tytu�: "POMIAR" autor: Kazimierz Ajdukiewicz "Studia Logica" 1961, t. XI. str. 223-231. 1. Mierz�c jaki� przedmiot, mo�emy go mierzy� pod r�nymi wzgl�dami. Mierz�c dany pr�t mo�emy go mierzy� pod wzgl�dem jego d�ugo�ci lub pod wzgl�dem jego obj�to�ci, pod wzgl�dem jego ci�aru itd. Niezb�dnym za�o�eniem ka�dego pomiaru jest wi�c ustalenie tego, pod jakim wzgl�dem pomiar ma by� przeprowadzony. Czym jest �w "wzgl�d", pod kt�rym pomiar przeprowadzamy, a wi�c np. d�ugo��, obj�to��, ci�ar? Jest to zawsze pewien rodzaj, a wi�c pewna klasa cech mi�dzy sob� roz��cznych, to znaczy takich, z kt�rych dwie r�ne nie przys�uguj� nigdy temu samemu przedmiotowi. Np. d�ugo�� jest to rodzaj, czyli klasa cech, do kt�rej nale�� r�ne d�ugo�ci, np. d�ugo�� 1 m, d�ugo�� 2 m itd., kt�re s�, oczywi�cie, mi�dzy sob� roz��czne. Ka�dy rodzaj, czyli klasa cech roz��cznych, wyznacza pewien stosunek, kt�rego polem jest zbi�r wszystkich przedmiot�w posiadaj�cych jak�� spo�r�d cech tego rodzaju. Jest to mianowicie stosunek, kt�ry zachodzi mi�dzy dwoma takimi przedmiotami zawsze i tylko wtedy, gdy maj� t� sam� cech� danego rodzaju. Np. d�ugo�� wyznacza stosunek zachodz�cy pomi�dzy dwoma przedmiotami zawsze i tylko wtedy, gdy oba maj� t� sam� d�ugo��. Stosunek polegaj�cy na posiadaniu tej samej cechy spo�r�d roz��cznych cech rodzaju P jest oczywi�cie stosunkiem zwrotnym i symetrycznym w zbiorze przedmiot�w posiadaj�cych kt�r�� z cech rodzaju P. Ka�dy bowiem przedmiot posiadaj�cy jak�� z cech rodzaju P zgadza si� sam ze sob� co do tej cechy. Je�eli przedmiot a zgadza si� z przedmiotem b co do posiadanej cechy rodzaju P, to przedmiot b zgadza si� te� z przedmiotem a co do tego. Jest on te� stosunkiem przechodnim, bo gdyby przedmioty a i b mia�y t� sam� cech� rodzaju P, i przedmiot b oraz c mia�y t� sam� cech� rodzaju P, za� przedmioty a i c nie mia�y tej samej cechy rodzaju P, to cecha rodzaju P wsp�lna przedmiotom a i b oraz cecha rodzaju P wsp�lna przedmiotom b i c nie mog�aby by� t� sam� cech�, gdy� wtedy przedmiot a i przedmiot c mia�yby jak�� wsp�ln� cech� rodzaju P. Je�li jednak inna cecha rodzaju P by�aby wsp�lna przedmiotom a i b i inna cecha tego rodzaju by�a wsp�lna przedmiotom b i c, to wtedy przedmiot b posiada�by dwie r�ne cechy rodzaju P. To jednak jest niemo�liwe, je�eli cechy rodzaju P s� roz��czne. Stosunek polegaj�cy na posiadaniu tej samej cechy spo�r�d roz��cznych cech rodzaju P jest zatem stosunkiem zwrotnym, symetrycznym i przechodnim, a wi�c pewnego rodzaju r�wno�ci�. Nazywamy go r�wno�ci� pod wzgl�dem P. Stwierdzili�my na wst�pie, �e niezb�dnym za�o�eniem ka�dego pomiaru jest ustalenie tego, pod jakim wzgl�dem pomiar �w ma by� przeprowadzony. Zobaczyli�my jednak, �e z chwil�, gdy �w "wzgl�d" jest ustalony, ustalone jest tak�e, kiedy dwa przedmioty s� pod tym wzgl�dem r�wne. Wynika z tego, �e dop�ki, nie jest ustalone, kiedy dwa przedmioty s� pod danym wzgl�dem r�wne, dop�ty te� nie jest ustalone, pod jakim wzgl�dem pomiar przeprowadzamy. Mo�emy wi�c powiedzie�, �e