Strona 1 PODSTAWY AUTOMATYKI ZBIÓR ZADAŃ z przykładowymi rozwiązaniami JANUSZ STASZEWSKI Wrocław 2012 Strona 2 Dziękuję Kolegom z Zakładu Automatyki i Sterowania w Instytucie Energoelektryki Politechniki Wrocławskiej, a szczególnie prof. Januszowi Szafranowi za wsparcie i wydatną pomoc w pisaniu tego skryptu © Copyright by Janusz Staszewski ISBN 978-83-7493-682-8 Strona 3 SPIS TREŚCI 1. Transformata Fouriera ............................................................................. 3 2. Transformata Laplace’a........................................................................... 6 3. Charakterystyki czasowe i częstotliwościowe ...................................... 26 4. Algebra schematów blokowych ............................................................ 39 5. Uchyby ustalone .................................................................................... 55 6. Stabilność .............................................................................................. 58 7. Korekcja analogowa .............................................................................. 73 8. Zmienne stanu ....................................................................................... 76 9. Obserwowalność i sterowalność ........................................................... 96 10. Transformata Z ..................................................................................... 98 11. Równania różnicowe ........................................................................... 114 12. Ekstrapolatory ..................................................................................... 122 13. Algebra schematów blokowych Z...................................................... 126 14. Uchyby ustalone Z ............................................................................. 134 15. Stabilność Z........................................................................................ 137 16. Korekcja cyfrowa ................................................................................ 149 17. Układy nieliniowe ............................................................................... 152 DODATEK Podstawy teoretyczne A. Transformata Fouriera ......................................................................... 159 B. Transformata Laplace’a....................................................................... 161 C. Charakterystyki Bodego ...................................................................... 164 D. Algebra schematów blokowych .......................................................... 165 E. Uchyby ustalone .................................................................................. 167 F. Stabilność ............................................................................................ 168 G. Zmienne stanu. Obserwowalność i sterowalność ................................ 172 H. Transformata Z ................................................................................... 