Daniel Józef Bem NAWIGACJA SATELITARNA Wrocław 2001 Sorc® Spis treści 1. WPROWADZENIE 3 2. PODSTAWOWE POJĘCIA STOSOWANE W NAWIGACJI 4 3. CHARAKTERYSTYKA SATELITARNYCH SYSTEMÓW NAWIGACYJNYCH 6 4. UKŁADY WSPÓŁRZĘDNYCH 7 4.1. GEOCENTRYCZNY INERCYJNY UKŁAD WSPÓŁRZĘDNYCH 7 4.2. GEOCENTRYCZNY OBRACAJĄCY SIĘ WRAZ Z ZIEMIĄ UKŁAD WSPÓŁRZĘDNYCH 8 4.3. ŚWIATOWY SYSTEM GEODEZYJNY (WGS-84) 8 5. ORBITY SZTUCZNYCH SATELITÓW ZIEMI 11 6. SYSTEM NAWIGACJI SATELITARNEJ NAVSTAR GPS 18 6.1. KRÓTKA CHARAKTERYSTYKA 18 6.2. KONSTELACJA GPS 20 6.3. INFORMACJA NAWIGACYJNA 22 6.4. OKREŚLENIE POZYCJI UŻYTKOWNIKA 24 6.5. BŁĄD OKREŚLENIA POZYCJI UŻYTKOWNIKA 28 6.6. EFEKTY RELATYWISTYCZNE 30 6.7. RÓŻNICOWE SYSTEMY GPS 31 BIBLIOGRAFIA 32 1. Wprowadzenie Nawigacja zajmuje się procesem kierowania ruchami pojazdów (lądowych, morskich, powietrznych, kosmicznych) z jednego punktu do drugiego. W pierwszych podróżach człowiek używał swoich zmysłów do określania kierunku, odległości, prędkości i pozycji obiektu, w którym podróżował. Nie było to zbyt trudne na lądzie bogatym w różnorodne punkty orientacyjne. Kiedy jednak człowiek stał się na tyle śmiały, aby wypłynąć na morze, wówczas musiał sięgnąć do pomocy przyrządów ułatwiających obserwację zjawisk przyrody (wiatru, fal wody, ciał niebieskich). Przez wiele wieków jednak nawigacja była raczej sztuką niż nauką. Pod koniec dwudziestego stulecia nawigacja rozwinęła się w wiedzę, umożliwiającą człowiekowi podróżowanie zarówno na Ziemi, jak i w przestrzeni kosmicznej, wykorzystując w wysokim stopniu najnowsze osiągnięcia matematyki, elektroniki, mechaniki, ekonomii i filozofii. Przekształcenie nawigacji ze sztuki w wiedzę odbyło się stosunkowo niedawno i jest ściśle związane z rozwojem teorii systemów, matematyki, informatyki i technologii elektronowej. Podstawowym zadaniem nawigacji jest doprowadzenie poruszającego się pojazdu (lądowego, morskiego, powietrznego, kosmicznego) do określonego punktu z założoną dokładnością i we właściwym czasie. W celu dokładnego wykonania tego zadania stosuje się różne urządzenia i systemy nawigacyjne, wśród których można wyróżnić: - mechaniczne i elektromechaniczne (logi, żyrokompasy, inercyjne systemy nawigacyjne), - magnetyczne (kompasy magnetyczne, magnetometry), - optyczne i kwantowo-optyczne (sekstanty, pelengatory podczerwieni, dalmierze, lokatory optyczne), - akustyczne i hydroakustyczne (pelengatory akustyczne, echosondy, hydrolokatory), - radiolokacyjne (dalmierze), - radiowe. Wszystkie wymienione środki nawigacyjne mogą być stosowane w rozmaitych warunkach, a w celu zwiększenia dokładności określenia pozycji statku informacje z nich otrzymane muszą być wzajemnie uzupełniane. Zastosowanie każdego z tych środków oddzielnie nie zawsze jest możliwe, ze względu na złe warunki meteorologiczne, ograniczoną widoczność ziemskich i niebieskich punktów orientacyjnych, działanie anomalii magnetycznych na wskazania kompasu, zakłócenia występujące na Słońcu oraz burze magnetyczne powodujące pogorszenie się warunków rozchodzenia się fal radiowych itd. Z tego względu w celu wykonania zadań nawigacyjnych na pojazdach instaluje się różne przyrządy i urządzenia nawigacyjne, które umożliwiają określenie pozycji pojazdu w zależności od różnych warunków, w jakich pojazd się znajduje. Szczególnie jest to istotne w warunkach długotrwałego poruszania się pojazdu w rejonach nie zbadanych i pozbawionych znaków orientacyjnych (np. okręty podwodne pływające w zanurzeniu). Szczególnie atrakcyjne są systemy radionawigacyjne. Już pierwsi użytkownicy radia stwierdzili, że może ono zapewnić zarówno łączność, jak i informację nawigacyjną. Początkowo zastosowanie radia w nawigacji było ograniczone do wykonywania namiarów na istniejące radiostacje komunikacyjne, a później także radiofoniczne. Z biegiem czasu rozwinęły się wyspecjalizowane systemy radionawigacyjne. Urządzenia i systemy radionawigacyjne umożliwiają otrzymanie określonych informacji o parametrach nawigacyjnych i mogą być stosowane samodzielnie lub też kompleksowo. W zależności od rodzaju wyposażenia mogą one być autonomiczne lub zależne. Aparatura autonomicznych środków nawigacyjnych jest zainstalowana na pokładzie pojazdu, a