Strona 1 Strona 2 Spis treści 1. Wartość bezwzględna liczby.....................................................................................................................1 2. Potęgi i pierwiastki....................................................................................................................................1 3. Logarytmy.................................................................................................................................................2 4. Silnia. Współczynnik dwumianowy..........................................................................................................2 5. Wzór dwumianowy Newtona....................................................................................................................2 6. Wzory skróconego mnożenia....................................................................................................................3 7. Ciągi..........................................................................................................................................................3 8. Funkcja kwadratowa.................................................................................................................................4 9. Geometria analityczna...............................................................................................................................4 10. Planimetria................................................................................................................................................6 11. Stereometria............................................................................................................................................12 12. Trygonometria.........................................................................................................................................14 13. Kombinatoryka........................................................................................................................................16 14. Rachunek prawdopodobieństwa..............................................................................................................17 15. Parametry danych statystycznych...........................................................................................................18 16. Granica ciągu...........................................................................................................................................18 17. Pochodna funkcji.....................................................................................................................................19 18. Tablica wartości funkcji trygonometrycznych........................................................................................20 Publikacja współfinansowana przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego. Publikacja jest dystrybuowana bezpłatnie. Warszawa 2015 Strona 3 1. WARTOŚĆ BEZWZGLĘDNA LICZBY Wartość bezwzględną liczby rzeczywistej x definiujemy wzorem: Liczba x jest to odległość na osi liczbowej punktu x od punktu 0. Dla dowolnej liczby x mamy: x 0 x 0 wtedy i tylko wtedy, gdy x = 0 −x = x Dla dowolnych liczb x, y mamy: x x Ponadto, jeśli y ≠ 0, to = . y y Dla dowolnych liczb a oraz mamy: 