niezb�dnym za�o�eniem ka�dego pomiaru jest ustalenie pewnej r�wno�ci, mianowicie: r�wno�ci przedmiot�w, pod tym wzgl�dem, pod kt�rym chcemy je mierzy�. Z drugiej strony wiadomo z teorii stosunk�w, �e ka�dy stosunek r�wno�ciowy wyznacza w spos�b jednoznaczny pewien podzia� logiczny swego pola, a wi�c wyznacza pewn� rodzin� roz��cznych jego podklas, kt�rych suma z polem tym si� pokrywa. Jest to - jak wiadomo - rodzina klas abstrakcji ze wzgl�du na ten stosunek, tzn. rodzina klas z�o�onych ze wszystkich i tylko tych przedmiot�w, kt�re do jakiego� przedmiotu w tym stosunku pozostaj�. Ka�dej z tych podklas odpowiada cecha dla niej charakterystyczna, a ich rodzinie odpowiada rodzaj tych cech, czyli tzw. "wzgl�d", pod kt�rym cechy te przedmiotom przys�uguj�. Jak z tego wida�, ustalenie "wzgl�du", pod kt�rym przedmioty maj� by� mierzone, jest r�wnowa�ne z ustaleniem odpowiedniego stosunku r�wno�ciowego tzn. z ustaleniem, kiedy dwa przedmioty mierzone b�d� uwa�ane przy tym pomiarze za r�wne. Idzie tu oczywi�cie o r�wno�� pod pewnym wzgl�dem, a nie o identyczno��. A wi�c np. ustalenie tego, co to jest d�ugo��, jest r�wnowa�ne z ustaleniem tego, kiedy dwa przedmioty s� r�wnie d�ugie; ustalenie tego, co to jest ci�ar, jest r�wnowa�ne z ustaleniem tego, kiedy dwa cia�a s� r�wnie ci�kie itd. Twierdzenie to jest oczywist� konsekwencj� znanej z teorii stosunk�w zasady dzi�ki tej r�wnowa�no�ci tzw. "wzgl�d", pod kt�rym zamierzamy przedmioty mierzy�, mo�e zosta� ustalony przez okre�lenie, kiedy dwa przedmioty uwa�a� b�dziemy za r�wne przy pomiarach danego rodzaju. W praktyce mierzenia rozpoczynamy te� zazwyczaj wyk�ad definicji stanowi�cych podstawowe za�o�enia danego pomiaru od odpowiedniej definicji r�wno�ci. Jest rzecz� jasn�, �e wraz ze zmian� definicji r�wno�ci otrzymywa� b�dziemy inne wyniki pomiaru. W szczeg�lno�ci, przy pomiarach przestrzennych przy pewnej definicji stosunku r�wnej d�ugo�ci mo�emy otrzyma� wyniki pomiar�w, kt�re potwierdz� geometri� euklidesow�, przy innej jednak definicji stosunku r�wnej d�ugo�ci mo�emy otrzyma� wyniki pomiar�w, kt�re nie b�d� si� zgadza�y z geometri� euklidesow�, ale potwierdz� jak�� inn� geometri�. Ten stan rzeczy m�g�by zosta� wypowiedziany w tych s�owach, �e to, za jak� geometri� opowie si� pomiar, a wi�c do�wiadczenie, zale�y od przyj�tych definicji pomiarowych. St�d mo�na by snu� wnioski, �e wobec tego, i� definicje pomiarowe s� arbitralne, od naszych arbitralnych konwencji definicyjnych zale�y te� to, czy przestrze� rzeczywista jest, czy te� nie jest euklidesowa. Sformu�owanie to brzmi bardzo sensacyjnie; nie jest te� pozbawione pewnej intelektualnej pikanterii i mog�oby by� uwa�ane za otwarcie drogi do idealizmu ontologicznego. Je�eli jednak b�dziemy sobie zdawali spraw� z tego, �e zmieniaj�c definicj� r�wnej d�ugo�ci, zmieniamy sens s�owa "d�ugo��", �e pomiary oparte na jednej definicji r�wnej d�ugo�ci s� pomiarami tych�e przedmiot�w pod innym wzgl�dem ni� pomiary oparte na innej definicji r�wnej d�ugo�ci, to posmak