określenie parametrów nawigacyjnych odbywa się bez otrzymywania informacji powstałych z wykorzystaniem innych urządzeń radionawigacyjnych. Zależne środki tworzą systemy radionawigacyjne składające się z pokładowego (ruchomego) i naziemnego (zasadniczo stacjonarnego) wyposażenia. Urządzenia i systemy radionawigacyjne, w zależności od zestawu wykonywanych zadań i ich wykorzystania, można scharakteryzować przez: - zasięg działania, czyli największą odległość pomiędzy pojazdem i punktem radionawigacyjnym, w której uzyskuje się jeszcze wymaganą dokładność (według zasięgu działania systemy radionawigacyjne dzieli się na systemy bliskiego (do 800 km), średniego (do 3000 km) i dalekiego (powyżej 3000 km) zasięgu); - dokładność pomiaru parametrów nawigacyjnych, które określa przeznaczenie urządzeń i systemów radionawigacyjnych; - szybkość uzyskiwania danych (co jest szczególnie ważne w lotnictwie i technice rakietowej); - przepustowość, czyli zdolność systemu do jednoczesnego obsługiwania określonej liczby obiektów; - odporność na zakłócenia; - niezawodność; - ekonomiczność; - rozmiary i masa, które mają szczególne znaczenie przy umieszczaniu urządzeń na samolotach i rakietach; - zdolność do pracy w określonych warunkach środowiskowych. 2. Podstawowe pojęcia stosowane w nawigacji Podczas prowadzenia pojazdu i określania jego pozycji stosuje się następujące podstawowe pojęcia: - prędkość pojazdu, która charakteryzuje się przesunięciem jego środka ciężkości w jednostce czasu, - tor ruchu pojazdu, którym jest linia, jaką zakreśla w przestrzeni środek ciężkości pojazdu, - trasa, czyli rzut toru na powierzchnię Ziemi, - kurs, którym jest kąt mierzony w płaszczyźnie poziomej między kierunkiem północnym południka przechodzącego przez środek ciężkości pojazdu i jego podłużną osią, - namiar, który jest kątem mierzonym w płaszczyźnie poziomej między północnym kierunkiem południka przechodzącego przez środek ciężkości pojazdu i kierunkiem na dany punkt orientacyjny, - pozycja w dowolnym czasie, która określa rzut środka ciężkości pojazdu na powierzchnię Ziemi, - pozycja obserwowana, czyli otrzymana na podstawie obserwacji przedmiotów stałych, których położenie jest ściśle określone na mapie lub na podstawie obserwacji ciał niebieskich, - pozycja zliczona, którą jest miejsce pojazdu liczone od ostatniej pozycji obserwowanej, a otrzymane na podstawie znajomości kursu rzeczywistego i przebytej odległości stwierdzonej według przyrządów, z uwzględnieniem oddziaływania sił zewnętrznych (prądów morskich, wiatrów). Zasadniczo pozycję pojazdu określa się w stosunku do powierzchni Ziemi według przyjętego układu współrzędnych. Podczas lotu w przestrzeni kosmicznej współrzędne pojazdu kosmicznego określa się w stosunku do planet i gwiazd, których położenie w przestrzeni jest znane. W celu określenia pozycji pojazdu za pomocą środków technicznych, wyznacza się określone parametry nawigacyjne, jak np. odległość od oznaczonych punktów na Ziemi lub kąty, pod jakimi te punkty są widoczne ze pojazdu; parametry te nie są współrzędnymi geograficznymi. Mierzone parametry nawigacyjne i współrzędne geograficzne są ze sobą związane określonymi równaniami, których graficzne rozwiązania stanowią tzw. linie pozycyjne. Linią pozycyjną nazywa się miejsce geometryczne punktów na powierzchni Ziemi, odpowiadającej stałej wartości mierzonej wielkości, a więc kąta, odległości, różnicy lub sumy odległości. Na przykład linią pozycyjną, czyli miejscem geometrycznym punktów na powierzchni Ziemi, z których pomierzona została w określonym momencie wysokość obserwowanej gwiazdy jest okrąg, którego środkiem jest rzut gwiazdy (punkt podgwiezdny), a promieniem sferycznym odmierzona odległość zenitalna, czyli dopełnienie wysokości. Jedna obserwacja daje tylko jedną linię pozycyjną, dwie różne obserwacje dokonane w jednym momencie dają dwie linie pozycyjne, w których przecięciu znajduje się miejsce obserwacji. Każdy system nawigacyjny charakteryzuje się ściśle określoną linią pozycyjną. Rozpatrzmy główne linie pozycyjne spotykane w systemach nawigacyjnych. Ortodroma jest linią najkrótszej odległości między dwoma punktami na powierzchni kuli. Jak wynika z podstawowych