174 I. Algebra schematów blokowych Z ...................................................... 178 J. Uchyby ustalone Z ............................................................................. 180 K. Stabilność Z ........................................................................................ 180 L. Układy nieliniowe ............................................................................... 183 Strona 4 Transformata Fouriera 3 1. TRANSFORMATA FOURIERA 1.1. Przykładowe rozwiązania Zad. 1. Korzystając wprost z definicji znaleźć transformatę Fouriera funkcji 1 dla 0  t  2 f (t )   0 dla t  0 i t  2 Rozwiązanie: Podstawiając wprost do wzoru (A.1) otrzymamy:  2 2 1  jt F  f(t)   f(t)e  jt dt   e  jt dt   j e j    e 2 j  1  (1.1)  0 0 Zad. 2. Korzystając wprost z definicji znaleźć transformatę Fouriera funkcji f (t )  e j 2t Rozwiązanie: Podstawiając wprost do wzoru (A.1) otrzymamy:     F  f(t)  F e j 2t   e j 2t e jt dt   e j   2 t dt (1.2)   Korzystając z zasady dualizmu (A.4) i wzoru (A.5) otrzymamy: F e j 2t  2 (  2) (1.3) Zad. 3. Znaleźć transformatę Fouriera funkcji f (t )  1(t ) e5 jt korzystając z podsta- wowych własności transformaty. Rozwiązanie: Skorzystamy z twierdzenia o opóźnieniu w dziedzinie częstotliwości (A.10) i tabeli A.1:    j F 1(t ) e5 jt  F 1(t )  5    ( )        5   (  5)  j  5 (1.4)  Strona 5 Transformata Fouriera 4 1.2. Zadania Zad. 1. Korzystając wprost z definicji znaleźć transformatę Fouriera funkcji: 2 dla - 1  t  1 1. f (t )   3. f (t )  sin2t  0 dla t  -1 i t  1  5 dla - 1  t  3 2. f (t )   4. f (t )  cos3t  0 dla t  1 i t  3 Podpowiedź do pkt. 3 i 4: można z zależności e jt  cost   j sint  oraz e  jt  cost   j sint  wyznaczyć funkcję sinus (po obustronnym odjęciu) lub kosinus (po obustronnym dodaniu) i wprost podstawić do całkowania. Zad. 2. Korzystając z podstawowych własności transformaty znaleźć transformatę Fouriera funkcji: 1. f (t )   (t ) e2 jt 4. f (t )  1(t  5) 2. f (t )  1(t ) e4 jt 5. f (t )  1(t ) t e2t 3. f (t )  1(t ) e( 2 4 j )t 6. f (t )  1(t ) t e(1 j )t 1.3. Jak to się robi w Matlabie? 1.3.1. Wyznaczanie transformaty Fouriera Korzystając z programu Matlab, możemy policzyć transformatę Fouriera dowolnej funkcji w dziedzinie czasu. Oczywiście funkcja musi spełniać warunek (A.2). W tym celu np. dla równania f (t )  1(t ) (skok jednostkowy) należy wykonać nastę- pującą sekwencję instrukcji: syms t % deklaracja zmiennej symbolicznej t (bez podania konkretnej wartości) F=fourier (heaviside(t)) % obliczenie transformaty Fouriera wyrażenia w nawiasie; % wynik w zmiennej F Efektem działania powyższej funkcji będzie: F= pi*dirac(w) - i/w Uwaga: delta Diraca i skok jednostkowy to w Matlabie funkcje odpowiednio: dirac( ) i heaviside( ); i   1 ; w – pulsacja. Strona 6 Transformata Fouriera 5 1.3.2. Wyznaczanie odwrotnej transformaty Fouriera Mając daną transformatę Fouriera możemy policzyć transformatę odwrotną. W tym 1 celu