sensacji odpadnie. Nie ma przecie� nic sensacyjnego w tym, �e mierz�c przedmioty pod jednym wzgl�dem, otrzymamy wyniki doprowadzaj�ce do jednej teorii, a mierz�c je pod innym wzgl�dem, otrzymamy wyniki doprowadzaj�ce do innej teorii, ca�kowicie r�nej od pierwszej. Arbitralno�� definicji pomiarowych, a w szczeg�lno�ci arbitralno�� definicji r�wno�ci i wszystkie p�yn�ce z niej konsekwencje s� tylko prost� konsekwencj� tego, �e od naszej swobodnej decyzji zale�y to ca�kowicie, pod jakim wzgl�dem chcemy przedmioty poddawa� pomiarowi. 2. Wszelki pomiar polega na przyporz�dkowaniu przedmiotom mierzonym czy te� ich cechom przys�uguj�cym im pod tym wzgl�dem, pod kt�rym je mierzymy, pewnych liczb jako ich miary. Cechom przedmiot�w mierzonych (ich d�ugo�ciom, ci�arom lub tp.) przyporz�dkujemy ich liczbowe miary w spos�b wzajemnie jednoznaczny, przedmiotom za� w spos�b wielo-jednoznaczny: t� sam� miar� liczbow� przyporz�dkujemy wszystkim przedmiotom, kt�re s� r�wne pod danym wzgl�dem. Przyporz�dkowanie przez pomiar przedmiotom mierzonym czy te� ich cechom pewnych liczb jako ich miar dokonywane jest jednak w spos�b osobliwy. Nie jest to mianowicie przyporz�dkowanie zupe�nie dowolne i nic nie m�wi�ce, jak np. to, kt�rego dokonywamy przeprowadzaj�c zwyk�� numeracj� przedmiot�w. Przyporz�dkowanie dokonywane przez pomiar jest takie, �e pozwala ze stosunk�w pomi�dzy przyporz�dkowanymi przedmiotom liczbami wnioskowa� o zachodzeniu odpowiednich stosunk�w pomi�dzy tymi przedmiotami. Je�li np. wa��c trzy przedmioty, znajd� jako ich miary liczbowe pod wzgl�dem ci�aru odpowiednio liczby 5, 3 i 2, to z tego, �e 5=3+2, b�d� m�g� wnosi�, �e waga obci��ona na jednej szalce cia�em o mierze 5, a na drugiej cia�ami o mierze 3 i 2 b�dzie si� znajdowa�a w r�wnowadze. Je�li jaka� relacja R odwzorowuje pole stosunku S na polu stosunku T w spos�b wzajemnie jednoznaczny i tak, �e ilekro� mi�dzy przedmiotami x i y zachodzi stosunek T, tylekro� mi�dzy przyporz�dkowanymi tym przedmiotom przez relacj� R przedmiotami x' i y' zachodzi stosunek S, i na odwr�t, w�wczas m�wimy, �e relacja R odwzorowuje relacj� S na relacji T w spos�b "izomorficzny". Je�li za� relacja R odwzorowuje pole relacji S na polu relacji T w spos�b wielo-jednoznaczny i to tak, �e ilekro� mi�dzy dwoma przedmiotami x i y zachodzi relacja T, tylekro� mi�dzy dowolnymi dwoma przedmiotami, kt�rym relacja R przyporz�dkowuje przedmioty x i y, zachodzi relacja S -w�wczas m�wimy, �e relacja R odwzorowuje relacj� S na relacji T w spos�b "homomorficzny". Korzystaj�c z tej terminologii, b�dziemy mogli �w osobliwy spos�b, w jaki przez pomiar zostaj� mierzonym przedmiotom czy te� przys�uguj�cym im pod danym wzgl�dem cechom, przyporz�dkowane pewne liczby jako ich miary, scharakteryzowa� w nast�puj�cych s�owach. Pomiar przyporz�dkowuje mierzonym przedmiotom w spos�b wielo- jednoznaczny pewne liczby jako ich miary, wedle takiej zasady (relacji), kt�ra pewne stosunki pomi�dzy liczbami odwzorowuje w spos�b homomorficzny na pewnych stosunkach pomi�dzy odpowiednimi przedmiotami. R�wnocze�nie pomiar przyporz�dkowuje cechom, przys�uguj�cym mierzonym przedmiotom pod pewnym wzgl�dem, w spos�b wzajemnie jednoznaczny pewne liczby jako ich miary, wedle takiej zasady (relacji), kt�ra pewne stosunki mi�dzy liczbami odwzorowuje na pewnych stosunkach pomi�dzy odpowiednimi cechami w spos�b izomorficzny. 