pojęć geometrii, najkrótszą odległością na powierzchni kuli pomiędzy dwoma punktami jest łuk koła wielkiego. Rys 2.1. Ortodroma Jak widać na rysunku 2.1, łuk koła wielkiego przechodzącego przez dwa dane punkty jest nie tylko najkrótszym, ale również jedynym. Wynika stąd wniosek, że przez dwa punkty na powierzchni Ziemi nie leżące na przeciwległych końcach średnicy kuli ziemskiej można przeprowadzić tylko jedną ortodromę. Ortodroma jest więc linią pozycyjną wszystkich punktów, których suma odległości od dwóch punktów danych znajdujących się na niej jest stała i najmniejsza. Linia równych namiarów (lub linia równych azymutów) jest to linia pozycyjna na sferze, mająca tę właściwość, że z każdego punktu tej linii namiar (azymut) na pewien punkt stały jest zawsze taki sam (rys. 2.2). Rys. 2.2. Linie równych namiarów Linia równych odległości jest to linia pozycyjna, której wszystkie punkty znajdują się w jednakowej odległości od danego punktu T (rys. 2.3). Linia ta jest związana z systemami radionawigacyjnymi opartymi na pomiarach odległości. Rys. 2.3. Linie równych odległości Linia równych sum odległości jest to linia pozycyjna, której wszystkie punkty są w takich odległościach od dwóch danych punktów T1 i T2 (rys. 2.4), że sumy tych odległości są wielkością stała. Wykres tej linii na płaszczyźnie przedstawia elipsę, na powierzchni kuli zaś elipsę sferyczną. Rys. 2.4. Linie równych sum odległości Linia równych różnic odległości jest to linia pozycyjna, będąca miejscem geometrycznych punktów, których różnica odległości od dwóch punktów o znanych pozycjach jest stała. Dla obserwatora znajdującego się w dowolnym punkcie R linii pozycyjnej (rys. 2.5) różnica odległości (d1 - d2) od tego punktu do dwóch punktów T1 i T2 (których położenie jest określone) jest stała i równa 2a. W przypadku rozpatrywania zagadnienia na płaszczyźnie omawiana linia pozycyjna jest hiperbolą, a na powierzchni kuli - hiperbolą sferyczną. Rys. 2.5. Linie równych różnic odległości Systemy radionawigacyjne umożliwiające wyznaczanie różnic odległości od dwóch radiostacji znajdujących się w określonych punktach noszą nazwę systemów hiperbolicznych. Wprowadźmy jeszcze pojęcie loksodromy, którą nazywamy drogę pojazdu, przecinającą południki rzeczywiste pod jednakowymi kątami (rys. 2.6). Na małych odległościach różnica drogi według ortodromy i loksodromy jest nieduża i zwykle nie bierze się jej pod uwagę przy obliczaniu drogi według loksodromy. Rys. 2.6. Ortodroma i loksodroma Nawigacja trójwymiarowa opiera się na powierzchniach pozycyjnych. Powierzchnią pozycyjną jest powierzchnia, z której każdego punktu parametr nawigacyjny mierzony w stosunku do określonego obiektu kosmicznego (naturalnego lub sztucznego) ma wartość stałą. W nawigacji lądowej pozycję pojazdu można określić na podstawie dwóch linii pozycyjnych; do określenia pozycji pojazdu w układzie trójwymiarowym należy znać nie mniej niż trzy powierzchnie pozycyjne. Przecięcie się dwóch powierzchni pozycyjnych daje linię pozycyjną, która, przecinając się z trzecią powierzchnię pozycyjną, wyznacza dwa punkty określające przypuszczalną pozycję statku. Przybliżona pozycja pojazdu jest znana, więc występującą niejednoznaczność określenia pozycji łatwo wyjaśnić. 3. Charakterystyka satelitarnych systemów nawigacyjnych Satelitarne systemy radionawigacyjne charakteryzują się następującymi zaletami w porównaniu z klasycznymi systemami radionawigacyjnymi: - globalnością systemów (systemy klasyczne, z wyjątkiem systemu Omega nie mają tej cechy), - dużą i prawie jednakową dokładnością określania pozycji na całym obszarze stosowalności, - niezawodnością od warunków meteorologicznych, - niezawodnością od pory roku i doby, - możliwością przekazywania dodatkowych informacji, nie związanych z nawigacją. Satelitarny system nawigacyjny tworzą następujące elementy: - określona liczba satelitów nawigacyjnych poruszających się dookoła Ziemi po wyznaczonych orbitach; - sieć stacji obserwacyjnych odbierających sygnały nadawane przez urządzenia zainstalowane na satelitach; stacje te mają łączność z centrum sterowania systemem, w którym oblicza się efemerydy satelitów; - środki łączności, służące do przekazywania