2. POTĘGI I PIERWIASTKI Niech n będzie liczbą całkowitą dodatnią. Dla dowolnej liczby a definiujemy jej n-tą potęgę: a n = a⋅ ⋅a ... n razy Pierwiastkiem arytmetycznym n a stopnia n z liczby a nazywamy liczbę b taką, że b n = a . W szczególności, dla dowolnej liczby a zachodzi równość: a2 = a . Jeżeli a < 0 oraz liczba n jest nieparzysta, to n a oznacza liczbę b < 0 taką, że b n = a . Pierwiastki stopni parzystych z liczb ujemnych nie istnieją. Niech m, n będą liczbami całkowitymi dodatnimi. Definiujemy: m − 1 a n = n am Niech r, s będą dowolnymi liczbami rzeczywistymi. Jeśli a > 0 i b > 0, to zachodzą równości: ar r s a ⋅a = a r+s (a ) r s =a r⋅ s a s = a r −s r r a a (a ⋅ b) r = a ⋅br r   = r b b Jeżeli wykładniki r, s są liczbami całkowitymi, to powyższe wzory obowiązują dla wszystkich liczb a ≠ 0 i b ≠ 0. 1 Strona 4 3. LOGARYTMY Logarytmem log a c dodatniej liczby c przy dodatniej i różnej od 1 podstawie a nazywamy wykładnik b potęgi, do której należy podnieść a, aby otrzymać c: log a c = b wtedy i tylko wtedy, gdy a b = c Równoważnie: a loga c = c Dla dowolnych liczb x > 0 , y > 0 oraz r zachodzą wzory: x log a ( x ⋅ y ) = log a x + log a y log a x r = r ⋅ log a x log a = log a x − log a y y Wzór na zamianę podstawy logarytmu: jeżeli a > 0 , a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1 oraz c > 0, to log a c log b c = log a b Logarytm log10 x można też zapisać jako log x lub lg x. 4. SILNIA. WSPÓŁCZYNNIK DWUMIANOWY Silnią liczby całkowitej dodatniej n nazywamy iloczyn kolejnych liczb całkowitych od 1 do n włącznie: n ! = 1 ⋅ 2 ⋅ ... ⋅ n Ponadto przyjmujemy umowę, że 0! = 1. Dla dowolnej liczby całkowitej zachodzi związek: ( n + 1)! = n!⋅( n + 1) n Dla liczb całkowitych n, k spełniających warunki definiujemy współczynnik dwumianowy   (symbol Newtona): k  n n!  =  k  k !( n − k )! Zachodzą równości:  n  n ( n − 1)( n − 2 ) ⋅ ... ⋅ ( n − k + 1)  = k  k! n  n  n n  =    =1   =1 k  n−k  0 n 5. WZÓR DWUMIANOWY NEWTONA Dla dowolnej liczby całkowitej dodatniej n oraz dla dowolnych liczb a, b mamy: n n n  n  n −1  n  n (a + b) n =   a n +   a n −1b + ... +   a n − k b k + ... +   ab +   b 0 1 k  n −1  n 2 Strona 5 6. WZORY SKRÓCONEGO MNOŻENIA Dla dowolnych liczb a, b: ( a + b ) = a 2 + 2ab + b 2 ( a + b ) = a3 + 3a 2b + 3ab 2 + b3 2 3 ( a − b ) = a 2 − 2ab + b 2 ( a − b ) = a3 − 3a 2b + 3ab 2 − b3 2 3 Dla dowolnej liczby całkowitej dodatniej n oraz dowolnych liczb a, b zachodzi wzór: a n − b n = ( a − b ) ( a n −1 + a n − 2 b + ... + a n − k b k −1 + ... + ab n − 2 + b n −1 ) W szczególności: a 2 − b2 = ( a − b ) ( a + b ) a2 − 1 = ( a − 1) ( a + 1) a 3 − b3 = ( a − b ) ( a 2 + ab + b 2 ) a3 − 1 = ( a − 1) ( a 2 + a + 1) a 3 + b3 = ( a + b ) ( a 2 − ab + b 2 ) a3 + 1 = ( a + 1) ( a 2 − a + 1) an − 1 = ( a − 1) ( a n −1 + a n − 2 + ... + a + 1) 7. CIĄGI • Ciąg arytmetyczny Wzór na n-ty wyraz ciągu arytmetycznego ( an ) o pierwszym wyrazie a1 i różnicy r: an = a1 + ( n − 1) r Wzór na sumę S n = a1 + a2 + ... + an początkowych n wyrazów ciągu arytmetycznego: a1 + an 2a + ( n − 1) r Sn = ⋅n = 1 ⋅n 2 2 Między sąsiednimi wyrazami ciągu arytmetycznego zachodzi związek: an −1 + an +1 an = dla n 2 2 • Ciąg geometryczny Wzór na n-ty wyraz ciągu geometrycznego ( an ) o pierwszym wyrazie a1 i ilorazie