KOSMOLOGIA KWANTOWA NA iCli�KACH NAUKI W 2000 roku w serii ukaza�y si�: Michio Kaku: Wizje, czyli jak nauka zmieni �wiat w XXI wieku Rudolf Kippenhahn: Tajemne przekazy. Szyfry, Enigma i karty chipowe Gin� Ko�ata: Klon. Doi�y by�a pierwsza Donald Goidsmith: W poszukiwaniu �ycia na Marsie Meyer Friedman, Gerald W. Friedland: Dziesi�� najwi�kszych odkry� w medycynie Deborah B l urn: M�zg i p�e�. O biologicznych r�nicach mi�dzy kobietami a m�czyznami Jared Diamond: Strzelby, zarazki, maszyny. Losy ludzkich spo�ecze�stw Z powrotem na Ziemi�. Sp�r o pochodzenie cywilizacji ludzkich. Pod redakcja Andrzeja K. Wr�blewskiego Witold Sadowski: Femme fatale. Trzy opowie�ci o kr�lowej nauk Alan H. Guth: Wszech�wiat inflacyjny. W poszukiwaniu nowej teorii pochodzenia kosmosu W 2001 w serii ukaza�y si�: Ed Regis: Nanotechnologia, czyli �wiat cz�steczka po cz�steczce Brian Greene: Pi�kno Wszech�wiata. Superstruny, ukryte wymiary i poszukiwanie teorii ostatecznej Fred Hoyle: M�j dom k�dy wiej� wiatry. Stronice z �ycia kosmologa Richard Dawkins: Rozplatanie t�czy. Nauka, z�udzenia i apetyt na cuda CarI Sagan: Miliardy, miliardy. Rozwa�ania o �yciu i �mierci u schy�ku tysi�clecia Andrzej Jerzmanowski: Geny i �ycie. Niepokoje wsp�czesnego biologa W przygotowaniu: John J. Medina: Zegar �ycia. Dlaczego si� starzejemy? Czy mo�na cofn�� czas? E. C. Krupp: Obserwatorzy nieba, szamani i kr�lowie. Astronomia i archeologia mocy MICHA� HELLER KOSMOLOGIA KWANTOWA "Pr�szy nski i S-ka Warszawa 2001 Copyright (c) by Micha� Heller 2001 Projekt ok�adki Katarzyna A. Jarnuszkiewicz Ilustracja na ok�adce Science Photo Library/EAST NEWS Ilustracje w ksi��ce Dorota Ostaszewska na podstawie szkic�w Autora ISBN 83-7255-054-9 Wydawca Pr�szy�ski i S-ka SA ul. Gara�owa 7 02-651 Warszawa Druk i oprawa OPOLGRAF Sp�ka Akcyjna ul. Niedzia�kowskiego 8/12 45-085 Opole SPIS RZECZY WSt�p 9 1 Czy wsp�czesna fizyka jest chora na schizofreni�? 15 Stulecie fizyki 15 Rozdwojenie ja�ni i strategia przybli�e� 17 W erze Plancka 20 2 Wzgl�dno�� i kwanty 22 Teorie i eksperymenty 22 Czasoprzestrze� 23 Geometria przestrzeni Hllberta 25 Geometria czasoprzestrzeni 28 Obserwable 30 3 Jak teoretycy traktuj� Wszech�wiat? 33 Epoka Plancka 33 Ostateczny akcelerator 35 Co to jest model kosmologiczny? 36 Modele Friedmana 37 Co wol� obserwatorzy, a co teoretycy? 40 4 Kwantowanie kanoniczne 44 Program kanonicznego kwantowania 44 Przestrze� stan�w i kwantowanie 45 Geometrodynamika Wheelera 48 Kwantowy �wiat Wheelera-DeWitta 52 Trudno�ci i perspektywy 54 6 � KOSMOLOGIA KWANTOWA 5 Ku jedno�ci Jedno�� w wielo�ci Unifikacja oddzia�ywa� Si�y i symetrie Supersymetria l superuniflkacja Supergrawitacja Superstruny 6 Wszech�wiat Hawkinga Parowanie czarnych dziur Czasoprzestrzenne tuby Kwantowe stworzenie Wszech�wiata Bez warunk�w brzegowych i pocz�tkowych 7 Wszech�wiat i instantony Program badawczy Hawkinga Instanton i inflacja Inflacja w otwartym wszech�wiecie Fluktuacje i struktura Wszech�wiata 8 Teoria M Ocean struktur Struny l superstruny �wiat wielkich wymiar�w Odkrywanie M-asywu 9 Ekpyrotyczny wszech�wiat M-teorla l kosmologia Za�o�enia modelu Scenariusz pocz�tku Chwila na refleksj� 10 Struktura pocz�tku i ko�ca Rywale O entropii geometrycznie Entropia l Wszech�wiat Entropia czarnych dziur 91 91 92 93 96 98 98 100 104 106 SPIS RZECZY � 7 56 56 57 60 64 64 66 70 70 71 73 76 79 79 81 82 83 84 84 85 87 89 Termodynamika w pracowni Pana Boga Struktura osobliwo�ci Kwantowa teoria grawitacji Pod pr�d 11 Nieprzemienny wszech�wiat Gdzie szuka�? Nieprzemlenno�� l jej nast�pstwa Nieprzemienne modele Bezczasowa fizyka Przyczynowo�� Nieprzemienny wszech�wiat 12 Od superstrun do geometrii nieprzemlenneJ Zero-brany Piana czasoprzestrzeni i jeszcze dalej Pr�ba scenariusza Paradoks horyzontu l inne trudno�ci Zako�czenie: w erze Plancka fizyka spotyka si� z filozofi� Bibliografia Indeks 108 109 111 113 115 115 117 119 121 124 125 129 129 131 134 136 142 148 150 WST�P Wyraz "wst�p" jest znaczeniowo rozmyty. Mo�e znaczy� wst�p-wej�cie, na przyk�ad "Wst�p wzbroniony", lub wst�p-wprowadzenie, chocia�by wst�p do ksi��ki. Ale obydwa te znaczenia maj� ze sob� co� wsp�lnego: odwo�uj� si� do ja- kiego� wej�cia, do drzwi, kt�re dok�d� prowadz�; zapraszaj� do przej�cia przez nie lub - przeciwnie - zakazuj� wst�pu. Ja, oczywi�cie, zapraszam Czytelnika, by wszed�. Wej�cie prowadzi na taras widokowy, z kt�rego mo�na podziwia� niezwyk�� pa- noram�. Ale nie jest to panorama w stanie gotowym - jak pa- smo g�rskie rozci�gaj�ce si� na linii horyzontu: wystarczy tyl- ko lekko odwr�ci� g�ow�, by m�c kontemplowa� inny jego frag- ment. Raczej jest to co� w rodzaju panoramicznego filmu, i to z nie do ko�ca ustalonym scenariuszem. Akcja dopiero si� tworzy. W jakim p�jdzie kierunku? - w du�ej mierze zale�y to od dotychczasowej drogi. U wej�cia na taras nie ma wi�c tabliczki z napisem "Wst�p wzbroniony". Ka�dy jest mile widzianym go�ciem. Ale musz� ostrzec: kto boi si� intelektualnego wysi�ku, pewnej my�lowej dyscypliny, niech raczej nie wchodzi. Poszukiwanie zbyt �a- twych dozna� na tym terenie mo�e grozi� logicznym chaosem i pomys�ami, kt�re prowadz� na manowce. Ca�a panorama, cho� jeszcze w stanie dynamicznego rozwoju, opiera si� na d�- �eniu do matematycznej precyzji. W�a�nie to sprawia, �e pano- rama Jest wyj�tkowo pi�kna. Z chwil� gdy precyzja zostaje osi�gni�ta, umys� w jasnym - ale nie o�lepiaj�cym - �wietle 10 � KOSMOLOGIA KWANTOWA dostrzega harmoni� l konieczno��. Konieczno�� polega na tym, �e je�li postawi si� jeden krok, to bardzo cz�sto natychmiast wiadomo, w jakim kierunku nale�y postawi� krok nast�pny. Kolejne kroki uk�adaj� si� w logiczny ci�g, kt�ry jest w stanie zaprowadzi� tam, gdzie zwyk�y wzrok nie si�ga, i ukaza� takie perspektywy, kt�rych istnienia dotychczasowy "zdrowy rozs�- dek" nawet nie podejrzewa�. Ca�a panorama jest r�wnie� dlatego tak wstrz�saj�co pi�k- na, �e u jej podstaw kryje si� poszukiwanie zrozumienia - zro- zumienia najbardziej fundamentalnego: Dlaczego Wszech�wiat jest, jaki jest? Jak my�my si� w nim znale�li? Jaka Jest nasza w nim rola? Na pytania te nie znamy dzi� pe�nej