3. Zobaczymy teraz, jak wygl�da owa zasada czy te� relacja, wedle kt�rej mierz�c przedmioty, przyporz�dkowujemy im w spos�b wielo-jednoznaczny pewne liczby jako ich miary i kt�ra odwzorowuje pewne stosunki pomi�dzy liczbami w spos�b homomorficzny na pewnych stosunkach pomi�dzy odpowiednimi przedmiotami. Najpierw jednak zobaczymy, jak wygl�da owa zasada, wedle kt�rej mierz�c przedmioty pod danym wzgl�dem, przyporz�dkowujemy ich cechom w spos�b wzajemnie jednoznaczny pewne liczby i kt�ra odwzorowuje pewne stosunki pomi�dzy liczbami w spos�b izomorficzny na pewnych stosunkach pomi�dzy odpowiednimi cechami. Zasada tego przyporz�dkowania jest nast�puj�ca. Po pierwsze, obieramy sobie dowolny przedmiot, kt�ry w pewnych okre�lonych warunkach pod danym wzgl�dem si� nie zmienia, i przedmiotowi temu, pozostaj�cemu w tych warunkach (�ci�lej - fazom czasowym tego przedmiotu, w kt�rych znajduje si� on w tych warunkach) przyporz�dkowujemy miar� 1. Przedmiot ten (�ci�lej - odpowiednie fazy czasowe tego przedmiotu) nazywamy "wzorcem jednostki mierniczej". Miar� 1 przyporz�dkowujemy r�wnocze�nie wszystkim przedmiotom, kt�re s� obranemu wzorcowi pod danym wzgl�dem r�wne. Jak z tego wida�, to pierwsze przyporz�dkowanie przedmiotom mierzonym ich liczbowych miar jest wielo- jednoznaczne. Klas� przedmiot�w r�wnych pod danym wzgl�dem wzorcowi jednostki mierniczej czy te� cech� charakterystyczn� tej klasy nazywamy "jednostk� miernicz�" danego rodzaju cech i jej r�wnie� przyporz�dkowujemy liczb� 1 jako miar� tej cechy. Jednostk� miernicz� oznacza� b�dziemy symbolem J. To przyporz�dkowanie jednostce mierniczej liczby 1 jest wzajemnie jednoznaczne. W praktyce nie zawsze wskazany jest pewien okre�lony przedmiot jako wzorzec jednostki mierniczej, ale niekiedy zostaje wskazana pewna klasa przedmiot�w mi�dzy sob� pod danym wzgl�dem r�wnych i dowolny z element�w tej klasy mo�e s�u�y� jako wzorzec jednostki mierniczej. Tak by�o np. przy pierwotnym ustalaniu wzorca jednostki masy, kiedy za ten wzorzec przyj�to dowoln� porcj� wody w temperaturze 4�C o obj�to�ci 1 cm3. Tak te� jest przy astronomicznej definicji wzorca jednostki czasu, wedle kt�rej wzorcem tym jest dowolny obr�t Ziemi o pewien okre�lony k�t. Czy obranie wzorca jednostki mierniczej jest spraw� zupe�nie dowoln�? Abstrahujemy tu od wzgl�d�w praktycznej stosowalno�ci wzorca, kt�re nak�adaj� na niego pewne warunki. Idzie o to, czy wyb�r ten jest ze wzgl�d�w czysto logicznych dowolny. Ot� w wypadku, gdy jako wzorzec obiera si� kt�rykolwiek z przedmiot�w w pewien spos�b scharakteryzowanych (np. 1 cm3 wody w temperaturze 4�C), wyb�r ten nie jest dowolny, lecz podlega temu