q: an = a1 ⋅ q n −1 dla n 2 Wzór na sumę S n = a1 + a2 + ... + an początkowych n wyrazów ciągu geometrycznego: Między sąsiednimi wyrazami ciągu geometrycznego zachodzi związek: an2 = an −1 ⋅ an +1 dla n 2 • Procent składany Jeżeli kapitał początkowy K złożymy na n lat w banku, w którym oprocentowanie lokat wynosi p% w skali rocznej i kapitalizacja odsetek następuje po upływie każdego roku trwania lokaty, to kapitał końcowy K n wyraża się wzorem: n  p  Kn = K ⋅ 1 +   100  3 Strona 6 8. FUNKCJA KWADRATOWA Postać ogólna funkcji kwadratowej: f ( x ) = ax 2 + bx + c, a ≠ 0, x ∈ R. Wzór każdej funkcji kwadratowej można doprowadzić do postaci kanonicznej: b ∆ p=− q=− 2a 4a Wykresem funkcji kwadratowej jest parabola o wierzchołku w punkcie o współrzędnych ( p,q). Ramiona paraboli skierowane są do góry, gdy a > 0 ; do dołu, gdy a < 0. Liczba miejsc zerowych funkcji kwadratowej f ( x ) = ax 2 + bx + c (liczba pierwiastków trójmianu kwadratowego, liczba rzeczywistych rozwiązań równania ax 2 + bx + c = 0 ), zależy od wyróżnika ∆ = b 2 − 4ac : – jeżeli ∆ < 0, to funkcja kwadratowa nie ma miejsc zerowych (trójmian kwadratowy nie ma pierwiastków rzeczywistych, równanie kwadratowe nie ma rozwiązań rzeczywistych), – jeżeli ∆ = 0, to funkcja kwadratowa ma dokładnie jedno miejsce zerowe (trójmian kwadratowy ma jeden b pierwiastek podwójny, równanie kwadratowe ma dokładnie jedno rozwiązanie rzeczywiste): x1 = x2 = − 2a – jeżeli ∆ > 0, to funkcja kwadratowa ma dwa miejsca zerowe (trójmian kwadratowy ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste, równanie kwadratowe ma dwa rozwiązania rzeczywiste): −b − ∆ −b + ∆ x1 = x2 = 2a 2a Jeśli 0, to wzór funkcji kwadratowej można doprowadzić do postaci iloczynowej: f ( x ) = a ( x − x1 ) ( x − x2 ) • Wzory Viéte’a Jeżeli 0, to −b c x1 + x2 = x1 ⋅ x2 = a a 9. GEOMETRIA ANALITYCZNA • Odcinek y Długość odcinka o końcach w punktach B=(xB , yB) A = ( x A , y A ) , B = ( xB , yB ) jest dana wzorem: M =(x, y) ( xB − x A ) + ( y B − y A ) 2 2 AB = Współrzędne środka odcinka AB:  x A + xB y A + y B   ,   2 2  A=(xA , yA) O x 4 Strona 7 • Wektory  Współrzędne wektora AB:  AB = [ xB − x A , yB − y A ]   Jeżeli u = [u1 , u2 ] , v = [ v1 , v2 ] są wektorami, zaś a jest liczbą, to    u + v = [u1 + v1 , u2 + v2 ] a ⋅ u = [ a ⋅ u1 , a ⋅ u2 ] • Prosta Równanie ogólne prostej: Ax + By + C = 0, gdzie A2 + B 2 ≠ 0 (tj. współczynniki A, B nie są równocześnie równe 0). Jeżeli A = 0, to prosta jest równoległa do osi Ox; jeżeli B = 0, to prosta jest równoległa do osi Oy; jeżeli C = 0, to prosta przechodzi przez początek układu współrzędnych. y Jeżeli prosta nie jest równoległa do osi Oy, to ma ona równanie y = ax + b kierunkowe: b y = ax + b Liczba a to współczynnik kierunkowy prostej: α a = tg α O x Współczynnik b wyznacza na osi Oy punkt, w którym dana prosta ją przecina. Równanie kierunkowe prostej o współczynniku kierunkowym a, która przechodzi przez punkt P = ( x0 , y0 ): y = a ( x − x0 ) + y0 Równanie prostej, która przechodzi przez dwa dane punkty : ( y − y A )( xB − x A ) − ( yB − y A ) ( x − xA ) = 0 • Prosta i punkt Odległość punktu P = ( x0 , y0 ) od prostej o równaniu Ax + By + C = 0 jest dana wzorem: Ax0 + By0 + C A2 + B 2 • Para prostych Dwie proste o równaniach kierunkowych: y = a1 x + b1 y = a2 x + b2 spełniają jeden z następujących warunków: – są równoległe, gdy a1 = a2 – są prostopadłe, gdy a1a2 = −1 a1 − a2 – tworzą kąt ostry φ i tg φ = 1 + a1a2 5 Strona 8 Dwie proste o równaniach ogólnych: A1 x + B1 y + C1 = 0 A2 x + B2 y + C2 = 0 – są równoległe, gdy A1 B2 − A2 B1 = 0 – są prostopadłe, gdy A1 A2 + B1 B2 = 0 A1 B2 − A2 B1 – tworzą kąt ostry φ i tg φ = A1 A2 + B1 B2 • Trójkąt Pole trójkąta ABC o wierzchołkach A = ( x A , y A ) , B = ( xB , yB ) , C = ( xC , yC ), jest dane wzorem: 1 P∆ABC = ( x − xA ) ( yC − y A ) − ( yB − y A ) ( xC − xA ) 2 B Środek ciężkości trójkąta ABC, czyli punkt przecięcia jego środkowych, ma współrzędne:  x A + xB + xC y A + yB + yC   ,   3 3  • Przekształcenia geometryczne  – przesunięcie o wektor u = [ a, b ] przekształca punkt A = ( x, y ) na punkt A ' = ( x + a, y + b ) – symetria względem osi Ox przekształca punkt A = ( x, y ) na punkt A ' = ( x, − y ) – symetria względem osi Oy przekształca punkt A = ( x, y ) na punkt A ' = ( − x, y ) – symetria względem punktu ( a, b ) przekształca punkt A = ( x, y ) na punkt A ' = ( 2a − x, 2b − y ) – jednokładność o środku w punkcie O i skali s ≠ 0 przekształca punkt A na punkt A ' =taki,   ( − xże , y) OA ' = s ⋅ OA, a więc, jeśli O = ( x0 , y0 ), to jednokładność ta przekształca punkt A = ( x, y ) na punkt A ' = ( sx + (1 − s ) x0 , sy + (1 − s ) y0 ) • Równanie okręgu Równanie okręgu o środku w punkcie S = ( a, b ) i promieniu r > 0 : ( x − a) + ( y − b) = r2 2 2 lub 10. PLANIMETRIA • Cechy przystawania trójkątów C F A B D E 6 Strona 9 To, że dwa trójkąty ABC i DEF są przystające ( ∆ABC ≡ ∆DEF ), możemy stwierdzić na podstawie każdej z następujących cech przystawania trójkątów: – cecha przystawania „bok – bok – bok”: = odpowiadające sobie boki obu trójkątów mają te same długości: AB DE = , AC DF = , BC EF – cecha przystawania „bok – kąt – bok”: dwa boki jednego trójkąta są równe odpowiadającym im bokom drugiego trójkąta oraz kąt zawarty między tymi bokami jednego trójkąta ma taką samą miarę jak odpowiadający mu kąt drugiego trójkąta, =np. AB DE = , AC DF , BAC = EDF – cecha przystawania „kąt – bok – kąt”: jeden bok jednego trójkąta ma tę samą długość, co odpowiadający mu bok drugiego trójkąta oraz miary odpowiadających sobie kątów obu trójkątów, przyległych do boku, są równe, = np. AB DE = , BAC EDF , ABC = DEF • Cechy podobieństwa trójkątów C F A B D E To, że dwa trójkąty ABC i DEF są podobne ( ∆ABC  ∆DEF ) , możemy stwierdzić na podstawie każdej z następujących cech podobieństwa trójkątów: – cecha podobieństwa „bok – bok – bok”: długości boków jednego trójkąta są proporcjonalne do odpowiednich długości boków drugiego trójkąta, AB AC BC np. = = DE DF EF – cecha podobieństwa „bok – kąt – bok”: długości dwóch boków jednego trójkąta są proporcjonalne do odpowiednich długości dwóch boków drugiego trójkąta i kąty między tymi parami boków są przystające, np. – cecha podobieństwa „kąt – kąt – kąt”: dwa kąty jednego trójkąta są przystające do odpowiednich dwóch kątów drugiego trójkąta (więc też = i trzecie kąty obu trójkątów są przystające): BAC  = EDF , ABC DEF , ACB = DFE 7 Strona 10 C Przyjmujemy oznaczenia w trójkącie ABC: γ a, b, c – długości boków, leżących odpowiednio b naprzeciwko wierzchołków