odpowiedzi - to prawda; ale potrafimy je, zw�aszcza pierwsze z nich, prze- t�umaczy� na wiele bardziej szczeg�owych pyta� i na niekt�re z tych pyta� odpowiedzie� ju� ca�kiem sensownie. Pytania nie- zupe�nie jeszcze jasne tak�e maj� swoje znaczenie. Mo�e ju� wkr�tce i one zaczn� poddawa� si� naszej poznawczej pasji. Ch�� rozumienia jest w nas tak pot�na, �e raz postawionych pyta� nie da si� ju� wycofa�. Chc�c zrozumie� podstawy Wszech�wiata, musimy zrozu- mie� podstawy fizyki. Problemem numer jeden wsp�czesnej fizyki jest po��czenie dw�ch jej wielkich teorii: og�lnej teorii wzgl�dno�ci i mechaniki kwantowej. Og�lna teoria wzgl�dno- �ci, czyli Einsteinowska teoria grawitacji, daje dobry obraz Wszech�wiata w jego wielkiej skali - w skali galaktyk, ich gromad i supergromad. Mechanika kwantowa pozwala zro- zumie� Wszech�wiat na poziomie atomowym i subatomo- wym, czyli na poziomie elektron�w, proton�w, kwark�w i gluon�w. Ale obydwie te teorie dotychczas funkcjonuj� nie- zale�nie od siebie l pos�uguj� si� matematycznymi metoda- mi, kt�re diametralnie r�ni� si� od siebie. A przecie� Wszech�wiat wymagaj�cy zrozumienia jest jeden i, co wi�cej, obie teorie niedwuznacznie sugeruj�, �e na poziomie najg��b- szym musz� si� zjednoczy�: grawitacja powinna ujawni� swoje kwantowe oblicze, a metody kwantowe rozci�gn�� si� tak�e na grawitacj�. Tym, czego szukamy, jest wi�c kwanto- wa teoria grawitacji. WST�P � 11 Metody wsp�czesnej mechaniki kwantowej s� w znacznej mierze ca�o�ciowe. W uk�adzie kwantowym Jego cz�ci s� ze sob� "splecione" w taki spos�b, �e jedne wiedz� o drugich, na- wet gdy s� od siebie bardzo oddalone. Wyra�enie "splecione" (entangled), pojawiaj�ce si� w poprzednim zdaniu, nie jest fi- gur� retoryczn�, lecz terminem technicznym. Splecenie uk�a- du kwantowego oznacza, i� Jest on ca�o�ci� do tego stopnia, �e manipulacja jak�kolwiek jego cz�ci� natychmiast odbija si� na ca�o�ci. I to bez wzgl�du na przestrzenne oddalenie: dwa fo- tony mog� tworzy� uk�ad spleciony nawet wtedy, gdy znajduj� si� na przeciwleg�ych kra�cach supergromady galaktyk. Je�eli ta cecha mechaniki kwantowej (a Jest to jej cecha Istotna) przetrwa zjednoczenie z og�ln� teori� wzgl�dno�ci, to teoria kwantowej grawitacji musi by� r�wnie� kwantow� kosmologi�. Kwantowy Wszech�wiat b�dzie "jeszcze bardziej jedno�ci�" ni� Wszech�wiat obecnej kosmologii, opartej na Einsteinowsklej teorii grawitacji. Tytu� ksi��ki, kt�r� obecnie przekazuj� Czy- telnikowi - Kosmologia kwantowa - nie zosta� wybrany przy- padkowo. Fundamentalna teoria fizyczna nie mo�e nie by� teo- ri� Wszech�wiata. Metoda fizyki odznacza si� swoist� agresywno�ci�. Nigdy nie zadowala si� ju� osi�gni�tym wynikami, lecz ci�gle atakuje problemy, jakie nasuwa namys� nad logik� dotychczasowych wynik�w. W�oski filozof nauki, Evandro Agazzi, napisa� kiedy�: "zadaniem naukowca jest poszerzanie granic nauki, ale nigdy ich przekraczanie".1 Poszerzanie granic nauki dokonuje si� w�a�nie dzi�ki tej agresywno�ci. Ju� rozwi�zane problemy, sta- wiaj�c coraz to nowe pytania, wywieraj� swojego rodzaju ci- �nienie na dotychczasowe granice fizyki i - w miar� uzyskiwa- nia odpowiedzi na przynajmniej niekt�re z pyta� - stopniowo wymuszaj� przesuwanie si� tych granic. Teren pogranicza jest zawsze niespokojny. Tu metoda funkcjonuje na skraju swoich mo�liwo�ci. Tu przebiega front bada� naukowych, o w�os gra- nicz�cy z polem niezbadanych mo�liwo�ci. Zagadnienia, Jakie ' "Granice wiedzy naukowej a hipoteza transcendencji", w: Refleksje na rozdro- �u. Pod red. S. Wszelka. OBI-Krak�w, Biblos, Tarn�w 2000, s. 183. 12 � KOSMOLOGIA KWANTOWA si� tu porusza, s� najwi�kszym wyzwaniem l zwykle one nios� najbardziej prowokuj�cy "�adunek filozoficzny". Nic zreszt� dziwnego - linia graniczna mi�dzy tym, co Ju� wiemy, a Wiel- kim Nieznanym zawsze by�a l b�dzie wezwaniem do g��bszej refleksji. A zatem sytuacja w dzisiejszej fizyce teoretycznej pod tym wzgl�dem nie jest wcale wyj�tkowa. Je�eli czym� r�nimy si� od naszych poprzednik�w, to jedynie... zaawansowaniem w czasie. To w�a�nie up�yw czasu sprawi�, �e mamy do rozwi�- zania trudniejsze problemy ni� oni (ale te� i wiemy od nich wi�- cej) l �e koszty uprawiania nauki wzrastaj� z kwadratem trud- no�ci. Wydaje si�, �e dzi� si�gamy ju� granic finansowych mo�liwo�ci. Do�wiadczenia, kt�rych wyniki mog�yby by� istot- nymi drogowskazami, wiod�cymi ku kwantowej teorii grawita- cji, s� tak kosztowne, �e obecnie ludzko�� (nie tylko poszcze- g�lne pa�stwa) nie mo�e sobie na nie pozwoli�. Pozostaje mie� nadziej�, �e nie zawiedzie drugi - obok eksperymentowania - element metody naukowej, a mianowicie rozumowanie za po- moc� matematycznych struktur. I - Jak zobaczymy - t� w�a- �nie strategi� obficie wykorzystuje si� we wszystkich poszuki- waniach kwantowej grawitacji. Oczywi�cie, ka�da wskaz�wka empiryczna, cho�by tylko po�rednia, jest na wag� z�ota. Nic wi�c dziwnego, �e fizycy szukaj� takich wskaz�wek gdzie si� tylko da. Ni� przewodni� stanowi dla nich idea, �e prawid�owo- �ci najg��bszego poziomu mog� mie� mierzalne nast�pstwa w obszarze niskich energii, czyli w obszarze, kt�ry ju� dzi� mo- �emy poddawa� do�wiadczalnej kontroli. Ale takie niepe�ne korzystanie z metody eksperymentalnej jest zwi�zane z ryzykiem. Agazzi napisa�, �e naukowiec powi- nien poszerza� granice nauki, ale nie wolno mu ich przekra- cza�. Bo przekroczenie granicy nauki oznacza skok w ciem- no, chwytanie si� czegokolwiek i czarowanie oryginalnymi pomys�ami, kt�re z nauk� nie maj� Ju� wiele wsp�lnego. Nie- stety, i takie zabiegi zdarzaj� si� w polowaniu na teori� kwantowej grawitacji. Dla niekt�rych stawka okazuje si� zbyt wielk� pokus�, by nie pr�bowa� si�gn�� po laur, nawet za cen� desperackich krok�w. Historia fizyki niejednokrotnie WST�P � 13 przerabia�a ju� l t� lekcj�. Plewy jednak zawsze, pr�dzej czy p�niej, by�y oddzielane od ziarna. Kosmologia kwantowa jest wi�c dziedzin� otwart�. W prze- ciwie�stwie do wielu innych dzia��w fizyki nie ma w niej raz na zawsze ustalonych kanon�w. Owszem, Istniej� pewne mo- dy i preferencje, ale ci�gle jeszcze s� one ustalane raczej przez to, co robi� presti�owe