obliczonych efemeryd satelitów poszczególnym użytkownikom; - autonomiczne urządzenia nawigacyjne, wyznaczające pozycję obiektu. W zależności od rodzaju aparatury radionawigacyjnej systemy satelitarne mogą opierać się na pomiarze odległości, kąta lub na zjawisku Dopplera. Zawsze jednak podstawowym elementem systemu jest znany i określony względem Ziemi tor lotu satelity, na którego podstawie wyznacza się linie pozycyjne. Systemy dopplerowskie opierają się na pomiarze szybkości zmiany odległości od obiektu do satelity, którą określa częstotliwość Dopplera. Przecięcie się powierzchni stożkowej odpowiadającej stałej wartości częstotliwości Dopplera z powierzchnią kuli ziemskiej wyznacza linię pozycyjną, zwaną izodoppą (rys. 3.1). Do określenia pozycji obiektu w układzie trójwymiarowym trzeba wyznaczyć trzy linie pozycyjne, tzn. zmierzyć wartości prędkości satelity względem punktu obserwacji w trzech kolejnych chwilach. Zasada określania pozycji obiektu na podstawie pomiaru częstotliwości Dopplera jest analogiczna do zasady klasycznych hiperbolicznych systemów nawigacyjnych, w których baza jest równa odległości przebywanej przez satelitę w wybranym przedziale czasu. Rys. 3.1. Tworzenie linii pozycyjnej - izodoppy - w satelitarnym dopplerowskim systemie nawigacyjnym Dopplerowskim satelitarnym systemem nawigacyjnym był system Transit opracowany na początku lat sześćdziesiątych na potrzeby amerykańskiej flotylli łodzi podwodnych Polaris. W roku 1968 system ten, po udoskonaleniu, został oddany do użytku cywilnego pod nazwą NNSS (ang. Naval Navigation Satellite System). Szybko stał się on popularnym i niezawodnym środkiem określania pozycji statków morskich w skali całego globu. Średni błąd określenia pozycji wynosi 0,5 mili morskiej w skali globalnej. Systemy odległościowe. Powierzchnia pozycyjna ma postać sfery ze środkiem w punkcie, w którym znajduje się satelita w momencie dokonywania pomiaru odległości i promieniu równym odległości między obiektem i satelitą. Do określenia pozycji obiektu w układzie trójwymiarowym należy wyznaczyć co najmniej trzy powierzchnie pozycyjne (rys. 3.2). Można tego dokonać bądź mierząc w tym samym czasie odległości od trzech różnych satelitów, bądź mierząc trzy odległości do tego samego satelity w różnych momentach. Rys. 3.2. Powierzchnia pozycyjna w postaci sfery (a); przecięcie się dwóch powierzchni pozycyjnych (dwóch sfer) wyznacza linię pozycyjną w postaci okręgu (b); przecięcie się tej linii pozycyjnej z trzecią powierzchnią pozycyjną wyznacza dwa możliwe położenia pojazdu (c); zwykle nie ma kłopotu ze stwierdzeniem, które z tych położeń jest właściwe Pomiar odległości do jednego satelity wyznacza powierzchnię pozycyjną w postaci sfery. Pomiar odległości do drugiego satelity wyznacza drugą powierzchnię pozycyjną, również w postaci sfery. Przecięcie tych powierzchni pozycyjnych wyznacza linię pozycyjną w postaci okręgu. Przecięcie się tej linii pozycyjnej z trzecią powierzchnią pozycyjną, uzyskaną w wyniku pomiaru odległości do trzeciego satelity, wyznacza dwa możliwe położenia pojazdu. Zwykle nie ma kłopotu ze stwierdzeniem, które z tych położeń jest właściwe. 4. Układy współrzędnych W celu sformułowania równań umożliwiających określenie pozycji i prędkości pojazdu na podstawie pomiaru odległości do satelitów należy wybrać odpowiednie układy współrzędnych. Zwykle wektory położenia i prędkości satelity i wektory położenia i prędkości odbiornika nawigacyjnego określa się w kartezjańskich układach współrzędnych. 4.1. Geocentryczny inercyjny układ współrzędnych Geocentryczny inercyjny układ współrzędnych (ang. ECI - Earth-Centered Inertial Coordinate System) jest to kartezjański układ współrzędnych, którego płaszczyzna x-y pokrywa się z płaszczyzną równikową Ziemi, oś x jest stale skierowana ku ustalonemu punktowi na sferze niebieskiej (zwykle jest to punkt równonocy wiosennej), oś z pokrywa się z osią Ziemi i jest skierowana ku biegunowi północnemu, oś y dobiera się tak, aby utworzyć prawoskrętny układ współrzędnych (rys. 4.1). Rys. 4.1. Geocentryczny inercyjny układ współrzędnych (ECI) Układ ECI jest inercyjny w tym sensie, że równania ruchu sztucznych satelitów Ziemi zapisane