A, B, C a 2p=a+b+c – obwód trójkąta α, β, γ – miary kątów przy wierzchołkach A, B, C ha, hb, hc – wysokości opuszczone z wierzchołków α β A, B, C A c B R, r – promienie okręgów opisanego i wpisanego • Twierdzenie sinusów • Twierdzenie cosinusów a 2 = b 2 + c 2 − 2bc cos α α β γ b 2 = a 2 + c 2 − 2ac cos β c 2 = a 2 + b 2 − 2ab cos γ • Wzory na pole trójkąta 1 1 1 P∆ ABC = ⋅ a ⋅ h a = ⋅ b ⋅ h b = ⋅ c ⋅ hc 2 2 2 1 1 1 P∆ ABC = a ⋅ b ⋅ sin γ = a ⋅ c ⋅ sin β = b ⋅ c ⋅ sin α 2 2 2 1 sin β ⋅ sin γ 1 2 sin α ⋅ sin γ 1 2 sin α ⋅ sin β P∆ ABC = a2 = b = c 2 sin α 2 sin β 2 sin γ abc P∆ ABC = P∆ ABC = 2 R 2 ⋅ sin α ⋅ sin β ⋅ sin γ 4R P∆ ABC = rp P∆ ABC = p ( p − a) ( p − b) ( p − c) • Twierdzenie Pitagorasa (wraz z twierdzeniem odwrotnym do niego) W trójkącie ABC kąt γ jest prosty wtedy i tylko wtedy, gdy a2 + b2 = c2. • Związki miarowe w trójkącie prostokątnym Załóżmy, że kąt γ jest prosty. Wówczas: hc2 = AD ⋅ DB C ab hc = γ c b a = c ⋅ sin α = c ⋅ cos β a hc 1 a = b ⋅ tg α = b ⋅ β tg β α A c D B 1 a+b−c R= c r= = p−c 2 2 8 Strona 11 • Trójkąt równoboczny a – długość boku C h – wysokość trójkąta a 3 2 h= R= h a a 2 3 h a2 3 1 P∆ = r= h 4 3 A a B • Twierdzenie Talesa (wraz z twierdzeniem odwrotnym do niego) Różne proste AC i BD przecinają się w punkcie P, przy czym spełniony jest jeden z warunków: – punkt A leży wewnątrz odcinka PC oraz punkt B leży wewnątrz odcinka PD lub – punkt A leży na zewnątrz odcinka PC oraz punkt B leży na zewnątrz odcinka PD. Wówczas proste AB i CD są równoległe wtedy i tylko wtedy, gdy PA PB = AC BD D C A A P C O P B D B • Czworokąty D b C Trapez Czworokąt, który ma co najmniej jedną parę boków równoległych. h Wzór na pole trapezu: a+b P= ⋅h A a B 2 D C Równoległobok Czworokąt, który ma dwie pary boków b h równoległych. φ Wzory na pole równoległoboku: α a 1 A B P = ah = a ⋅ b ⋅ sin α = ⋅ AC ⋅ BD ⋅ sin φ 2 9 Strona 12 D C Romb Czworokąt, który ma wszystkie boki jednakowej długości. Wzory na pole rombu: a h 1 P = ah = a 2 ⋅ sin α = ⋅ AC ⋅ BD 2 α A a B D Deltoid Czworokąt wypukły, który ma oś symetrii zawierającą jedną z przekątnych. Wzór na pole deltoidu: A C 1 P = ⋅ AC ⋅ BD 2 B • Koło Wzór na pole koła o promieniu r: r P = π r2 O Obwód koła o promieniu r: L = 2π r • Wycinek koła Wzór na pole wycinka koła o promieniu r i kącie środkowym α wyrażonym w stopniach: A α r P = π r2 ⋅ 360° α O Długość łuku AB wycinka koła o promieniu r i kącie B środkowym α wyrażonym w stopniach: l = 2π r ⋅ α 360° • Kąty w okręgu Miara kąta wpisanego w okrąg jest równa połowie miary kąta α środkowego, opartego na tym samym łuku. α Miary kątów wpisanych w okrąg, opartych na tym samym łuku, są równe. O α Miary kątów wpisanych w okrąg, opartych na łukach równych, 2α są równe. B A 10 Strona 13 • Twierdzenie o kącie między styczną i cięciwą B B O O A C C A Dany jest okrąg o środku w punkcie O i jego cięciwa AB. Prosta AC jest styczna do tego okręgu w punkcie A. Wtedy AOB = 2 ⋅ CAB , przy czym wybieramy ten z kątów środkowych AOB, który jest oparty na łuku znajdującym się wewnątrz kąta CAB. • Twierdzenie o odcinkach stycznych Jeżeli styczne do okręgu w punktach A i B przecinają się w punkcie P, to PA = PB B P A • Twierdzenie o odcinkach siecznej i stycznej Dane są: prosta przecinająca okrąg w punktach A i B oraz