warunkowi, �e wszystkie owe przedmioty, kt�rym przyporz�dkowujemy miar� 1, musz� by� mi�dzy sob� r�wne. Analogiczny warunek odnosi si� do wypadku, gdy jako wzorzec obiera si� pewien okre�lony przedmiot w okre�lonych warunkach (np. metr paryski w temperaturze 15�C). Obranie takiego przedmiotu jako wzorca jednostki jest dopuszczalne tylko wtedy, gdy wiadomo z g�ry, �e przedmiot ten w owych warunkach nie zmienia si� pod danym wzgl�dem. Postulat ten jest dyktowany przez to, �e gdyby�my jako wzorzec obrali kt�rykolwiek z przedmiot�w lub faz tego samego przedmiotu mi�dzy sob� r�nych, to definicja jednostki mierniczej jako klasy abstrakcji od kt�regokolwiek ze wzorc�w nie spe�ni�aby obowi�zuj�cego ka�d� definicj� warunku istnienia, taka klasa abstrakcji bowiem nie istnieje. Jak z powy�szego wida�, wyb�r wzorca jednostki mierniczej nie jest spraw� ca�kowicie dowolny, lecz musi by� poprzedzony przez zbadanie empiryczne, czy przedmioty, czy te� czasowe fazy przedmiotu, kt�re jako wzorzec obieramy, s� mi�dzy sob� r�wne. Zbadanie tego nie wymaga jeszcze pomiaru ani wszystkich le��cych u jego podstaw definicji pomiarowych, lecz wystarcza tu ju� sama definicja r�wno�ci, kt�ra - jak widzieli�my - wszelki pomiar poprzedza. 4. Nast�pny krok przedsi�brany dla uzyskania przyporz�dkowania pomi�dzy mierzonymi przedmiotami czy te� ich cechami a liczbami jest nast�puj�cy: obieramy pewn� tr�jcz�onow� operacj� na cechach mierzonych przedmiot�w (np. na ich ci�arach), tzn. pewn� funkcj� o dwu argumentach, kt�ra dowolnym dwom cechom danego rodzaju (np. dwom ci�arom) w spos�b jednoznaczny przyporz�dkowuje jak�� cech� (np. jaki� ci�ar) jako sw� warto��. Operacj� t� nazywa� b�dziemy dodawaniem fizycznym, a odpowiadaj�c� jej funkcj� - sum� fizyczn�. Jako sum� fizyczn� ci�aru b i ci�aru c obieramy ci�ar a dowolnego cia�a, kt�re si� zr�wnowa�y na wadze, gdy na przeciwnej szalce po�o�ymy dowolne dwa cia�a o ci�arach b oraz c. Jako sum� dw�ch d�ugo�ci b i c obieramy d�ugo�� a dowolnego odcinka, kt�ry daje si� bez reszty pokry� przez dowolne dwa nie zachodz�ce na siebie odcinki, z kt�rych jeden ma d�ugo�� b, a drugi c. Jak z przyk�ad�w tych wida�, przy cechach przedmiot�w mierzonych pod r�nymi wzgl�dami w r�ny spos�b obieramy operacj� ich fizycznego dodawania. Fizyczna operacja dodawania ci�ar�w, to inna operacja ni� operacja dodawania odcink�w, a suma fizyczna ci�ar�w, to inna funkcja ni� suma fizyczna dw�ch odcink�w. Operacje te obierane s� jednak nie w spos�b dowolny, ale tak, aby by�y izomorficzne z operacj� dodawania liczb rzeczywistych. Tylko takie operacje na cechach mo�na nazwa� dodawaniem fizycznym. Ka�dy zbi�r cech zamkni�ty dla jakiej� operacji izomorficznej z operacj� dodawania arytmetycznego liczb rzeczywistych nazywa si� zbiorem wielko�ci addytywnych, a elementy tego zbioru - wielko�ciami addytywnymi. M�wi�c pro�ciej, zbi�r wielko�ci addytywnych jest to zbi�r, w kt�rym jest wykonalna pewna operacja posiadaj�ca formalne w�asno�ci dodawania liczb rzeczywistych. Zbi�r liczb rzeczywistych