np. dla F ( )  należy wykonać następującą sekwencję instrukcji: 1  i syms w % deklaracja zmiennej symbolicznej w (bez podania konkretnej wartości) f=ifourier (1/(1+i*w)) % obliczenie odwrotnej transformaty Fouriera wyrażenia % w nawiasie; wynik w zmiennej f Efektem działania powyższej funkcji będzie: f= heaviside(x)/exp(x) Jeżeli chcemy aby argumentem funkcji f był czas t należy w Matlabie wpisać: syms w % deklaracja zmiennej symbolicznej w (bez podania konkretnej wartości) syms t % deklaracja zmiennej symbolicznej t (bez podania konkretnej wartości) f=ifourier (1/(1+i*w),t) % obliczenie odwrotnej transformaty Fouriera wyrażenia % w nawiasie; wynik w zmiennej f Co w rezultacie da: f= heaviside(t)/exp(t) Strona 7 Transformata Laplace’a 6 2. TRANSFORMATA LAPLACE’A 2.1. Przykładowe rozwiązania Zad. 1. Korzystając wprost z definicji znaleźć transformatę Laplace’a funkcji f (t )  1(t ) Rozwiązanie: Podstawiając wprost do wzoru (B.1) otrzymamy:   1 1 F (s)  L1(t )   1(t )e dt   e st dt   e st  st t   (2.1) s t  0 s  0 Funkcję 1(t ) pod całką możemy pominąć zmieniając granice całkowania. Zad. 2. Korzystając wprost z definicji znaleźć transformatę Laplace’a funkcji f (t )  at 1(t ) Rozwiązanie: Podstawiając wprost do wzoru (B.1) otrzymamy:   F ( s)  Lat 1(t )   at 1(t ) e st dt a  te  st dt (2.2) 0 0 Skorzystamy teraz z metody całkowania przez części:  udv  uv   vdu (2.3) gdzie u, v są funkcjami zmiennej t: u t dv  e  st dt 1 du  dt v   e  st s Zatem:    1 1 1 a F ( s)  a  te dt   at e st  a  e st dt  0  a 2 e st  2  st (2.4) 0 s 0 s s s 0 0 Strona 8 Transformata Laplace’a 7  1  W powyższym równaniu przy liczeniu granicy lim   at e  st  występuje nieozna- t   s   czoność typu , zatem należało skorzystać z reguły de Hospitala:   (t )  (t ) lim  lim (2.5) t    (t ) t    (t ) Czyli:  1   at a lim   at e st   lim st  lim 2 st  0 (2.6) t   s  t  se t  s e Podsumowując: F ( s)  Lat  a (2.7) s2 Zad. 3. Znaleźć transformatę Laplace’a funkcji f (t )  at 1(t ) korzystając z pod- stawowych własności transformaty Rozwiązanie: Skorzystamy z twierdzenia o liniowości (B.3) oraz z twierdzenia o mnożeniu przez czas (B.7): 1 d  d  L1(t ) 1 F ( s)  Lat 1(t )  aLt 1(t )  a  a    a 2 s (2.8) ds ds s Zad. 4. Znaleźć transformatę Laplace’a funkcji f (t )  t e5t 1(t ) korzystając z podstawowych własności transformaty. Rozwiązanie: Skorzystamy z twierdzenia o mnożeniu przez czas (B.7): d L e5t 1(t ) F ( s)  L t e5t 1(t )   (2.9) ds 5t Aby policzyć transformatę Laplace’a funkcji e 1(t ) skorzystamy z twierdzenia o opóźnieniu w dziedzinie częstotliwości (B.9): 1   L e5t 1(t )  L1(t ) s  s  5  s5 (2.10) Strona 9 Transformata Laplace’a 8 Zatem:  1  d  F ( s)      5t d L e 1(t )    s 5  1 (2.11) ds ds s  52 Zad. 5. Obiekt opisany jest równaniem różniczkowym y  7 y  12 y  u  u . Zna- leźć jego transmitancję G (s) , odpowiedź na impuls Diraca g (t ) oraz odpowiedź na skok jednostkowy y1 (t ) . Rozwiązanie: Powyższe równanie poddamy