o�rodki, ni� przez jakie� bardziej obiektywne kryteria. Nic wi�c dziwnego, �e w tej sytuacji ksi��ka, do kt�rej zapraszam Czytelnika, nie mo�e ro�ci� so- bie pretensji do kompletno�ci. Spo�r�d wielu koncepcji i robo- czych modeli wybra�em te, kt�re - z jakich� powod�w - wyda- �y mi si� atrakcyjne lub otwieraj�ce najciekawsze perspekty- wy. S�dz�, �e mimo tak subiektywnych kryteri�w panorama, do jakiej zapraszam Czytelnika, uka�e mu w miar� reprezen- tatywny obraz stanu bada� w tym fascynuj�cym obszarze l. wsp�czesnej fizyki. Ksi��ka ta ma jeszcze jeden aspekt - sprawozdanie z w�a- snej Przygody. Du�� cz�� mojej pracy w ostatnich latach po- ch�on�o zmaganie si� z problemami kwantowej grawitacji. Cz�sto w gronie fizyk�w s�yszy si� zdanie, �e ka�dy, kto zajmu- je si� kosmologi�, pr�dzej czy p�niej "sko�czy w kwantowej grawitacji". W moim przypadku zdanie to okaza�o si� prawdzi- we. I wcale tego nie �a�uj�. Zmierzenie si� z problemem, o kt�- rym si� wie, �e Jest wa�ny, �e - zapewne -jest najwa�niejszym z wszystkich problem�w wsp�czesnej fizyki, to wielkie �yciowe do�wiadczenie. I pozostanie takim, cho�by jedynym, co si� w tej dziedzinie osi�gnie, by�o zrozumienie tych kawa�k�w dro- gi, kt�r� ju� inni przeszli, i u�wiadomienie sobie, na czym po- legaj� trudno�ci. Nierozwi�zane problemy te� co� m�wi�: l o Wszech�wiecie, i o nas samych. Wszech�wiat wcale nie mu- si by� przystosowany do naszych mo�liwo�ci poznawczych, a my nieustannie powinni�my uczy� si� w�a�ciwych proporcji: cz�owiek nie jest miar� Wszech�wiata, lecz jego cz�stk� - za- niedbywalnie ma��, ale subtelnie wpl�tan� w najbardziej istot- ne powi�zania kosmicznej struktury. Nie tylko Wszech�wiat jest wyzwaniem dla cz�owieka. Cz�owiek jest wyzwaniem dla samego siebie. 14 � KOSMOLOGIA KWANTOWA Wprawdzie o tych g��boko filozoficznych zagadnieniach nie- wiele napisa�em w tej ksi��ce, ale s� one w jaki� spos�b obec- ne na wszystkich jej stronicach. W�a�nie dlatego zajmowanie si� kosmologi� kwantow� jest Wielk� Przygod�. Do udzia�u w tej Przygodzie zapraszam Czytelnika. Pasierbice, 26 stycznia 2001 ROZDZIA� 1 CZY WSPӣCZESNA FIZYKA JEST CHORA NA SCHIZOFRENI�? Stulecie fizyki Nasze stulecie by�o (ju� mo�na o nim pisa� w czasie przesz�ym) stuleciem fizyki. Pierwsze wybuchy bomb atomowych, pierw- sze loty satelitarne, l�dowanie na Ksi�ycu, rewolucja elektro- niczna - to has�a wywo�awcze naszych czas�w, a wszystkie one nie s� niczym innym, jak tylko zastosowaniami teorii fizycz- nych. S� to oczywi�cie zastosowania najbardziej spektakular- ne, ale nie brak tak�e i wielu Innych, takich, kt�re niewidocz- nie wciskaj� si� w nasze �ycie - nie zdajemy sobie nawet sprawy z tego, od jak wielu fotokom�rek, prze��cznik�w i elek- tronicznych urz�dze� zale�y nasze codzienne funkcjonowanie. Staj� si� one nieod��czn� cz�ci� naszej kultury - czy potrafili- by�my sobie wyobrazi� dzisiejszy �wiat bez radia, telewizji l ta�m wideo? A to jeszcze nie wszystkie i wcale nie najwa�niej- sze rzeczy. Jakie daje fizyka. S�dz�, �e najdonio�lejszym darem fizyki jest dar rozumienia �wiata. Co� znacznie wi�cej ni� roz- poznanie jego cz�ci sk�adowych - od kwark�w do supergro- mad galaktyk - czy rozszerzenie katalogu znanych praw przy- rody. Wyobra�enie o tym, czym jest rozumienie, jakie przynosi fizyka, daje znane powiedzenie Einsteina, kt�ry nie zawaha� si� twierdzi�, �e uprawia fizyk� po to, by zrozumie� zamys� Bo- �y (the Mind oJGod), jaki B�g mia�, stwarzaj�c Wszech�wiat. 16 � KOSMOLOGIA KWANTOWA Je�eli fizyki nie nazywamy dzi� kr�low� nauk, to tylko dlatego, �e �wiatem ju� nie rz�dz� koronowane g�owy. Fizyk� XX wieku zdominowa�y jej dwie wielkie teorie: me- chanika kwantowa i og�lna teoria wzgl�dno�ci. Ich powstanie mo�na �mia�o zaliczy� do najwi�kszych naukowych osi�gni�� wszystkich czas�w. Poj�cie kwantu, pierwszy sygna� rodzenia si� nowej teorii (nazwanej p�niej mechanik� kwantow�), poja- wi�o si� dok�adnie w 1900 roku. Wprowadzi� je do fizyki Max Pianek w celu rozwik�ania pewnych trudno�ci, z jakimi bory- ka�a si� fizyka klasyczna, chc�c wyja�ni� zjawisko promienio- wania cia�a doskonale czarnego. Fakt ten zapocz�tkowa� ci�g bada� - zar�wno teoretycznych, jak i do�wiadczalnych - w kt�ry zaanga�owanych by�o wielu wybitnych uczonych l kt�ry, w latach dwudziestych, doprowadzi� do sformu�owania mechaniki kwantowej ju� w dojrza�ej postaci. Natomiast og�l- na teoria wzgl�dno�ci by�a dzie�em jednego cz�owieka - Alberta Einsteina. Wkr�tce po stworzeniu w 1905 roku szczeg�lnej teorii wzgl�dno�ci, czyli fizycznej teorii czasu i przestrzeni w uk�adach odniesienia poruszaj�cych si� wzgl�dem siebie jednostajnie i prostoliniowo (zwanych uk�adami inercjalnymi), Einstein zrozumia�, �e teori� t� trzeba rozszerzy� na dowolne uk�ady odniesienia i �e musi to by� nowa teoria grawitacji. Kil- ka lat zmaga� i tw�rczych wysi�k�w zosta�o uwie�czonych sukcesem: w roku 1915 r�wnania pola grawitacyjnego og�lnej teorii wzgl�dno�ci ujrza�y �wiat�o dzienne. Nowa teoria zosta�a ofiarowana nauce od razu w prawie ostatecznej postaci. Mimo �e zapocz�tkowa�a ona bardzo bogaty w�tek bada�, i to zar�w- no w fizyce, jak i w matematyce, praca fizyk�w teoretyk�w po- lega�a g��wnie na wydobywaniu tego, co ju� si� mie�ci�o w r�w- naniach Einsteina, a dzi�ki wysi�kom matematyk�w teoria wzgl�dno�ci przybiera�a jedynie coraz elegantsz� posta�. Cho- cia� trzeba tak�e przyzna�, �e teoria ta, w dalszej perspekty- wie, otworzy�a przed matematykami nowe �wiaty, kt�re do dzi� penetruj� oni swoimi metodami. Obydwie te teorie ca�kowicie zmieni�y poj�ciowy szkielet wsp�czesnej fizyki. A� do ich powstania podstawowym do- gmatem fizyk�w by�o przekonanie, �e odkryta przez Izaaka CZY WSPӣCZESNA FIZYKA JEST CHORA... � 17 Newtona mechanika, zwana mechanik� klasyczn�, jest ostat- nim s�owem nauki. Oczywi�cie, mo�na i nale�y j� rozwija�, ale w zasadzie jest ona teoria kompletn�: wszystkie zjawiska, jakie kiedykolwiek zostan� odkryte, dadz� si� ostatecznie zreduko- wa� do mechaniki i wyja�ni� za jej pomoc�. W tym sensie �wiat jest niczym wi�cej, jak tylko wielk� maszyn�, pos�uszn� prawom mechaniki. Stworzenie w XIX wieku