w tym układzie spełniają niutonowskie prawa ruchu i grawitacji. Pewien kłopot z podaną definicją układu ECI wynika z nieregularności ruchu Ziemi. Wskutek niesferycznego kształtu Ziemi i niejednorodnego rozkładu masy, grawitacyjne oddziaływanie Słońca i Księżyca powoduje przemieszczanie się ziemskiej płaszczyzny równikowej względem sfery niebieskiej. Ponieważ oś x jest określona względem ustalonego punktu na sferze niebieskiej, a oś z - względem ziemskiej płaszczyzny równikowej, to podana wcześniej definicja układu ECI nie zapewnia w rzeczywistości jego inercyjności. Rozwiązaniem tego kłopotu jest zdefiniowanie położenia osi układu współrzędnych w ustalonym momencie czasu, zwanym epoką. Na potrzeby systemu GPS przyjęto położenie osi układu ECI 1 stycznia 2000 roku o godzinie 12.00 czasu UTC (ang. Coordinated Universal Time). Oś x jest skierowana od środka Ziemi ku punktowi równonocy wiosennej, pozostałe osie - zgodnie z wcześniejszym opisem. W ten sposób położenie osi zostało dla danej epoki jednoznacznie ustalone, a więc układ ECI stał się rzeczywiście układem inercyjnym. 4.2. Geocentryczny obracający się wraz z Ziemią układ współrzędnych Do określenia położenia odbiornika nawigacyjnego (GPS) wygodniej jest stosować układ współrzędnych, który obraca się wraz z Ziemią (ang. ECEF - Earth-Centered Earth-Fixed Coordinate System). W takim układzie współrzędnych łatwiej jest wyznaczyć współrzędne geograficzne i wysokość pojazdu. Podobnie jak w układzie ECI, w układzie ECEF płaszczyzna x-y pokrywa się z równikową płaszczyzną Ziemi, oś x jest jednak skierowana na południk Greenwich , a oś y - na południk . Osie x i y obracają się więc zgodnie z obrotem Ziemi i nie opisują ustalonych kierunków w inercjalnej przestrzeni. Oś z jest prostopadła do płaszczyzny równikowej i skierowana ku biegunowi północnemu. W celu określenia pozycji odbiornika GPS należy najpierw dokonać przetworzenia efemeryd satelitów z układu współrzędnych ECI do układu współrzędnych ECEF. W dalszym ciągu nie będziemy się zajmowali problemem przetworzeniem efemeryd satelitów z układu ECI do układu ECEF. Zakładamy więc, że znane są współrzędne satelitów GPS w układzie ECEF. 4.3. Światowy system geodezyjny (WGS-84) Standardowym modelem fizycznym Ziemi stosowanym w systemie GPS jest model opisany w Światowym systemie geodezyjnym WGS-84 (ang. World Geodetic System - 84). W modelu tym rzeczywisty kształt Ziemi aproksymuje się elipsoidą obrotową. Przekroje modelu płaszczyznami równoległymi do płaszczyzny równikowej są kołami. Promień przekroju równikowego wynosi 6378,137 km. Jest to średni równikowy promień Ziemi. Przekroje modelu płaszczyznami normalnymi do płaszczyzny równikowej są elipsami (rys. 4.2). Wielka oś przekroju zawierającego oś z pokrywa się z równikową średnicą ziemi; wielka półoś a ma więc taką samą długość jak średni promień równikowy. Mała półoś przekroju pokazanego na rysunku 9 pokrywa się z biegunową średnicą Ziemi. Mała półoś b ma w modelu WGS-84 długość 6356,7523142 km. Rys. 4.2. Elipsoidalny model Ziemi (przekrój płaszczyzna normalną do płaszczyzny równikowej) Parametry modelu WGS-84: - mimośród (4.1) - spłaszczenie (4.2) Czasem używa się dodatkowego parametru, zwanego drugim mimośrodem (4.3) W celu określenia współrzędnych geodezyjnych: szerokości () i długości () oraz wysokości (h) użytkownika (odbiornika nawigacyjnego GPS). wprowadźmy następujące oznaczenia (rys. X.12). Położenie użytkownika (punkt S) określa wektor przy czym są współrzędnymi użytkownika (odbiornika nawigacyjnego) w układzie współrzędnych ECEF; O jest środkiem Ziemi. Punktem na powierzchni elipsoidy najbliższym względem położenia użytkownika jest punkt N. Prosta wyznaczona przez wektor n normalny do powierzchni elipsoidy wystawiony w punkcie N przecina płaszczyznę równikową w punkcie P. Punkt A jest punktem na równiku najbliższym do punktu P. Długość geodezyjna jest to kąt między użytkownikiem i osią x, mierzony w płaszczyźnie x-y (4.4) przy czym kąty ujemne odpowiadają długości zachodniej. Szerokość geodezyjną wyznacza kąt między wektorem normalnym do powierzchni elipsoidy i jego rzutem na płaszczyznę równikową (kąt NPA na rysunku 4.2). Konwencjonalnie przyjmuje