prosta styczna do tego okręgu w punkcie C. Jeżeli proste te przecinają się w punkcie P, to 2 PA ⋅ PB = PC A B C P 11 Strona 14 • Okrąg opisany na czworokącie C γ Na czworokącie można opisać okrąg wtedy i tylko wtedy, B gdy sumy miar jego przeciwległych kątów wewnętrznych są β równe 180°: α + γ = β + δ = 180 D δ α A • Okrąg wpisany w czworokąt C c W czworokąt wypukły można wpisać okrąg wtedy i tylko D wtedy, gdy sumy długości jego przeciwległych boków są równe: r b a+c =b+d d B a A 11. STEREOMETRIA • Twierdzenie o trzech prostych prostopadłych k l P m Prosta k przebija płaszczyznę w punkcie P. Prosta l jest rzutem prostokątnym prostej k na tę płaszczyznę. Prosta m leży na tej płaszczyźnie i przechodzi przez punkt P. Wówczas prosta m jest prostopadła do prostej k wtedy i tylko wtedy, gdy jest prostopadła do prostej l. 12 Strona 15 Przyjmujemy oznaczenia: P – pole powierzchni całkowitej Pp– pole podstawy Pb– pole powierzchni bocznej V – objętość • Prostopadłościan H G E F c P = 2 ( ab + bc + ac ) V = abc gdzie a, b, c są długościami krawędzi D C prostopadłościanu b A a B • Graniastosłup prosty I J H F G Pb = 2 p ⋅ h h V = Pp ⋅ h D E gdzie 2p jest obwodem podstawy graniastosłupa C A B • Ostrosłup S 1 V= P ⋅h 3 p h D E gdzie h jest wysokością ostrosłupa C O A B 13 Strona 16 • Walec Pb = 2π rh P = 2π r ( r + h ) h V = π r 2h gdzie r jest promieniem podstawy, h – wysokością r walca O • Stożek S Pb = π rl P = π r (r + l ) l h 1 V = π r 2h 3 r gdzie r jest promieniem podstawy, h – wysokością, O l – długością tworzącej stożka • Kula P = 4π r 2 4 r V = π r3 3 O gdzie r jest promieniem kuli 12. TRYGONOMETRIA • Definicje funkcji trygonometrycznych kąta ostrego w trójkącie prostokątnym B a b sin α = c sin β = β c c b a a cos α = cos β = c c a b α tg α = tg β = b a A b C 14 Strona 17 • Definicje funkcji trygonometrycznych y y sin α = r M =(x, y) y x cos α = r r y tg α = , gdy x ≠ 0 x gdzie r = x 2 + y 2 > 0 jest α x O x promieniem wodzącym punktu M • Wykresy funkcji trygonometrycznych y 1 y 4 −π −π 0 π π 3π 2π x 3 2 2 2 −1 2 y = sin x 1 −π −π 0 π π 3π 2π x 2 2 2 y −1 1 −2 −π −π 0 π π 3π 2π x −3 2 2 2 −1 −4 y = cos x y = tg x • Związki między funkcjami tego samego kąta sin 2 α + cos 2 α = 1 sin α π tg α = dla α≠ + kπ , k − całkowite cos α 2 • Niektóre wartości funkcji trygonometrycznych 0° 30° 45° 60° 90° α π π π π 0 6 4 3 2 1 2 3 sin α 0 1 2 2 2 3 2 1 cos α 1 0 2 2 2 3 nie tg α 0 1 3 3 istnieje 15 Strona 18 • Funkcje sumy i różnicy kątów Dla dowolnych kątów α, β zachodzą równości: sin ( α + β ) = sin α cos β + cos α sin β sin ( α − β ) = sin α cos β − cos α sin β cos ( α + β ) = cos α cos β − sin α sin β cos ( α − β ) = cos α cos β + sin α sin β Ponadto mamy równości: tg α + tg β tg α − tg β tg ( α + β ) = tg ( α − β ) = 1 − tg α ⋅ tg β 1 + tg α ⋅ tg β które zachodzą zawsze, gdy są określone i mianownik prawej strony nie jest zerem. • Funkcje podwojonego kąta sin 2 α = 2 sin α cos α cos 2 α = cos 2 α − sin 2 α = 2 cos 2 α − 1 = 1 − 2 sin 2α 2 tg α tg 2 α = 1 − tg 2α • Sumy, różnice i iloczyny funkcji trygonometrycznych α+β α−β 1 sin α + sin β = 2 sin cos sin α sin β = − (cos( α + β ) − cos( α − β )) 2 2 2 α +β α−β 1 sin α − sin β = 2 cos sin cos α cos β = (cos( α + β ) + cos( α − β )) 2 2 2 α +β α− β 1 cos α + cos