termodynamiki, czyli nauki o cieple, i wykazanie, i� jest ona w gruncie rzeczy zjawiskowym (fenomenologicznym) opisem, poza kt�rym kryj� si� czysto mechaniczne oddzia�ywania wielkiej liczby cz�stek, czyli �e jest ona mechanik� statystyczn�, mocno podbudowa�o wiar� fizyk�w w fundamentalne znaczenie mechaniki klasycz- nej. Ale ju� sformu�owana przez Jamesa derka Maxwella oko- �o po�owy XIX stulecia teoria elektromagnetyzmu (zwana dzi� elektrodynamik� klasyczn�) by�a �r�d�em powa�nych trudno- �ci dla mechanistycznego �wiatopogl�du. Mimo licznych, nie- kiedy wr�cz desperackich pr�b nie uda�o si� zredukowa� praw elektromagnetyki do praw mechanicznych. Zaistnia�a sytuacja kryzysowa, z kt�rej wyj�cie znalaz� dopiero Albert Einstein, tworz�c swoj� szczeg�ln� teori� wzgl�dno�ci. Rozdwojenie ja�ni i strategia przybli�e� Dzi� wiemy ponad wszelk� w�tpliwo��, �e mechanika klasycz- na nie jest podstawow� teori� �wiata. We wsp�czesnej fizyce rol� t� spe�niaj� mechanika kwantowa i og�lna teoria wzgl�d- no�ci. Mechanika kwantowa jest odpowiedzialna za mikro- �wiat cz�stek elementarnych i fundamentalne oddzia�ywania z wyj�tkiem grawitacji, tzn. oddzia�ywanie elektromagnetyczne oraz oddzia�ywania elektroslabe i j�drowe silne; og�lna teoria wzgl�dno�ci rz�dzi grawitacj� i Wszech�wiatem w jego naj- wi�kszej skali. Obie te teorie spe�niaj� swoje funkcje znakomi- cie. Do niedawna uwa�ano, �e mechanika kwantowa (wraz z kwantow� teori� pola) jest najlepiej sprawdzon� do�wiad- czalnie teori� fizyczn�; ostatnio jednak dok�adno�� t� przewy�- szy�y obserwacje podw�jnego pulsara o numerze katalogowym 18 � KOSMOLOGIA KWANTOWA PSR 1913+16, kt�ry emituje fale grawitacyjne zgodnie z prze- widywaniami og�lnej teorii wzgl�dno�ci, tym samym potwier- dzaj�c j� z niewiarygodn� dok�adno�ci�, wynosz�c� l : 1012. Ale tu w�a�nie zaczynaj� si� k�opoty. Ca�e nasze poczucie racjonalno�ci buntuje si� przeciwko temu, �eby istnia�y dwie teorie podstawowe. �wiat jest jeden i powinien istnie� tylko je- den, sp�jny zestaw rz�dz�cych nim praw, czyli jedna teoria fundamentalna, kt�ra by te wszystkie prawa ��czy�a w jedn� sie� logicznych wynikan. Dotychczas takiej teorii nie odkryli- �my. Co wi�cej, obrazy �wiata, kre�lone przez og�ln� teori� wzgl�dno�ci i mechanik� kwantow�, s� drastycznie r�ne, a matematyczne struktury tych teorii nie przystaj� do siebie. �wiat relatywistyczny jest dok�adny i geometryczny; �wiat kwant�w niezdeterminowany i probabilistyczny. Czy�by �wiat wsp�czesnej fizyki by� schizofreniczny, cier- pia� na rozdwojenie ja�ni? Jak �y� w takim "rozdwojonym" �wiecie? Nasze cia�o sk�ada si� z miliard�w cz�stek elementar- nych i cho� jest ono du�o mniejsze od przeci�tnej gwiazdy, wy- znacza nam miejsce we Wszech�wiecie: jeste�my obiektami makroskopowymi. Struktur� kom�rek l �a�cuch�w bia�ko- wych, z jakich si� sk�adamy, ostatecznie okre�laj� prawa fizyki kwantowej, ale w kszta�towaniu naszej biologicznej postaci niema�� rol� odgrywa si�a ci��enia, nie m�wi�c ju� o tym, �e Ziemia swoje fizyczne istnienie l najwa�niejsze cechy zawdzi�- cza polu grawitacyjnemu S�o�ca. Znajdujemy si� wi�c niejako na pograniczu tych dwu schizofrenicznie oddzielonych od sie- bie �wiat�w wsp�czesnej fizyki, a mimo to nasz makroskopo- wy obszar funkcjonuje bez �adnych widocznych zaburze�. Jest to mo�liwe dzi�ki bardzo przemy�lnej strategii, jak� stosuj� obie nie chc�ce porozumie� si� ze sob� teorie. We wzorach me- chaniki kwantowej wyst�puje sta�a, zwana przez fizyk�w sta�� Plancka i oznaczana przez h. Jest ona odpowiedzialna za wiele cech tej teorii, kt�re decyduj� o jej specyficznym charakterze. Gdyby warto�� sta�ej Plancka wynosi�a zero, nie by�oby �adne- go problemu, mechanika kwantowa w og�le by nie Istnia�a. Wszystkie jej wzory redukowa�yby si� do wzor�w teorii Newto- na. Ale sta�a Plancka nie jest r�wna zeru i mechanika kwanto- CZY WSPӣCZESNA FIZYKA JEST CHORA... � 19 wa istnieje! Z bardzo precyzyjnych pomiar�w wynika, �e h = 6,62618... x 10-34 J-s (d�u� razy sekunda). Na szcz�cie (dla nas!) jest to warto�� ma�a, tak ma�a, �e w makroskopowej skali, w kt�rej Istniej� nasze cia�a, sk�adaj�ce si� z miliard�w cz�stek, mo�emy j� praktycznie zaniedba�. I w�a�nie dlatego �yjemy w Newtonowskim �wiecie! �ci�le rzecz bior�c, jest to �wiat kwantowy, ale tak ma�o odmienny od Newtonowskiego, �e nasze "grube zmys�y" r�nicy tej nie zauwa�aj�. Analogiczn� strategi� stosuje og�lna teoria wzgl�dno�ci. Jak ju� wiemy, jest to teoria grawitacji, a wi�c tej si�y, kt�ra kszta�- tuje Wszech�wiat w jego najwi�kszej skali i jest najbardziej in- tymnie zwi�zana z jego histori� i geometri�. Wed�ug teorii Ein- steina pole grawitacyjne jest niczym innym, jak tylko geometri� czasu i przestrzeni. Potrafi ono zmienia� struktur� przestrzeni i wygina� czas. A przecie� niczego podobnego w �y- ciu codziennym nie obserwujemy. Przestrze� jest sztywn� sce- n�, podlegaj�c� geometrii Euklidesa, a czas nieub�aganie p�y- nie jednokierunkowo, bez wzgl�du na cokolwiek zewn�trznego. Dzieje si� tak, poniewa� pola grawitacyjne, kt�re kszta�tuj� na- sze makroskopowe �rodowisko, s� s�abe, a dla s�abych p�l grawitacyjnych wzory og�lnej teorii wzgl�dno�ci przechodz� w stare wzory Newtonowskie. �ycie w schizofrenicznym �wiecie wsp�czesnej fizyki jest mo�liwe tylko dzi�ki tej strategii przybli�e�. Potrafimy sobie do�� �atwo wyobrazi�, co by si� sta�o, gdyby obie podstawowe teorie wsp�czesnej fizyki nie mia�y w�asno�ci "g�adkiego prze- chodzenia w fizyk� makroskopow�". Po prostu w og�le by nas nie by�o. Nasze organizmy i inne cia�a makroskopowe s� z�o�o- nymi, a mimo to wzgl�dnie stabilnymi uk�adami fizycznymi (ostatecznie umieraj� i s�o�ca, i ludzie) Jedynie dlatego, �e za- r�wno Einsteinowska teoria grawitacji, jak l fizyka kwantowa, w obszarze, w kt�rym si� "przecinaj�", daj� jako swoje przybli- �enie fizyk� odkryt� w XVII wieku przez Newtona. Ta sama strategia przybli�e� ma dla nas du�e znaczenie po- znawcze. Mo�emy mianowicie �ywi� nadziej�, �e dzi�ki niej nasz �wiat - ten, w kt�rym �yjemy - nie cierpi jednak na roz- dwojenie ja�ni. Nie da si� bowiem wykluczy�, �e l mechanika 20 � KOSMOLOGIA KWANTOWA