poincare, Henri 85-90, 106 Poisson, Simeon-Denis 80 prawo Archimedesa (pierwsze prawo hydrostatykl) 39 rachunek całkowy 38 - różniczkowy 38 Rlbet, Kenneth 13-14, 115, 116-119, 131.138 równania diofantyczne 41, 97, 114 - trzeciego stopnia 48-49 Samak, Peter 20, 127-128 semistabilne krzywe eliptyczne 122-129 Serre, Jean-Pierre 103, 107-108, 110, 112. 116,121 Shimura, Góro 72, 102, 105-1" 07 Shimury-Taniyamy hipoteza 105-107 -dowód 121-130 Stewart. łan 45 Taniyama, Yutaka 100-105 TartagUa (Fontana Nicolo) 48-°49 Taylor, Richard 133, 137 teoria liczb 60, 65, 115, 117 tetraktys 35 Tokijskie Sympozjum Algebraicznej Teorii Liczb 102-105 topologia 56, 90 torus91 twierdzenie 37 Well, Andre 95-96, 102, 103, 104-105,108-114, 123 Weila krzywe 111 wielkie twierdzenie Fermata - Gauss o wielkim twierdzeniu! Fermata 60-61 - nagrody oferowane za dowócB 75, 76 -notka na marginesie 16. 18-1S, 41, 138 - próby udowodnienia 19-20, 50-52, 72-73.74-76 - twierdzenie Sophie Gennain 64 - związki z równaniami diofantycznymi 115 Wiłeś, Andrew 115 - luka w dowodzie 20-21, 13L--136 - wykłady na konferencji w Cambridge 11-14.129-130 - zainteresowanie wielkim twierdzeniem Fermata 120-122 Wolsfkehia nagroda 76 wzór na liczbę klas ideałów 124-125, 126 zadanie o siedmiu mostach królewlecklch 56-58 zagadnienie czterech barw 57" złota proporcja (złoty podział) 33-35, 44-46 NA ŚCIEŻKACH NAUKI W 1995 roku w serii ukazały się: Igor Nowikow; Czarne dziury i Wszechświat Marcin Ryszkiewicz: Ziemia i życie. Rozważania o ewolucji i ekologii Roger Highfieid, Pauł Carter: Prywatne życie Alberta Einsteina Frank Drakę, Dava Sobel: Czy jest tam kto? Nauka w poszukiwaniu cywilizacji pozaziemskich James D. Watson: Podwójna helisa. Historia odkrycia struktury DNA Michio Kaku: Hiperprzestrzeń. Naukowa podróż przez wszechświaty równoległe, pętle czasowe i dziesiąty wymiar jane Goodal l: Przez dziurkę od klucza. 30 lat obserwacji szympansów nad potokiem Combe Jerzy Sikorski: Prywatne życie Mikołaja Kopernika Peter Ward: Kres ewolucji. Dinozaury, wielkie wymierania i bioróźnorodnosć George Gamow: Pan Tompkins w Krainie Czarów W 1996 roku w serii ukazały się Leon Lederman, Dick Teresi: Boska Cząstka. Jeśli Wszechświat jest odpowiedzią, jak brzmi pytanie^ Stanisław M, Ufam: Przygody matematyka Richard Dawkins: Samolubny gen John D. Barrow: 71 razy drzwi. Szkice o liczeniu, myśleniu i istnieniu Harry Y. McSween, Jr.: Od gwiezdnego pyłu do planet. Geologiczna podróż przez Układ Słoneczny Jay Ingram: Płonący dom. Odkrywając tajemnice mózgu Lawrence M. Krauss: Fizyka podróży międzygwiezdnych CarI Sagan: Błękitna kropka. Człowiek i jego miejsce w kosmosie