się, że jest dodatnie, jeśli (użytkownik znajduje się na półkuli północnej) i ujemne, jeśli Wysokość geodezyjna h jest równa długości odcinka SN na rysunku 4.2. Obliczona przez odbiornik GPS, stosujący model WGS-84, wysokość geodezyjna może znacznie różnić się od wysokości odczytanej z mapy. Wynika to z różnic między elipsoidą WGS-4 i geoidą (lokalny średni poziom morza). W celu zwiększenia dokładności określenia wysokości odbiornika można stosować modele Ziemi obowiązujące lokalnie, np. European Datum 1950 (ED-50). Wzory umożliwiające określenie współrzędnych geodezyjnych (,,h) użytkownika na podstawie jego współrzędnych w układzie kartezjańskim ECEF zebrano w tabeli 4.1. Tabela 4.1 Obliczenie współrzędnych geodezyjnych na podstawie współrzędnych użytkownika w układzie ECEF (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) (11) (12) (13) (14) (15) Określenie wektora położenia użytkownika na podstawie znajomości jego współrzędnych geodezyjnych (,,h) opisuje wzór (4.5) 5. Orbity sztucznych satelitów Ziemi Ruch sztucznego satelity w polu grawitacyjnym Ziemi można określić na podstawie newtonowskich zasad mechaniki i prawa powszechnego ciążenia. Rozważmy jednorodną kulistą Ziemię o masie m i satelitę o masie ms znajdujące się w odległościach odpowiednio r1 i r2 od początku dowolnie wybranego inercjalnego układu odniesienia (rys. 5.1). Z drugiego Rys. 5.1. Ziemia i satelita w inercjalnym układzie współrzędnych prawa Newtona (iloczyn masy ciała przez jego przyspieszenie jest równy sile działającej na to ciało) wynika, że siły działające na Ziemię i satelitę są opisane równaniami: , (5.1a) . (5.1bb) Prawo powszechnego ciążenia głosi, że siła przyciągania między dwoma dowolnymi ciałami jest wprost proporcjonalna do iloczynu ich mas i odwrotnie proporcjonalna do kwadratu odległości między nimi, zatem , (5.2) przy czym g = 6,67 x 10-11 m3 kg-1 s-2 jest stałą grawitacyjną. Z równań (X.6) i (X.7) wynika, że: ; (5.3a) . (5.3b) Po odjęciu stronami równań (5.3b) i (5.3a) oraz podstawieniu r = r2 - r1 otrzymujemy . (5.4) Masa sztucznego satelity jest nieporównywalnie mała w stosunku do masy Ziemi, możemy więc ją zaniedbać w równaniu (5.4). Otrzymamy wówczas , (5.5) przy czym ? = 3,986013 x 1014 m3 s-2 jest stałą przyciągania Ziemi (masa Ziemi m = 5,975 x 1024 kg). Równanie (X.10) jest znane jako równanie ruchu dwóch ciał. Opisuje ono ruch punktu materialnego w centralnym polu grawitacyjnym. Z pewnym przybliżeniem opisuje ono także ruch satelity Ziemi po orbicie. W 1609 r. Kepler sformułował, na podstawie obserwacji ruchu planet, trzy prawa dotyczące ich orbit. W odniesieniu do orbit sztucznych satelitów Ziemi mają one następującą postać. 1. Prawo Keplera. Orbita sztucznego satelity Ziemi jest elipsą (w szczególnym przypadku okręgiem) i leży w nieruchomej płaszczyźnie przechodzącej przez środek ciężkości Ziemi, który znajduje się w jednym z jej ognisk (w środku okręgu w przypadku orbity kołowej). 2. Prawo Keplera. Promień wodzący satelity (odcinek łączący satelitę ze środkiem ciężkości Ziemi) zakreśla w jednakowych odstępach czasu jednakowe pola. 3. Prawo Keplera. Stosunek kwadratów okresów obiegu satelitów jest równy stosunkowi sześcianów ich średnich odległości od środka ciężkości Ziemi, tzn. sześcianów wielkich półosi ich orbit. Z praw Keplera wynikają trzy równania. 1. Równanie energii , (5.6) przy czym W jest całkowitą energią satelity, a v - jego prędkością. Z równania (5.6) wynika, że całkowita energia satelity nie ulega zmianie w trakcie jego ruchu po orbicie. Oddalaniu się satelity od środka ciężkości Ziemi towarzyszy więc zmniejszenie się jego prędkości, zbliżaniu natomiast - wzrost prędkości. 2. Równanie pól (5.7a) lub . (5.7b) Równania (5.7) są matematycznym zapisem treści drugiego prawa Keplera. Z wektorowej postaci tego równania wynika, że ruch satelity odbywa się w nieruchomej płaszczyźnie przechodzącej przez środek ciężkości Ziemi. Płaszczyznę tę nazywamy płaszczyzną orbity. 