jest oczywi�cie zbiorem wielko�ci addytywnych. Zbiorem wielko�ci addytywnych jest te� zbi�r ci�ar�w, zbi�r d�ugo�ci itd., gdy� s� to zbiory, w kt�rych wykonalna jest pewna operacja izomorficzna z dodawaniem arytmetycznym. Nie dla ka�dego rodzaju cech jest to jednak mo�liwe, tzn. nie w ka�dym rodzaju cech jest wykonalna pewna operacja izomorficzna z dodawaniem liczb. Operacja taka jest wykonalna w zbiorze d�ugo�ci, ci�ar�w itd., ale nie ma operacji spe�niaj�cej ten warunek, kt�ra by by�a wykonalna w zbiorze barw, kszta�t�w, temperatur itd. Innymi s�owy, nie ka�dego rodzaju cechy s� wielko�ciami addytywnymi. Dlatego nie wszystkie rodzaje cech s� dost�pne pomiarowi. Je�eli dany rodzaj cech jest zbiorem wielko�ci addytywnych, a wi�c je�eli daje si� dla niego zdefiniowa� jaka� operacja dodawania fizycznego, kt�ra w nim jest wykonalna, w�wczas pos�ugujemy si� t� operacj� dla dalszego przyporz�dkowania wielko�ciom tego rodzaju ich miar liczbowych. Przyporz�dkowujemy mianowicie stale sumie fizycznej dw�ch wielko�ci jako jej liczbow� miar� arytmetyczn� sum� ich miar Przyjmijmy nast�puj�ce oznaczenia: je�eli a jest pewn� wielko�ci�, to symbolem M(a) b�dziemy oznaczali jej miar�. Sum� fizyczn� dw�ch wielko�ci a, b oznacza� b�dziemy jako S(a,b). Sum� arytmetyczn� dw�ch liczb A, B oznacza� b�dziemy przez E(A,B). Przy tych oznaczeniach mo�emy sformu�owan� przed chwil� zasad� przyporz�dkowania wielko�ciom ich miar liczbowych zapisa� w postaci wzoru: M[S(a,b)] = E[M(a),M(b)]. Stosuj�c t� zasad� otrzymamy. M[S(J,J)] = E[M(J),M(J)] = E(1,1) = 2 . (przypominamy, �e symbolem J oznaczamy wielko�� b�d�c� jednostk� miernicz�, kt�rej przyporz�dkowana zosta�a ju� miara 1). Og�lnie, je�eli M(a) = A, to M[S(a,J)] = E[M(a),M(J)] = A+1 . W ten spos�b przyporz�dkowana zostanie ka�dej wielko�ci, kt�ra jest fizyczn� wielokrotno�ci� jednostki mierniczej, pewna liczba ca�kowita jako jej miara. Wielko�ciom a, kt�re niekoniecznie s� wielokrotno�ci� jednostki, ale kt�re s� z jednostk� wsp�mierne, tzn. dla kt�rych mo�na wskaza� tak� wielko�� b, �e: a = Axb, J = Bxb (A i B s� to liczby ca�kowite, [za� symbolem x pos�ugujemy si� celem oznaczenia iloczynu <M.C.>]) przyporz�dkowujemy jako ich miar� u�amek A/B . Wielko�ci te wraz z poprzednimi nazywamy wymiernymi. Na koniec wielko�ciom a, kt�re nie s� wsp�mierne z jednostk�, przyporz�dkowujemy jako ich miar� liczb� rzeczywist�, kt�ra jest wi�ksza od wszystkich u�amk�w b�d�cych miarami wielko�ci wymiernych mniejszych od a i jest mniejsza od wszystkich u�amk�w b�d�cych miarami wielko�ci wymiernych wi�kszych od a. Mo�na wykaza�, �e naszkicowana zasada przyporz�dkowania wielko�ciom ich liczbowych miar dokonuje tego przyporz�dkowania w spos�b wzajemnie jednoznaczny. Dow�d tego twierdzenia daje si� jednak przeprowadzi� tylko dla wielko�ci, tzn. na podstawie za�o�enia, �e operacja dodawania fizycznego interweniuj�ca przy tym przyporz�dkowaniu posiada formalne w�asno�ci dodawania arytmetycznego. Gdyby bowiem np. operacja dodawania fizycznego tych w�asno�ci nie mia�a, np. gdyby nie by�a przemienna, tak �e mog�oby si� zdarzy�, �e S(a, b) =/ S(b, a), [symbol "=/" zosta� wprowadzony na oznaczenie stosunku nier�wno�ci <M.C.