β = 2 cos cos sin α cos β = (sin( α + β ) + sin( α − β )) 2 2 2 α+β α− β cos α − cos β = −2 sin sin 2 2 • Wybrane wzory redukcyjne α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α • Okresowość funkcji trygonometrycznych sin ( α + k ⋅ 360° ) = sin α cos ( α + k ⋅ 360° ) = cos α tg ( α + k ⋅180° ) = tg α , k – całkowite 13. KOMBINATORYKA • Wariacje z powtórzeniami Liczba sposobów, na które z n różnych elementów można utworzyć ciąg, składający się z k niekoniecznie różnych wyrazów, jest równa nk. • Wariacje bez powtórzeń Liczba sposobów, na które z n różnych elementów można utworzyć ciąg, składający się z różnych wyrazów, jest równa n! n ⋅ ( n − 1) ⋅ ... ⋅ ( n − k + 1) = ( n − k )! 16 Strona 19 • Permutacje Liczba sposobów, na które n (n 1) różnych elementów można ustawić w ciąg, jest równa n!. • Kombinacje n Liczba sposobów, na które spośród n różnych elementów można wybrać 0 elementów, jest równa   . k  14. RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA • Własności prawdopodobieństwa P ( A | B) • Twierdzenie: Klasyczna definicja prawdopodobieństwa Niech Ω będzie skończonym zbiorem wszystkich zdarzeń elementarnych. Jeżeli wszystkie zdarzenia jednoelementowe są jednakowo prawdopodobne, to prawdopodobieństwo zdarzenia A ⊂ Ω jest równe A P ( A) = Ω gdzie A oznacza liczbę elementów zbioru A, zaś Ω – liczbę elementów zbioru Ω. • Prawdopodobieństwo warunkowe Niech A, B będą zdarzeniami losowymi zawartymi w Ω, przy czym P ( B ) > 0 . Prawdopodobieństwem warunkowym P ( A | B ) nazywamy liczbę P ( A ∩ B) P ( A | B) = P ( B) • Twierdzenie o prawdopodobieństwie całkowitym Jeżeli zdarzenia losowe B1 , B2 , , Bn zawarte w Ω spełniają warunki: 1. B1 , B2 , , Bn są parami rozłączne, tzn. Bi ∩ B j = ∅ dla 2. B1 ∪ B2 ∪  ∪ Bn = Ω , 3. P ( Bi ) > 0 dla 1 i n , to dla każdego zdarzenia losowego A zawartego w Ω zachodzi równość P ( A ) = P ( A | B1 ) ⋅ P ( B1 ) + P ( A | B2 ) ⋅ P ( B2 ) +  + P ( A | Bn ) ⋅ P ( Bn ) 17 Strona 20 15. PARAMETRY DANYCH STATYSTYCZNYCH • Średnia arytmetyczna Średnia arytmetyczna n liczb a1, a2, ..., an jest równa: a1 + a2 + ... + an a= n • Średnia ważona Średnia ważona n liczb a1, a2, ..., an, którym przypisano dodatnie wagi – odpowiednio: w1, w2, ..., wn jest równa: w1 ⋅ a1 + w2 ⋅ a2 + ... + wn ⋅ an w1 + w2 + ... + wn • Średnia geometryczna Średnia geometryczna n nieujemnych liczb a1, a2, ..., an jest równa: n a1 ⋅ a2 ⋅ ... ⋅ an • Mediana Medianą uporządkowanego w kolejności niemalejącej zbioru n danych liczbowych a1 a2 a3 ... an jest: – dla n nieparzystych: an+1 (środkowy wyraz ciągu) 2 – dla n parzystych: 1 ( ) a n + a n +1 (średnia arytmetyczna środkowych wyrazów ciągu) 2 2 2 • Wariancja i odchylenie standardowe Wariancją n danych liczbowych a1, a2, ..., an o średniej arytmetycznej a jest liczba: ( a − a ) + ( a2 − a ) + ... + ( an − a ) 2 2 2 a12 + a22 + ... + an2 − (a ) 2 σ 2 = 1 = n n Odchylenie standardowe σ jest pierwiastkiem kwadratowym z wariancji. 16. GRANICA CIĄGU • Granica sumy, różnicy, iloczynu i ilorazu ciągów Dane są ciągi ( an ) i ( bn ) , określone dla n 1. Jeżeli lim an = a oraz lim bn = b , to n →∞ n →∞ lim ( an + bn ) = a + b lim ( an − bn ) = a − b lim ( an ⋅ bn ) = a ⋅ b n →∞ n →∞ n →∞ Jeżeli ponadto bn ≠ 0 dla n 1 oraz b ≠ 0, to a a lim n = n →∞ bn b 18