3. Równanie Laplace’a , (5.8) przy czym A jest wektorem Laplace’a. Równanie (5.8) określa związek między wektorami r, v i C. Z równania pól (5.7) i równania Laplace’a (5.8) wynika, że orbita ciała poruszającego się w centralnym polu grawitacyjnym jest krzywą stożkową, w której ognisku znajduje się centrum przyciągania. Trajektoria sztucznego satelity Ziemi jest krzywą zamkniętą, więc jego ruch może odbywać się tylko po elipsie lub okręgu, który jest szczególnym przypadkiem elipsy. Ruch po innych krzywych stożkowych jest związany z ucieczką satelity z pola przyciągania Ziemi. W ten sposób dochodzimy do pierwszego prawa Keplera. Rys. 5.2. Orbita sztucznego satelity Ziemi Równanie elipsy w biegunowym układzie współrzędnych (rys. 5.2) ma postać , (5.9) przy czym: - parametr ogniskowy (dodatnia wartość rzędnej wystawionej z ogniska), - mimośród.Kształt orbity zależy od mimośrodu e. Jeśli e = 0, to elipsa przechodzi w okrąg, mówimy wówczas o orbicie kołowej. Jeśli 0 < e < 1, to mamy do czynienia z orbita eliptyczną. Wartości ? = 0 odpowiada największe zbliżenie satelity do środka ciężkości Ziemi (perigeum), wartości ? = ? natomiast odpowiada największe oddalenie satelity od środka Ziemi (apogeum). Kąt ? liczymy od perigeum orbity w kierunku ruchu satelity. W astronomii kąt ? nazywa się anomalią prawdziwą. Linię łączącą punkty apogeum i perigeum nazywamy linią apsyd. Posługując się znanymi zależnościami geometrii analitycznej, możemy zapisać kilka użytecznych zależności wiążących parametry orbity eliptycznej: - odległość perigeum od środka ciężkości Ziemi (promień perigeum) , (5.10) - odległość apogeum od środka ciężkości Ziemi (promień apogeum) , (5.11) - duża półoś orbity , (5.12) - mała półoś orbity , (5.13) - mimośród , (5.14) - parametr ogniskowy . (5.15) Kształt i rozmiary orbity eliptycznej określają w pełni dowolne dwa z wymienionych parametrów. Bieżącą wartość promienia wodzącego w czasie ruchu satelity po orbicie opisuje równanie (5.10). Podanie jawnej zależności promienia wodzącego od czasu nie jest możliwe. W związku z tym wprowadza się pojęcie anomalii mimośrodowej E, odpowiadającej ruchowi hipotetycznego satelity po orbicie kołowej o promieniu równym dużej półosi orbity rzeczywistej (rys. 5.2), związanej z anomalią prawdziwą równaniem . (5.16) Anomalia mimośrodowa jest związana z czasem równaniem Keplera , (5.17) przy czym: - anomalia średnia, (5.18) - moment przejścia satelity przez perigeum. Okres obiegu satelity po orbicie można wyznaczyć z równania (5.17) po podstawieniu E = 2?, otrzymujemy wówczas . (5.19) Z równania (5.19) wynika trzecie prawo Keplera . (5.20) Prędkość satelity na orbicie jest opisana wzorem . (5.21) Można ją rozłożyć na dwie składowe: - styczną , (5.22a) - radialną . (5.22b) W apogeum i perigeum znika składowa radialna prędkości satelity; składowa styczna przyjmuje odpowiednio wartości: , (5.23a) . (5.23b) W przypadku orbity kołowej składowa radialna prędkości satelity nie występuje w ogóle, a składowa styczna jest wyrażona wzorem , (5.24) przy czym r = p jest promieniem orbity. Elementy orbity. Położenie orbity w przestrzeni, jej rozmiary oraz położenie satelity na orbicie, określa sześć parametrów, zwanych elementami orbity. W ogólnym przypadku płaszczyzna orbity przecina się z płaszczyzną równika ziemskiego (rys. 5.3), przy czym ślad przecięcia nosi nazwę linii węzłów. Punkt, w którym satelita przechodzi przez płaszczyznę równikową poruszając się z południa na północ, nazywamy węzłem wstępującym; diametralnie przeciwny punkt - węzłem zstępującym. Położenie węzła wstępującego określone przez kąt ? mierzony od prostej łączącej środek ciężkości Ziemi z punktem równonocy wiosennej w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara, patrząc z bieguna północnego, jest pierwszym elementem orbity. Punkt równonocy wiosennej jest punktem przecięcia się ekliptyki z równikiem niebieskim, odpowiadający przejściu Słońca przez punkt Barana (około 21 marca). Kąt ? nazywamy rektascencją węzła wstępującego; może on przyjmować wartości z przedziału < 0°, 360° > . Drugim elementem orbity jest inklinacja, tzn. kąt i między płaszczyzną równika ziemskiego i płaszczyzną orbity, mierzony od płaszczyzny równikowej w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara, przez obserwatora patrzącego od strony węzła wstępującego. Kąt ten może zawierać się w przedziale < 0°, 180°>. W zależności od wartości inklinacji, orbity dzielimy na równikowe (i = 0), biegunowe (i = 90°) i nachylone. Orbity nachylone mogą być proste (0°< i < 90°), gdy kierunek ruchu satelity jest zgodny z kierunkiem obrotu Ziemi, i przeciwne (90° < i < 180°), gdy kierunek ruchu satelity jest przeciwny względem kierunku obrotu Ziemi. Kolejnym elementem orbity jest argument perigeum, tzn. kąt ? mierzony w płaszczyźnie orbity w kierunku ruchu satelity od węzła wstępującego do perigeum. Argument perigeum może zmieniać się w granicach od 0° do 360°. Satelity z apogeum na półkuli północnej mają argument w przedziale 180° ? ? ? 