>] to nasze przyporz�dkowanie nie by�oby wzajemnie jednoznaczne. Mieliby�my bowiem : M[S(a, b)] = E[M(a), M(b)], M[S(b, a)] = E[M(b), M(a)]. Poniewa� za� dodawanie arytmetyczne jest przemienne, czyli E[M(a), M(b)] = E[M(b), M(a)], Zatem M[S(a, b)] = M[S(b, a)], mimo �e S(a, b) =/ S(b, a). R�nym wielko�ciom by�aby wi�c przyporz�dkowana, wedle naszej zasady, ta sama miara, a wi�c przyporz�dkowanie nie by�oby wzajemnie jednoznaczne. Mo�na te� wykaza�, �e ilekro� mi�dzy miarami pewnych wielko�ci, a wi�c mi�dzy liczbami rzeczywistymi, zachodzi pewien stosunek daj�cy si� wywie�� z aksjomat�w arytmetyki liczb rzeczywistych, tylekro� mi�dzy odpowiadaj�cymi tym liczbom wielko�ciami zachodzi stosunek analogiczny, tj. stosunek zdefiniowany tak samo, z t� tylko r�nic�, �e w definicji tej znak dodawania arytmetycznego zast�piony jest przez znak dodawania fizycznego. 5. Wy�o�ony wy�ej spos�b przyporz�dkowania wielko�ciom ich miar liczbowych jest wi�c, po pierwsze, przyporz�dkowaniem wzajemnie jednoznacznym, a po drugie, takim, �e ilekro� mi�dzy liczbami rzeczywistymi zachodzi pewien stosunek arytmetyczny, tylekro� mi�dzy przyporz�dkowanymi tym liczbom wielko�ciami zachodzi analogiczny stosunek fizyczny. Mo�emy wi�c powiedzie�, �e wy�o�ony wy�ej spos�b przyporz�dkowania ,wielko�ciom fizycznym ich miar liczbowych odwzorowuje w spos�b izomorficzny stosunki arytmetyczne mi�dzy liczbami rzeczywistymi na odpowiednich stosunkach fizycznych mi�dzy wielko�ciami, kt�rych te liczby s� miarami. Przeprowadzona wy�ej analiza pozwoli nam poda� definicj� pomiaru. Brzmi ona w spos�b nast�puj�cy : zmierzy� jak�� wielko�� rodzaju P, to znaczy przyporz�dkowa� jej jako jej miar� pewn� liczb� rzeczywist�, wedle takiej zasady, kt�ra stosunki arytmetyczne mi�dzy liczbami rzeczywistymi odwzorowuje w spos�b izomorficzny na odpowiednich stosunkach fizycznych mi�dzy wielko�ciami rodzaju P. Pewien stosunek fizyczny nazywamy za� stosunkiem odpowiadaj�cym pewnemu stosunkowi arytmetycznemu, gdy definicja owego stosunku fizycznego powstaje z definicji stosunku arytmetycznego przez zast�pienie wyst�puj�cego w niej znaku dodawania arytmetycznego przez w�a�ciwy dla danego rodzaju wielko�ci znak dodawania fizycznego. �atwo te� teraz powiedzie�, co to znaczy zmierzy� pewien przedmiot pod pewnym wzgl�dem. Znaczy to mianowicie : zmierzy� przys�uguj�c� temu przedmiotowi pod tym wzgl�dem cech�. Przeprowadzona wy�ej analiza i wyprowadzona z niej definicja pomiaru pozwala zrozumie�, na czym polega warto�� pomiaru. Przez ustalenie zasad pomiaru dla cech pewnego rodzaju zdobywamy, przede wszystkim, dla tych cech systematyczn� nomenklatur�. Zamiast m�wi�, "tak d�ugi, jak stopa naszego kr�la", "tak d�ugi, jak jego przedrami�", "tak d�ugi, jak bok piramidy Cheopsa" itp., jedn� tylko d�ugo�� okre�lamy w podobny spos�b, mianowicie d�ugo�� obranego