kwantowa, i og�lna teoria wzgl�dno�ci s� r�wnie� tylko przy- bli�eniami jakiej� jednej teorii, kt�ra naprawd� rz�dzi �wia- tem. Teori� t� nazywamy kwantow� teori� grawitacji i poszuki- wania jej stanowi� jeden z g��wnych w�tk�w wsp�czesnej fizyki teoretycznej. W erze Plancka Rodzi si� jednak pytanie: czy kwantowa teoria grawitacji jest w og�le potrzebna? Skoro strategia przybli�e� dzia�a tak zna- komicie, mo�e po prostu �wiat jest warstwowy, w ka�dej war- stwie dzia�a inna teoria, a odpowiednie przechodzenie jednych teorii w drugie sprawia, �e ca�y mechanizm pozostaje dobrze zsynchronizowany i funkcjonuje sprawnie? Rzecz jednak w tym, i� w dziejach Wszech�wiata by� taki okres, w kt�rym mechanika kwantowa i og�lna teoria wzgl�dno�ci (w takiej po- staci, w jakiej je obecnie znamy) nie mog�y by� ze sob� zsyn- chronizowane za pomoc� strategii przybli�e�. Wielkim osi�gni�ciem nauki XX wieku jest kosmologia rela- tywistyczna. Powsta�a ona w pierwszych dekadach naszego stulecia jako zastosowanie og�lnej teorii wzgl�dno�ci do bada- nia struktury i ewolucji Wszech�wiata w Jego najwi�kszej ska- li. W drugiej po�owie stulecia kosmologia zyska�a bogat� baz� obserwacyjn� (dzi�ki nowym technikom astronomii i radio- astronomii), co pozwoli�o opracowa� tzw. standardowy model kosmologiczny. Po raz pierwszy w historii fizyka dorobi�a si� "ram kosmologicznych", kt�re nie s� ju� sztucznie do niej do- budowywane (jak to mia�o miejsce chocia�by w przypadku ko- smologii Ptolemeusza czy Newtona), lecz wynikaj� z konse- kwentnego stosowania praw fizyki do dobrze obserwacyjnie spenetrowanego uk�adu, jakim jest �wiat gromad i supergro- mad galaktyk. Obraz �wiata wynikaj�cy ze standardowego modelu kosmolo- gicznego jest ju� dzi� do�� powszechnie znany. Najbardziej cha- rakterystyczn� jego globaln� cech� Jest rozszerzanie si� Wszech�wiata: wszystkie galaktyki uciekaj� od siebie nawzajem CZY WSPӣCZESNA FIZYKA JEST CHORA... � 21 z ci�gle rosn�cymi pr�dko�ciami. A zatem gdy cofamy si� w cza- sie, Wszech�wiat staje si� coraz g�stszy. W istocie g�sto�� mate- rii (sk�din�d tak�e bardzo wa�ny parametr kosmologiczny, por. rozdzia� 3) mo�na przyj�� za swoisty zegar, odmierzaj�cy histo- ri� Wszech�wiata. Przez wi�ksz� cz�� tej historii ewolucja Ko- smosu by�a sterowana przez oddzia�ywania grawitacyjne, a co za tym idzie, rekonstruuj�c t� cz�� jego historii, kosmologowie musz� korzysta� z og�lnej teorii wzgl�dno�ci. Ale gdy na "ko- smicznym zegarze" widnia�a g�sto�� r�wna l O93 g/cm3 (mia�o to miejsce bardzo blisko "pocz�tku", zwanego Wielkim Wybu- chem), sytuacja by�a drastycznie odmienna. Przy tak wielkich g�sto�ciach materii pole grawitacyjne by�o tak silne (czyli krzy- wizna czasoprzestrzeni tak wielka), �e - zgodnie z ca�� nasz� znajomo�ci� fizyki - musia�o ono ujawni� swoje kwantowe obli- cze (inne oddzia�ywania fizyczne, na przyk�ad elektromagnetycz- ne lub j�drowe, s� znacznie silniejsze od grawitacji l dlatego o wiele �atwiej przejawiaj� swoj� kwantow� natur�). Wynika st�d, �e w erze Plancka - bo tak fizycy nazywaj� epok�, w kt�rej g�sto�� materii wynosi�a 1093 g/cm3 - og�lna teoria wzgl�dno- �ci, czyli niekwantowa teoria grawitacji, nie mog�a obowi�zywa�. Rz�dy nad �wiatem sprawowa�y w�wczas zasady kwantowe, ale nie mog�y to by� znane nam dzi� prawa mechaniki kwantowej, gdy� te z kolei zaniedbuj� grawitacj�, a w erze Plancka grawita- cji w �adnym razie zaniedba� nie mo�na. Poniewa� w erze Plancka �wiat jednak istnia�, musia�y nim rz�dzi� jakie� prawa - prawa o charakterze kwantowym, ale odnosz�ce si� r�wnie� do grawitacji. A zatem teoria kwantowej grawitacji jest niezb�d- na. Kosmologia bardzo m�odego Wszech�wiata musi by� kosmo- logi� kwantow�. ROZDZIA� 2 WZGL�DNO�� I KWANTY Teorie i eksperymenty Chcia�em rozpocz�� ten rozdzia� od stwierdzenia, �e og�lna teoria wzgl�dno�ci i mechanika kwantowa r�ni� si� pod dwo- ma wzgl�dami: po pierwsze, rodzajem fizycznych zjawisk, do kt�rych si� odnosz�; po drugie, matematycznymi strukturami, za pomoc� kt�rych s� wyra�ane. Ale po namy�le rezygnuj� z tego stwierdzenia. Jest ono co najmniej myl�ce. Teorie te r�- ni� si� tylko pod jednym wzgl�dem: swojej fizycznej natury. To prawda, �e fizyczn� natur� ka�dej teorii poznajemy dzi�ki za- biegowi jej matematycznego modelowania, ale nie ma dw�ch r�nych rzeczy: jakiej� fizyki samej w sobie i jej matematyczne- go opisu. Dost�pny nam Jest jedynie matematyczny model i za jego po�rednictwem to, co on modeluje, czyli pewien obszar fizyki. A eksperymenty? Czy dzi�ki nim nie mamy bezpo�red- niego dost�pu do zjawisk fizycznych? Ka�dy dobry fizyk do- �wiadczalny wie, �e �adnego eksperymentu nie mo�na prze- prowadzi� niezale�nie od zmatematyzowanej teorii. Jest to s�uszne w odniesieniu do wszystkich dzia��w fizyki klasycznej, ale szczeg�lnie jaskrawo rzuca si� w oczy na terenie tak abs- trakcyjnych teorii, jakimi s� og�lna teoria wzgl�dno�ci i me- chanika kwantowa. Obie te teorie dzi�ki swoim matematycz- nym strukturom ods�aniaj� tak g��bokie warstwy �wiata, �e KOSMOLOGIA KWANTOWA � 23 nie mamy do nich bezpo�redniego dost�pu. To teoria musi nam powiedzie�, co mierzy� l jak zbudowa� aparat pomiarowy. Mo�na by nawet powiedzie�, �e aparat pomiarowy jest czym� w rodzaju zmaterializowanej struktury matematycznej, cz�ci� teorii przet�umaczon� na j�zyk pomiar�w i jego ca�ego tech- nicznego obudowania. R�wnie� wyniki pomiar�w maj� niewie- le wsp�lnego z go�ymi faktami danymi nam przez natur�. S� to szeregi liczb lub wykresy funkcji (otrzymywane dzi� najcz�ciej na wyj�ciach rozmaitych skomputeryzowanych urz�dze�), kt�- re bez pomocy zmatematyzowanej teorii - o ile w og�le by�yby mo�liwe do otrzymania (tryb warunkowy nierzeczywisty!) - nie mia�yby �adnego znaczenia. To zro�ni�cie si� (nieliniowe wymieszanie) zmatematyzowa- nej teorii ze zmatematyzowanym do�wiadczeniem jest g��bo- kim wyrazem empiryczno�ci wsp�czesnej fizyki. Jedynie na wst�pnych etapach rozwoju nauki mo�e si� wydawa�, �e do- �wiadczenie to co� niezale�nego od teorii - co�, co jest w sta- nie, samo w sobie, teori� ostatecznie potwierdzi� lub obali�. Nauki o wysokim stopniu empiryczno�ci