obustronnie działaniu transformaty Laplace’a. Sko- rzystamy z twierdzenia o transformacie pochodnej n-tego rzędu przy zerowych wa- runkach początkowych (B.5). s 2Y (s)  7sY (s)  12Y (s)  sU (s)  U (s) (2.12a) Y (s)s 2  7s  12  U (s)s  1 (2.12b) Y ( s) s 1  2 (2.12c) U ( s) s  7 s  12 Ponieważ: Y ( s) G(s)  (2.13) U ( s) zatem ostatecznie: s 1 G( s)  2 (2.14) s  7 s  12 W celu policzenia funkcji wagi (B.11) należy obliczyć odwrotną transformatę Lapla- ce’a. Skorzystamy z metody residuów (B.13). W pierwszym kroku, rozwiązując rów- nanie: s 2  7s  12  0 (2.15) wyznaczymy bieguny transmitancji: s1  3 , s2  4 , czyli: s 1 G( s)  (2.16) s  3s  4 Strona 10 Transformata Laplace’a 9 Zatem:  s 1  g (t )  L-1G ( s)  L-1    s  3s  4   s  1 st s  1 st   e  e  1(t )  (2.17) s  4 s  3 s3 s  4      2e  3t  3e  4t 1(t ) Podobnie wyznaczamy odpowiedź na skok jednostkowy, korzystając ze wzoru (B.12): 1   s 1  y1 (t )  L-1  G ( s )  L-1   s   ss  3s  4  s 1 s  1 st s  1 st   e st   1(t )  (2.18) s  4  e e  s  3s  4 s  0 ss  4 s  3 ss  3  1 2 3     e 3t  e  4t  1(t ) 12 3 4  Podsumowując: s 1 G( s)  (2.19a) s  3s  4   g (t )   2e 3t  3e 4t 1(t ) (2.19b) 1 2 3  y1 (t )    e 3t  e 4t  1(t ) (2.19c) 12 3 4  s 1 Zad. 6. Dana jest transmitancja operatorowa obiektu G ( s)  . Wyzna- s 0,1s  1 2 czyć odpowiedź układu na impuls Diraca (funkcję wagi) g (t ) . Rozwiązanie: W celu wyznaczenia funkcji wagi korzystamy z metody residuów. Uwaga: jeden biegun jest podwójny, zatem należy skorzystać ze wzorów (B.13) i (B.14). Przydatne również będą wzory na pochodną iloczynu i ilorazu: u  v   uv  uv (2.20a)   u  u v  uv    (2.20b) v v2 Strona 11 Transformata Laplace’a 10  s 1  -1  10s  1  g (t )  L-1G ( s)  L-1 2  L  2   s 0,1s  1  s s  10  d 10s  1 st  10s  1 st    e   e  1(t )  d   s s  10   s 0 s 2  s  10       10e st s  1 s  10  10e st s  1  10s  1 st e   1(t )  (2.21)  s  102 s2 s  10   s 0      10te st s  1  10e st s  10  10e st s  1  10s  1 st e   1(t )   s  10 2 s 0 s 2 s  10     0,9  t  0,9 e st 1(t ) Zatem ostatecznie:   g (t )  0,9  t  0,9 e st 1(t ) (2.22) Zad. 7. Znaleźć transmitancję G (s) czwórnika elektrycznego: L U1 R U2 i Rys. 2.1. Przykładowy czwórnik elektryczny LR. Rozwiązanie: Podany układ można opisać równaniami: di U1  L U 2  0 (2.23) dt U2 i (2.24) R Oznaczmy: L U1  u (t ) , U 2  y(t ) , T (2.25) R Strona 12 Transformata Laplace’a 11 Zatem: d y(t )  u (t )  T  y(t )  0 (2.26) dt W celu policzenia transmitancji operatorowej skorzystamy z twierdzenia o transfor- macie pochodnej n-tego rzędu przy zerowych warunkach początkowych (B.5): U (s)  TsY (s)  Y (s)  0 (2.27) a po prostych przekształceniach: Y ( s) 1 G( s)   (2.28) U ( s) Ts  1 czyli czwórnik elektryczny z rys. 2.1 jest układem inercyjnym 1-go rzędu. Zad. 8. Wyznaczyć transformatę Laplace’a funkcji opisanej zależnością:  t dla 0  t  2  f (t )  t  4 dla 2  t  4 (2.29)  0 dla t4  Rozwiązanie: Zadanie to można rozwiązać na dwa sposoby. Pierwszy sposób - wprost z