wzorca, a wszystkie inne d�ugo�ci otrzymuj� swe nazwy w postaci tzw. liczb mianowanych, z�o�onych z pewnej liczby b�d�cej ich miar� i z nazwy wzorca d�ugo�ci (np. 5 metr�w, 0,4 metra itp.). Dzi�ki takiej nomenklaturze zwi�zki, czyli stosunki pomi�dzy cechami pewnego rodzaju (lub r�nych rodzaj�w) daj� si� cz�sto wyrazi� w postaci pewnej zale�no�ci arytmetycznej pomi�dzy ich miarami liczbowymi, co z kolei umo�liwia w wielu wypadkach sformu�owanie zale�no�ci pomi�dzy pewnymi rodzajami cech w postaci zwi�zku funkcjonalnego (np. ci�nienie x obj�to�� = 12). Te dwa efekty mogliby�my jednak otrzyma� przez jakiekolwiek przyporz�dkowanie liczb cechom przedmiot�w, a nie tylko przez takie, kt�re jest pomiarem. Pomiar bowiem tym si� odznacza, �e przyporz�dkowuje cechom przedmiot�w pewne liczby jako ich miary w spos�b izomorficzny. Izomorfizm ten pozwala nam z tego, �e mi�dzy liczbami przyporz�dkowanymi danym cechom jako ich miary zachodzi stosunek arytmetyczny Ra, wnosi�, �e pomi�dzy tymi cechami zachodzi odpowiedni stosunek Rf, i na odwr�t. Jaka z tego korzy��? Przypu��my, �e na drodze obserwacji stwierdzili�my, �e mi�dzy fizycznymi cechami przedmiot�w zachodz� zwi�zki fizyczne S'f S''f...S(n)f. Na mocy izomorfizmu wynika z tego, �e mi�dzy miarami tych cech zachodz� odpowiednie zwi�zki arytmetyczne S'a S''a...S(n)a. Ot� pot�ne narz�dzie matematyki pozwala nam cz�sto ze stosunk�w arytmetycznych S'a S''a...S(n)a, wyprowadzi� w drodze dedukcji matematycznej nowe zwi�zki arytmetyczne R'a R''a...R(k)a. Dzi�ki izomorfizmowi mi�dzy stosunkami fizycznymi zachodz�cymi mi�dzy cechami przedmiot�w a stosunkami arytmetycznymi, kt�re zachodz� mi�dzy liczbami stanowi�cymi ich miary, z zachodzenia zwi�zk�w arytmetycznych R'a R''a...R(k)a, mo�emy wnosi� 0 zachodzeniu odpowiednich stosunk�w fizycznych R'f R''f...R(k)f. Stosunki fizyczne S'f S''f...S(n)f stwierdzone na wst�pie na podstawie obserwacji s� zazwyczaj proste, tymczasem zwi�zki R'f R''f...R(k)f, wydedukowane za pomoc� matematyki i izomorfizmu zagwarantowanego przez pomiar mog� by� bardzo skomplikowane i nawet niedost�pne bezpo�redniej obserwacji. Widzimy z tych og�lnych rozwa�a�, �e dzi�ki takiemu przyporz�dkowaniu liczb cechom fizycznym przedmiot�w, kt�rego dokonujemy przez pomiar, mo�emy korzysta� z aparatu matematyki dla wyprowadzania z twierdze� zdobytych na drodze obserwacji odleg�ych ich konsekwencji, kt�re mog� nawet wykracza� poza granic� mo�liwego do�wiadczenia. Je�li poza te granice nie wychodz�, mog� one s�u�y� do przewidywania przysz�ych obserwacji, a tym samym, s�u�y� do sprawdzania prawid�owo�ci i hipotez, z kt�rych je wyprowadzili�my. Jak z tego wida�, mog� nauki stosuj�ce pomiar wi�cej przewidywa� i lepiej sprawdza� swoje hipotezy, a nawet wykracza� poza granice do�wiadczenia. Wszystko to podnosi ich warto�� poznawcz� i praktyczn�. <*> Tekst referatu wyg�oszonego w roku 1957 na konferencji wyk�adowc�w logiki w Osiecznej, zorganizowanej przez MSW w zwi�zku z nowym programem logiki dla przyrodnik�w.