odznaczaj� si� tym, �e teoria i eksperyment przenikaj� si� w nich wzajemnie. Tak wi�c, nawi�zuj�c do pocz�tku niniejszego rozdzia�u, na- le�y stwierdzi�, �e og�lna teoria wzgl�dno�ci i mechanika kwantowa r�ni� si� od siebie - i to drastycznie - pod wzgl�- dem swojej fizycznej natury. Gdy chcemy te r�nice uchwyci�, nie mamy Innego wyj�cia, jak tylko por�wna� ze sob� ich ma- tematyczne struktury. To w�a�nie jest celem tego rozdzia�u. Czasoprzestrze� Ka�da teoria fizyczna "rozgrywa si�" w pewnej charakterystycz- nej dla niej przestrzeni i wcale nie musi to by� przestrze� w potocznym rozumieniu tego s�owa, przestrze�, w kt�rej - jak powiadamy - �yjemy. W tym sensie b�dziemy m�wi� o prze- strzeni danej teorii. Geometryczna struktura tej przestrzeni wyznacza najbardziej podstawowe cechy teorii. Og�lna teoria wzgl�dno�ci i mechanika kwantowa s� r�nymi teoriami fl- 24 � KOSMOLOGIA KWANTOWA zycznymi przede wszystkim dlatego, �e rozgrywaj� si� w ca�ko- wicie odmiennych przestrzeniach. Przestrzeni� og�lnej teorii wzgl�dno�ci jest czasoprzestrze�. Jest to fundamentalne stwierdzenie. Bernard Riemann na d�u- go przed Einsteinem podejrzewa}, �e zakrzywienie przestrzeni mo�e wi�za� si� z oddzia�ywaniami fizycznymi, ale podejrzenie to pozosta�o ja�owe, dop�ki Einstein w swoich poszukiwaniach nowej teorii grawitacji nie zrozumia�, i� to nie zakrzywienie przestrzeni, lecz zakrzywienie czasoprzestrzeni odpowiada po- lu grawitacyjnemu. Przestrze� jest zbiorem punkt�w, a ka�dy punkt identyfiku- je si� przez podanie tr�jki liczb, zwanych jego wsp�rz�dnymi w danym uk�adzie wsp�rz�dnych. W innym uk�adzie wsp�- rz�dnych ten sam punkt Identyfikuje si� za pomoc� innej tr�j- ki liczb (czyli wsp�rz�dnych tego punktu w nowym uk�adzie wsp�rz�dnych). Musi wszak�e istnie� regu�a (uk�ad r�wna�), pozwalaj�ca wyliczy� wsp�rz�dne danego punktu w nowym uk�adzie, gdy znane s� wsp�rz�dne tego punktu w uk�adzie starym. Punkt w czasoprzestrzeni, zwany r�wnie� zdarzeniem, definiuje si� tak samo, z t� tylko r�nic�, �e identyfikuje si� go nie poprzez trzy, lecz cztery wsp�rz�dne. Trzy z nich Interpre- tuje si� jako zwyk�e wsp�rz�dne przestrzenne, a czwart� jako wsp�rz�dn� czasow�. Zdarzenie zatem okre�la punkt, w kt�- rym co� si� zdarzy�o (trzy wsp�rz�dne przestrzenne), i chwil�, w kt�rej to co� mia�o miejsce (wsp�rz�dna czasowa). Czaso- przestrze� jest zbiorem wszystkich tego rodzaju zdarze�. Dla tak rozumianej czasoprzestrzeni buduje si� geometri� zupe�nie analogicznie jak dla zwyk�ej przestrzeni, wzbogacon� jedynie o dodatkowy, czasowy wymiar. R�nica ta nie jest jed- nak banalna: we wszystkich wzorach wsp�rz�dna czasowa r�ni si� znakiem od wsp�rz�dnych przestrzennych. Mo�emy si� na przyk�ad um�wi�, �e przy wsp�rz�dnej czasowej zawsze b�dzie znak minus, a przy wsp�rz�dnych przestrzennych - znak plus (ale umowa przeciwna tak�e jest dopuszczalna; wa�ne tylko, by wsp�rz�dne czasowa i przestrzenna r�ni�y si� znakiem l by umowa by�a konsekwentnie stosowana). Ta ma�a r�nica w znaku powoduje drastyczne r�nice pomi�dzy WZGL�DNO�� l KWANTY � 25 geometri� czasoprzestrzeni i geometri� zwyk�ej przestrzeni. Najbardziej rzucaj�ca si� w oczy r�nica polega na tym, �e w czasoprzestrzeni istnieje pewna wyr�niona, nieprzekraczal- na pr�dko��, kt�r� w og�lnej teorii wzgl�dno�ci interpretuje si� jako pr�dko�� �wiat�a, podczas gdy w zwyk�ej przestrzeni ta- kiej pr�dko�ci granicznej nie ma (lub, co na jedno wychodzi, pr�dko�� taka jest niesko�czona). Geometri� zwyk�ej prze- strzeni matematycy nazywaj� geometri� Riemanna, a geome- tri� czasoprzestrzeni - geometri� Lorentza (lub pseudoneman- nowsk�]. Mo�na kr�tko powiedzie�, �e og�lna teoria wzgl�dno�ci jest fizycznie zinterpretowan� czterowymiarow� (l wymiar czasowy l 3 wymiary przestrzenne) geometri� Lorentza. Geometria przestrzeni Hilberta Przestrze�, w kt�rej rozgrywa si� mechanika kwantowa, ma zupe�nie inn� matematyczn� struktur�. Podstawow� "jednost- k�" mechaniki kwantowej nie s� ani punkt, ani zdarzenie, lecz obiekt kwantowy. Mo�e nim by� cz�stka fundamentalna, na przyk�ad kwark, proton, elektron..., lub uk�ad bardziej z�o�o- ny, chocia�by atom wodoru. Z g�ry nie wiadomo, czy obiekty kwantowe istniej� w przestrzeni, czy te� - dajmy na to - prze- strze� jest wynikiem oddzia�ywa� pomi�dzy obiektami kwan- towymi. W ka�dym razie nie wiemy, jak� struktur� przypisa� przestrzeni (lub czasoprzestrzeni) w tak ma�ej skali, w jakiej istniej� obiekty kwantowe: czy jest ona ci�g�a, czy dyskretna?, p�aska czy pokrzywiona?, g�adka czy pe�na za�ama�? Wiemy natomiast, �e obiekty kwantowe mog� istnie� w r�nych sta- nach. Gdy na przyk�ad na atom wodoru padnie odpowiedni kwant energii, atom przechodzi ze stanu podstawowego do sta- nu wzbudzonego. Dlatego te� fizycy teoretycy, chc�c zachowa� wierno�� temu, co mo�na stwierdzi� eksperymentalnie, skon- struowali przestrze�, kt�rej punktami s� wszystkie mo�liwe stany obiektu kwantowego. Nazywa si� j� przestrzeni� stan�w (lub przestrzeni� fazow�) mechaniki kwantowej. Gdy fizycy 26 � KOSMOLOGIA KWANTOWA zbadali w�asno�ci tej przestrzeni, okaza�o si�, �e odpowiada ona przestrzeni, zwanej w matematyce przestrzeni� Hilberta. M�wi�c kr�tko, przestrze� stan�w mechaniki kwantowej jest przestrzeni� Hilberta. W tym popularnym szkicu nie mog�, oczywi�cie, poda� �ci- s�ej definicji przestrzeni Hilberta, postaram si� jednak opisa� t� przestrze� w miar� pogl�dowo. A wi�c przede wszystkim przestrze� Hilberta jest przestrzeni� wektorow�, lub inaczej li- niow�. Znaczy to, �e elementami ("punktami") przestrzeni Hil- berta s� wektory, ale niekoniecznie nale�y wyobra�a� je sobie jako strza�ki, a ju� w �adnym wypadku Jako strza�ki "zaczepio- ne" w r�nych punktach znanej nam ze szko�y �redniej prze- strzeni Euklidesa. Do istoty wektor�w nale�y to, �e mo�na je do siebie dodawa� i mno�y� przez liczby (zespolone) i �e dzia�a- nia te maj� analogiczne w�asno�ci do dodawania liczb i mno�e- nia liczb przez siebie. Ale nie ka�da przestrze� wektorowa jest przestrzeni� Hilberta. Aby ni� by�a, musi spe�nia� trzy nast�- puj�ce warunki. Po pierwsze, ka�demu wektorowi mo�na przy- pisa� wielko��, zwan� jego norm� - gdyby�my mimo wszystko chcieli wyobrazi� sobie wektor Jako "odcinek ze strza�k�", nor- ma odpowiada�aby d�ugo�ci tego odcinka. Po drugie, prze- strze� wektorowa musi mie� w�asno��, kt�r� matematycy na- zywaj� jej zupet no�ci�; jest to wymaganie raczej techniczne, zapewnia ono, �e wykonuj�c pewne dzia�ania w przestrzeni wektorowej, nie wyjdzie si� poza t� przestrze�. Po trzecie, musi si� da� okre�li�, kiedy dwa wektory s� do siebie prostopad�e. Je�eli jaka� przestrze� wektorowa spe�nia te warunki, to jest ona przestrzeni� Hilberta. W mechanice kwantowej stan uk�adu kwantowego repre- zentuje wektor w przestrzeni Hilberta. A zatem stany (jako wektory w przestrzeni Hilberta) mo�na mno�y� przez liczby (ze- spolone) l dodawa� do siebie.