definicji transformaty Laplace’a, dzieląc przedział całkowania 0,   na 3 przedziały 0,2 , 2, 4 , 4,  . Jest to jednak dosyć żmudne, wymaga bowiem liczenia kilku całek. Drugi sposób, dużo prostszy, polega na przedstawieniu zadanej funkcji jako sumy funkcji prostych (w tym przypadku liniowych) przemnożonych przez sygnał skoku jednostkowego odpowiednio przesunięty w czasie. W celu łatwiejszego zrozumienia przebiegu tej funkcji możemy ją naszkicować: f(t) 2 2 4 t -2 Rys. 2.2. Przebieg funkcji określonej wzorem (2.29). zatem funkcję f (t ) można zapisać inaczej: f (t )  t 1(t )  4 1(t  2)  (t  4) 1(t  4) (2.30) Strona 13 Transformata Laplace’a 12 Wyjaśnienie: Pierwszy odcinek to funkcja f1 (t )  t . Jednak wartość tej funkcji dla t  0 musi być równa 0, co osiągniemy mnożąc przez skok jednostkowy 1(t ) . Drugi odcinek funkcji powstał poprzez przesunięcie poprzedniej funkcji pionowo w dół, o wartość 4 (nachy- lenie nie zmienia wartości), jednak tylko dla t  2 (stąd przemnożenie przez 1(t  2) ). Ponieważ drugi odcinek dany jest wzorem t  4 , zatem, aby powstał trzeci odcinek, równy zero, trzeba odjąć od drugiego taka samą funkcję czyli też t  4 , z tym, że po- czynając dopiero od t  4 (stąd przemnożenie przez 1(t  4) ). Zatem, korzystając z twierdzeń: o liniowości transformaty (B.3), o mnożeniu przez czas (B.7), o przesunięciu w dziedzinie czasu (B.8), otrzymamy: F ( s)  L f (t )  Lt 1(t )-4 L1(t  2)-L(t  4) 1(t  4)  1 4 2s 1 4s 1 4e 2 s (2.31)   s2 s e  s2 e  s2 1  e 4s  s   Uwaga: przy liczeniu transformaty Laplace’a funkcji złożonej, możemy skorzystać wprost z twierdzenia o przesunięciu w dziedzinie czasu tylko wtedy, jeśli w funkcji towarzy- szącej funkcji 1(t  t0 ) , opóźnienie w dziedzinie czasu jest dokładnie takie samo (funkcje muszą być skorelowane). Np. L(t  t0 ) 1(t  t0 )  s 2e st0 - opóźnienia równe – można skorzystać wprost z twierdzenia,  Lsin  t  t0  1(t  t0 )  e st 0 - opóźnienia równe – można skorzystać s  2 2 wprost z twierdzenia, Lt 1(t  T ) - brak opóźnienia funkcji t – z twierdzenia o przesunięciu w dziedzinie czasu nie można skorzystać wprost; aby policzyć tę transformatę, trzeba najpierw sko- rzystać z twierdzenia o mnożeniu przez czas, L(t  2T ) 1(t  T ) - opóźnienie funkcji t wynosi 2T czyli jest różne niż przy 1(t  T ) – z twierdzenia o przesunięciu w dziedzinie czasu nie można skorzystać wprost; aby policzyć tę transformatę, trzeba najpierw skorzystać z twierdzenia o li- niowości i twierdzenia o mnożeniu przez czas. Strona 14 Transformata Laplace’a 13 Zad. 9. Znaleźć transformatę Laplace’a funkcji okresowej zdefiniowanej wykresem: f(t) 2 1 1 2 3 4 5 t -1 -2 Rys. 2.3. Przebieg przykładowej funkcji okresowej. Rozwiązanie: Funkcję można zapisać jako: fT (t )  2t  2 , f (t )  f (t  T ) (2.32) gdzie: T  2 Najpierw liczymy transformatę Laplace’a, dla jednego okresu funkcji. W tym celu za- piszemy funkcję fT (t ) inaczej: fT (t )  (2t  2)1(t )  (2t  2)1(t  2) (2.33) Licząc transformatę Laplace’a skorzystamy z twierdzeń: o liniowości transformaty (B.3), o mnożeniu przez czas (B.7), o przesunięciu w dziedzinie czasu (B.8): FT ( s)  L fT (t )  L(2t  2)1(t )  (2t  2)1(t  2)  (2.34)  2 Lt1(t ) 2 L1(t ) 2 Lt  11(t  2) Ale: t  11(t  2)  t  1  1  11(t  2)  t  21(t  2)  1(t  2) (2.35) Zatem: FT ( s)  2 L t1(t )  2 L 1(t )  2 Lt  21(t  2)  2 L1(t  2)  2 2 2e 2 s 2e 2 s 2  2 s 2 (2.36)  s 2   2  s s s s s   2 e  1  e 2 s  1    Identyczny wynik otrzymalibyśmy licząc transformatę Laplace’a wprost z definicji: 2 FT ( s)  L fT (t )    2t  2e st dt (2.37) 0 Strona 15 Transformata Laplace’a 14 Następnie skorzystamy ze wzoru na transformatę funkcji okresowej (B.10): 2 2s 2 F ( s) 2  e  1  e 2 s  1    2 2 e 2 s  1   F ( s)  T  sT  s s    (2.38) 1 e 1  e 2 s s 2 s e 2 s  1   2.2. Zadania Zad. 1. Korzystając wprost z definicji znaleźć transformatę Laplace’a funkcji: 1. f (t )  1(t ) - skok jednostkowy 6. f (t )  sint  2. f (t )   (t ) - impuls Diraca 7. f (t )  cost  3. f (t )  t 2 8. f (t )  e2t 4. f (t )  2t  3 9. f (t )  2e3t  1 5. f (t )  t  2 10. f (t )  5t  et Podpowiedź do pkt. 6 i 7: Można je rozwiązać na 2 sposoby: 1. przy całkowaniu wprost funkcji sinus (lub kosinus), po skorzystaniu dwukrotnie z meto- dy całkowania przez części, jeden ze składników po prawej stronie równania będzie identyczny jak ten po lewej. Należy odpowiednio pogrupować składniki stronami. 2. można z zależności e jt  cost   j sint  oraz e  jt  cost   j sint  wyznaczyć funkcję sinus (po obustronnym odjęciu) lub kosinus (po obustronnym dodaniu) i wprost podstawić do całkowania. Zad. 2. Dana jest odpowiedź na impuls Diraca (funkcja wagi) g (t ) . Znaleźć trans- mitancję operatorową G (s) . 1. g (t )   2e 3t  3e 4t 1(t ) 6.   g (t )  t 2et  2te 2t  3e3t 1(t ) 2.   g (t )   4e 2t  9e 4t 1(t ) 7. g (t )  2e t  sin2t 1(t ) 3. g (t )  3e  2e  e 1(t ) 3t 2t t 8. g (t )  3te 2t  cos5t 1(t ) 4. g (t )   5te  9e 1(t ) 3t 5t 9. g (t )  t sint  1(t ) 5. g (t )  2t e  3e 1(t ) 2 t 2t 10. g (t )  t cost  1(t ) Strona 16 Transformata Laplace’a 15 Zad. 3. Dana jest odpowiedź układu na skok jednostkowy y1 (t ) . Znaleźć transmi- tancję operatorową G (s) . 1.   y1 (t )  1  e 2t 1(t ) 6. y1 (t )  0,25  0,251  4t e 4t 1(t ) 2. y (t )  2  2e 1(t ) 1 3t 7.   y1 (t )  t  0,2  0,2e 5t 1(t ) 3. y (t )  2  2e  4e 1(t ) 1 2t t 8. y1 (t )  sint  2 1(t  2) 4. y (t )  2te 1(t ) 1 2t 9. y1 (t )  t sint  1(t ) 5. y (t )  e  t  1e 1(t ) 1 2t t 10. y1 (t )  t cost  1(t ) Zad. 4. Dana jest transmitancja operatorowa obiektu G (s) . Wyznaczyć odpowiedź układu na impuls Diraca (funkcję wagi) g (t ) . 0,5s  2 s 1 1. G( s)  11. G ( s)  2 s  6s  5 s  22 5s  2 s 2. G ( s)  2 12. G ( s )  s  6s  8 s  32 s2 2 3. G( s)  2 13. G ( s)  s s  1 2 s  5s  4 s  0,5 s2  s 1 4. G( s)  14. G ( s)  2 s  7 s  10  s  3 s 2  5s  6  4s  2 1 5. G( s)  15. G( s)  2 s  8s  15 s  1s  32 s 2s  1 6. G( s)  16. G( s)  2 s  1,5s  0,5  s  2 s 2  8s  16  2s  3 2s  3 7. G( s)  17. G( s)  2 s  9s  20 s  13 3s  1 1 8. G( s)  18. G( s)  2 s  4s  3 s  1 s  22 2 9. G( s)  4s  1 19. G ( s)  s  12 2 s  7s  6 s2 1 10. G ( s)  2s  1 20. G ( s)  s  12 s s  1 ss 2  1 Strona 17 Transformata Laplace’a 16 Zad. 5. Obiekt opisany jest równaniem różniczkowym. Wyznaczyć transmitancję operatorową G (s) oraz odpowiedź układu na impuls Diraca g (t ) . 