� Zak�ada si� przy tym, �e je�eli 1 �ci�le rzecz bior�c, mno�y� mo�na nie stany, lecz reprezentuj�ce je wektory. Cz�sto jednak, celem unikni�cia skomplikowanych wypowiedzi, po prostu uto�- samiamy wektory przestrzeni Hilberta ze stanami uk�adu kwantowego. W dal- szym ci�gu b�dziemy ch�tnie korzysta� z tej j�zykowej konwencji, maj�c na- dziej�, �e nie doprowadzi to do poj�ciowego zamieszania. WZGL�DNO&C l KWANTY � 27 pewien wektor reprezentuje jaki� stan obiektu kwantowego, to ten sam wektor pomno�ony przez dowoln� liczb� reprezentuje ten sam stan obiektu kwantowego. To, �e przestrze� Hilberta jest przestrzeni� wektorow�, ma podstawowe znaczenie dla mechaniki kwantowej l w�a�nie ten prosty fakt matematyczny decyduje o wielu "dziwnych" w�asno�ciach mechaniki kwanto- wej, kt�re nie znajduj� swoich odpowiednik�w ani w mechani- ce klasycznej, ani w og�lnej teorii wzgl�dno�ci. Z tego, �e przestrze� Hilberta jest przestrzeni� wektorow� (liniow�), wynika, �e ka�dy wektor tej przestrzeni mo�na przedstawi� jako sum� innych wektor�w tej przestrzeni; przy czym a�eby suma wektor�w da�a wektor wyj�ciowy, dodawane do siebie wektory nale�y pomno�y� przez pewne liczby zespolo- ne. Tak� sum� nazywa si� kombinacj� liniow� wektor�w. Tak wi�c ka�dy wektor w przestrzeni Hilberta mo�na przedstawi� jako kombinacj� liniow� innych wektor�w tej przestrzeni. W j�zyku mechaniki kwantowej znaczy to, �e ka�dy stan obiektu kwantowego da si� przedstawi� jako kombinacja linio- wa innych stan�w (tzn. jako suma Innych stan�w z zespolony- mi wsp�czynnikami). Innymi s�owy, stany obiekt�w kwanto- wych nak�adaj� si� na siebie, daj�c stan wypadkowy. W fizyce klasycznej uk�ad mo�e by� albo w jednym stanie, albo w in- nym stanie (co� trzeciego jest wykluczone); w mechanice kwantowej uk�ad mo�e znajdowa� si� w superpozycji dwu lub wi�cej stan�w (troch� w jednym, troch� w drugim stanie). Gdy w takiej sytuacji wykonamy pomiar, wed�ug mechaniki kwan- towej istnieje pewne �ci�le okre�lone podobie�stwo, �e wyka�e on, i� uk�ad znajduje si� w jednym stanie, i pewne �ci�le okre- �lone prawdopodobie�stwo, �e uk�ad znajduje si� w drugim stanie (prawdopodobie�stwa te s� zwi�zane z liczbami zespolo- nymi, wyst�puj�cymi jako wsp�czynniki w rozk�adzie danego wektora na sum� tych dwu wektor�w). W ten spos�b prawdo- podobie�stwo staje si� jednym z centralnych poj�� mechaniki kwantowej. �wiat mechaniki kwantowej jest �wiatem probabi- listycznym. W�asno�ci przestrzeni Hilberta maj� swoje nast�pstwa dla tego, co mo�na obserwowa� w laboratorium. Na przyk�ad wi�z- 28 � KOSMOLOGIA KWANTOWA ka elektron�w przepuszczona przez dwa bliskie siebie otworki l padaj�ca potem na ekran daje charakterystyczny obraz inter- ferencyjny w�a�nie dlatego, �e nast�puje nak�adanie si� sta- n�w. Obraz taki nie m�g�by si� pojawi�, gdyby ruchem elektro- n�w rz�dzi�y prawa mechaniki klasycznej. Warto zwr�ci� uwag� na bardzo interesuj�c� sytuacj�, zreszt� typow� dla wsp�czesnej fizyki teoretycznej: g��bokie w�asno�ci fizyczne s� cz�sto prostym nast�pstwem elementar- nych prawid�owo�ci matematycznych. W rozwa�anym tu przy- padku elementarn� w�asno�ci� matematyczn� jest liniowo�� przestrzeni Hilberta (czyli m.in. to, �e ka�dy wektor tej prze- strzeni mo�e by� przedstawiony jako kombinacja liniowa In- nych wektor�w). G��bok� i zaskakuj�c� w�asno�ci� mechaniki kwantowej jest nak�adanie si� na siebie (superpozycja) stan�w kwantowych. Drugie jest prostym nast�pstwem pierwszego, polegaj�cym na uto�samieniu stan�w kwantowych z wektora- mi w przestrzeni Hilberta. Nic podobnego nie pojawia si� w czasoprzestrzeni og�lnej teorii wzgl�dno�ci. Wr�cz przeciwnie, specyfika tej fizycznej teorii jest nast�pstwem innego matematycznego faktu, tego mianowicie, �e Jest to teoria silnie nieliniowa. Geometria czasoprzestrzeni Wiemy ju�, �e og�lna teoria wzgl�dno�ci jest teori� czasoprze- strzeni i jest r�wnie� teori� grawitacji. W Jaki spos�b geometria czasoprzestrzeni ��czy si� z grawitacj�? W�r�d narz�dzi geo- metrycznych istniej� te� i takie, kt�re pozwalaj� opisywa� krzywizn� przestrzeni (na przyk�ad krzywizn� powierzchni ku- li). Zupe�nie analogicznie mo�na opisa� zakrzywienie czaso- przestrzeni. Zakrzywienie to w og�lnej teorii wzgl�dno�ci uto�- samia si� z polem grawitacyjnym. Na pytanie: dlaczego planety poruszaj� si� wok� S�o�ca po takich a nie innych torach? og�lna teoria wzgl�dno�ci odpowiada, �e S�o�ce zakrzywia wo- k� siebie czasoprzestrze�, a planety obiegaj� je po "najprost- szych krzywych" w tej zakrzywionej czasoprzestrzeni (krzywe WZGL�DNO�� l KWANTY � 29 takie nazywaj� si� liniami geodezyjnymi albo kr�tko geodety- kami; dla przyk�adu: na powierzchni globusa geodetykami s� po�udniki). Istotn� cz�ci� matematycznej struktury og�lnej teorii wzgl�dno�ci s� r�wnania pola grawitacyjnego, zwane r�wnie� r�wnaniami Einsteina. Pozwalaj� one wyliczy�, jak okre�lona konfiguracja materii zakrzywia czasoprzestrze�. R�wnania te s� silnie nieliniowe. Co to znaczy? R�wnanie nazywamy liniowym, je�eli suma rozwi�za� tego r�wnania jest nowym jego rozwi�zaniem. R�wnanie (lub uk�ad r�wna�) jest nieliniowe, je�eli tej w�asno�ci nie posiada. W ta- kim r�wnaniu rozwi�zanie wypadkowe jest czym� wi�cej od sumy rozwi�za� sk�adowych. Gdy to "co� wi�cej" (nieliniowy naddatek) znacznie si� r�ni od sumy rozwi�za� sk�adowych, m�wi si�, �e r�wnanie jest silnie nieliniowe. W tym w�a�nie