1. 2 y  12 y  10 y  2u  8u 2. 2 y  12 y  16 y  8u  4u 3. 3 y  15 y  12 y  9u  6u 4. 2 y  14 y  20 y  4u  u 5. 0,5 y  4 y  7,5 y  0,5u  2u Zad. 6. Obiekt opisany jest równaniem różniczkowym. Wyznaczyć transmitancję operatorową G (s) oraz odpowiedź układu na skok jednostkowy y1 (t ) . 1. y  4 y  3 y  u  u 2. y  5 y  6 y  2u  6u 3. y  5 y  4 y  u  u  u 4. 2 y  12 y  10 y  2u  6u 5. 5 y  10 y  15u  20u Zad. 7. Znaleźć transmitancję G (s) czwórnika elektrycznego: 1. 2. R U1 L U2 U1 R C U2 i i 3. 4. L L C U1 R U2 U1 R U2 i i C Strona 18 Transformata Laplace’a 17 5. 6. C R U1 U2 R C U1 U2 L L i i 7. 8. C1 R2 C L U1 i1 U1 i1 i2 i2 U2 L U2 R1 C2 C 9. 10. C i C R2 R1 L U1 i1 U1 U2 i2 R1 L U2 R2 11. C1 L1 i R1 R2 L2 U1 U2 C2 Strona 19 Transformata Laplace’a 18 Zad. 7. Znaleźć transformatę Laplace’a funkcji opisanej zależnością: 0,5t dla 0  t  2  0 dla 0  t  2 1. f (t )   4. f (t )    1 dla t2 2t  4 dla t2  2 dla 0  t  4 0,4t dla 0  t  5 2. f (t )   5. f (t )    t  6 dla t4   2 dla t 5  0 dla 0  t  2  t dla 0  t  2 3. f (t )    t  2 dla t2 6. f (t )   2 dla 2  t  4  t  6 dla t4  Zad. 8. Znaleźć transformatę Laplace’a funkcji okresowej: 1. 2. f(t) 2 f(t) 1 2 1 1 2 3 4 5 t -1 1 2 3 4 5 t -2 -1 3. 4. f(t) f(t) 3 1 2 3 4 5 6t 2 -1 1 -2 -3 1 2 3 4 5 6t 5. 6. f(t) f(t) 2 4 1 3 2 1 2 3 4 5 6 7 8 t -1 1 -2 t 1 2 3 4 5 6 Strona 20 Transformata Laplace’a 19 7. 8. f(t) 4 f(t) 3 1 2 1 1 2 3 4 5 6 7 8 t -1 1 2 3 4 5 6 7 8 t 2.3. Jak to się robi w Matlabie? 2.3.1. Wprowadzanie transmitancji Korzystając z programu Matlab, możemy zapisać dowolną transmitancję G (s) w różnych postaciach. a. reprezentacja transmitancji G (s) w postaci ilorazu dwóch wielomianów s 1 np. G( s)  2 s  7 s  12 W Matlabie taką transmitancję można zapisać następująco: G=tf([1 1],[1 7 12]) % w nawiasach [] współczynniki wielomianu odpowiednio licznika % i mianownika poczynając od współczynnika przy największym stopniu s % transmitancja zapisana w zmiennej G Efektem działania powyższej funkcji będzie: Transfer function: s+1 ------------------ s^2 + 7 s + 12 Identyczny efekt wypisania transmitancji na ekranie (jednak bez zapisania jej w zmiennej G) da wywołanie funkcji: printsys([1 1],[1 7 12]) % wypisanie transmitancji na ekranie Jeżeli chcemy dodać do transmitancji opóźnienie transportowe np. człon e 2 s , to wy- wołanie funkcji tf będzie postaci: G=tf([1 1],[1 7 12], ‘InputDelay’, 2) % w nawiasach [] współczynniki wielomianu % odpowiednio licznika i mianownika oraz wartość opóźnienia transportowego Efektem działania powyższej funkcji będzie: Transfer function: s+1 exp(-2*s) * ------------------- s^2 + 7 s + 12