sensie r�wnania Einsteina s� silnie nieliniowe. I ma to, oczywi- �cie, sw�j odpowiednik w fizyce. Wyobra�my sobie uk�ad dw�ch gwiazd, kr���cych wok� wsp�lnego �rodka masy. Ka�- da z tych gwiazd wytwarza pole grawitacyjne (zakrzywia czaso- przestrze� wok� siebie). Jakie jest ich wypadkowe pole grawi- tacyjne (sumaryczne zakrzywienie czasoprzestrzeni), czyli pochodz�ce od obydwu gwiazd? Okazuje si�, �e pole wypadko- we nie stanowi zwyk�ej sumy poszczeg�lnych p�l. Ka�de bo- wiem z dwu p�l sk�adowych Jest �r�d�em nowego pola grawita- cyjnego, nowe pole - �r�d�em kolejnego pola grawitacyjnego Itd. W ten spos�b powstaje pewna hierarchia nieliniowych naddatk�w; nie prowadzi ona jednak do �adnej niesko�czono- �ci, lecz w konkretnych sytuacjach daje konkretne wyniki licz- bowe. Co wi�cej, dzi�ki nieliniowo�ci pole wypadkowe jest nie- rozdzieln� ca�o�ci�; nie da si� w nim jednoznacznie wydzieli� pola pochodz�cego od ka�dego ze sk�adnik�w oddzielnie. Nieliniowo�� og�lnej teorii wzgl�dno�ci pozostaje w g��bokim kontra�cie z liniowo�ci� mechaniki kwantowej. Wszelkie pr�by po��czenia tych dwu teorii w jedn� prowadz� do dylematu: czy zrezygnowa� z liniowo�ci, czy z nieliniowo�ci? R�wnania nie mog� by� r�wnocze�nie liniowe i nieliniowe. Albo og�lna teoria wzgl�dno�ci, albo mechanika kwantowa musi zrezygnowa� 30 � KOSMOLOGIA KWANTOWA z cechy, kt�ra dotychczas zapewnia�a tej teorii nieprzerwany ci�g sukces�w. Czy nie ma wyj�cia z tego dylematu? Obserwable O sukcesach teorii decyduje zgodno�� jej przewidywa� z wyni- kami eksperyment�w. Te aspekty mechaniki kwantowej, kt�re dotycz� jej przewidywa�, s� tak eleganckie z matematycznego punktu widzenia l tak zgodne z rzeczywistymi wynikami do- �wiadcze�, �e wi�kszo�� teoretyk�w s�dzi, i� powinny one zo- sta� wcielone - by� mo�e z pewnymi niezb�dnymi przystoso- waniami - do przysz�ej kwantowej teorii grawitacji. Wielko�ci, kt�re mo�na mierzy�, takie jak po�o�enie lub p�d elektronu, w mechanice kwantowej nazywaj� si� obserwabla- ml. W aparacie matematycznym mechaniki kwantowej ka�dej obserwabli odpowiada operator dzia�aj�cy na przestrzeni Hll- berta. Operator taki, oznaczmy go przez A, jest wielko�ci� ma- tematyczn�, kt�ra jeden wektor nale��cy do przestrzeni Hll- berta przeprowadza (przekszta�ca) w inny wektor przestrzeni Hilberta, na przyk�ad wektor (p w wektor i^. Mo�emy to zapisa� w postaci symbolicznej A: qp -��4>, co czytamy: operator A, dzia�aj�c na wektor (p, daje wektor TJ). Za��my teraz, �e mamy obiekt kwantowy, kt�ry znajduje si� w stanie (p, l chcemy zmierzy� pewn� Jego w�asno��, czyli obserwabl�, kt�rej odpowiada operator A. Dzia�amy wi�c ja- kim� aparatem pomiarowym na obiekt kwantowy. Akt pomia- ru zaburza ten obiekt. Chc�c na przyk�ad wyznaczy� po�o�enie elektronu, na�wietlamy go wi�zk� foton�w (�wiat�a), co oczywi- �cie wp�ywa na po�o�enie elektronu. Zaburzenie takie oznacza przej�cie obiektu kwantowego ze stanu cp, w kt�rym znajdowa� si� dotychczas, w inny stan, na przyk�ad ip. A zatem, z punktu widzenia teorii. Jest to zadzia�anie operatorem A na wektor q> i, w wyniku tego, otrzymanie wektora ip, czyli WZGL�DNO�� l, KWANTY � 31 A; (p - ip. Operacj� t� opisuje pewne r�wnanie (nazywa si� je roirna- niem na warto�ci wiosn�], kt�rego rozwi�zanie daje wyniki po- miaru. Ogromne sukcesy mechaniki kwantowej polegaj� na tym, �e rozwi�zania tego r�wnania dla r�nych obserwabli do- skonale zgadzaj� si� z rzeczywi�cie uzyskiwanymi wynikami pomiar�w. Mechanika kwantowa w�a�nie dlatego nazywa si� "kwantowa", �e r�wnanie na warto�ci w�asne niekt�rych ob- serwabli, szczeg�lnie wa�nych dla tej teorii fizycznej, daje roz- wi�zania skwantowane, czyli przewiduje, i� wyniki pomiar�w tych wielko�ci mog� przybiera� tylko warto�ci dyskretne (nie- ci�g�e). I tak jest w rzeczywisto�ci; na przyk�ad atom wodoru mo�e znajdowa� si� tylko w skwantowanych stanach energe- tycznych. A jak wygl�da problem obserwabli w og�lnej teorii wzgl�dno- �ci? Jest to teoria �wiata w du�ej skali. Wielko�ci obserwacyj- ne na og� wylicza si� dla obszaru kontrolowanego przez astro- nomi� i radioastronomi�, a informacje rejestrowane przez teleskopy i radioteleskopy s� przynoszone z Wszech�wiata za po�rednictwem fal elektromagnetycznych. Chocia� oko ludzkie jest wra�liwe tylko na pewien zakres d�ugo�ci fal elektroma- gnetycznych (od oko�o 3500 do oko�o 7000 angstrem�w), fizycy cz�sto wszystkie fale elektromagnetyczne nazywaj� �wiat�em. Stosuj�c si� do tej konwencji, mo�emy powiedzie�, �e informa- cje z Wszech�wiata otrzymujemy za po�rednictwem �wiat�a. Jak ju� wiemy, w og�lnej teorii wzgl�dno�ci pole grawitacyjne przejawia si� jako zakrzywienie czasoprzestrzeni. �wiat�o nato- miast - zgodnie z postulatami tej teorii - porusza si� po "naj- prostszych krzywych" w zakrzywionej czasoprzestrzeni, czyli po liniach geodezyjnych. Chc�c rozszyfrowa� dane przynoszo- ne nam przez �wiat�o z obiekt�w, do kt�rych odnosz� si� pra- wa og�lnej teorii wzgl�dno�ci (na przyk�ad od masywnych gwiazd w ko�cowych stadiach ich ewolucji), musimy rozwi�zy- wa� niekiedy trudne zagadnienia dotycz�ce geometrii Unii geo- dezyjnych, czyli geometrii rozchodzenia si� �wiat�a (lub "geo- metrii �wietlnej", jak niekiedy m�wi� fizycy relatywi�ci). 32 � KOSMOLOGIA KWANTOWA Zagadnienia te nie maj� nic wsp�lnego z operatorami na prze- strzeni Hilberta l s� zupe�nie innej natury ni� rozwi�zywanie r�wna� na warto�ci w�asne. Gdy jednak przejdziemy do obszar�w, w kt�rych powinny wyst�pi� kwantowe efekty grawitacji (a wi�c do rozmiar�w mniejszych ni� 10~33 cm; por. rozdzia� nast�pny), geometria �wietlna prawdopodobnie ca�kowicie si� za�amie i trzeba j� za- st�pi� jakim� formalizmem, kt�ry poradzi�by sobie z kwantow� natur� pola grawitacyjnego. Czy b�dzie to teoria operator�w na przestrzeni Hilberta? Teoria taka radzi sobie z kwantami, ale jest liniowa, wi�c czy poradzi sobie z polem grawitacyjnym? Je- �eli natomiast zrezygnujemy z liniowo�ci, to nie mo�e to by� teoria operator�w na przestrzeni Hilberta. Wydaje si� zatem, �e powinni�my szuka� ca�kiem nowej matematyki. Ale gdzie jej szuka�? Pytanie to jest tym trudniejsze, �e nie mo�emy - w re- a