360°. Rektascencja węzła wstępującego ?, inklinacja i oraz argument perigeum ? określają położenie orbity w przestrzeni. Kształt i rozmiary orbity określają: duża półoś orbity a i mimośród e. Szóstym elementem orbity jest czas tp przejścia satelity przez perigeum, łączący położenie orbity w przestrzeni z położeniem satelity na orbicie. Rys. 5.3. Elementy orbity sztucznego satelity Ziemi Rektascencja węzła wstępującego ?, inklinacja i, argument perigeum ?, duża półoś orbity a, mimośród e i czas przejścia satelity przez perigeum tp są keplerowskimi elementami orbity. Równanie (5.5) nie opisuje dokładnie ruchu sztucznego satelity Ziemi ponieważ Ziemia nie jest kulista i nie ma równomiernego rozkładu masy. Niech V przedstawia rzeczywisty potencjał grawitacyjny Ziemi w dowolnym punkcie przestrzeni, równanie (5.5) można wówczas zapisać w postaci (5.25) przy czym W zagadnieniu dwóch ciał V = /r, więc Równanie (5.25) jest zatem rzeczywiście uogólnieniem równania (5.5), opisującego ruch punktu materialnego w centralnym polu grawitacyjnym. Rzeczywiste pole grawitacyjne Ziemi modeluje się za pomocą szeregu harmonicznych sferycznych. Pole w punkcie P o współrzędnych (r,,) opisuje wyrażenie (5.26) przy czym: r - odległość punktu P od środka Ziemi (początku układu współrzędnych); - geocentryczna szerokość punktu P (kąt między wektorem r i płaszczyzną x-y; - wzniesienie proste punktu P; a - średni równikowy promień Ziemi (6378,137 km w modelu WGS-84); - stowarzyszona funkcja Legendre'a; - kosinusowy współczynnik harmonicznej sferycznej stopnia l, rzędu m; - sinusowy współczynnik harmonicznej sferycznej stopnia l, rzędu m. Zauważmy, że pierwszy człon po prawej stronie równania (5.26) reprezentuje centralne pole grawitacyjne. Zauważmy również, że szerokość geocentryczna w równaniu (5.26) jest różna od szerokości geodezyjnej określonej w . W systemie WGS-84 określono sferyczne współczynniki harmoniczne aż do osiemnastego stopnia i rzędu. Dodatkowo na satelity nawigacyjne działają następujące siły: pole grawitacyjne tzw. trzecich ciał, przede wszystkim Słońca i Księżyca, ciśnienie promieniowania słonecznego, pływy ziemskie, odgazowanie (powolne uwalnianie się gazów ze struktury satelity), manewry orbitalne. Wpływ tych wszystkich sił uwzględnia się przez wprowadzenie do równania (5.25) członu korekcyjnego w postaci wektora , tak więc równanie ruchu satelity przyjmuje postać (5.27) W różny sposób można opisać orbitalne parametry satelity. Najbardziej oczywistym sposobem jest określenie wektora pozycyjnego i wektora prędkości w pewnym momencie odniesienia i rozwiązanie równania ruchu (5.27) w celu określenia wektora pozycyjnego i wektora prędkości satelity w dowolnym czasie t. Tak postawione zadanie może być rozwiązane analitycznie tylko dla zagadnienia dwóch ciał; uwzględnienia perturbacji wprowadzanych przez inne czynniki - to znaczy rozwiązanie równania (5.27) - można dokonać tylko numerycznie. W równaniu potencjałowym (5.26) dominującym składnikiem jest centralne pole grawitacyjne. Można więc rozwiązanie równania ruchu satelity w rzeczywistych warunkach (5.27) opisać za pomocą sześciu klasycznych elementów keplerowskich, z tym że nie będą one niezależne od czasu. Takie elementy orbity nazywamy ściśle stycznymi. 6. System nawigacji satelitarnej NAVSTAR GPS 6.1. Krótka charakterystyka Na początku lat sześćdziesiątych kilka amerykańskich organizacji rządowych, w tym organizacje wojskowe, Krajowa Administracja Aeronautyki i Kosmonautyki (National Aeronautics and Space Agency - NASA), Departament Transportu (Department of Transportation - DOT) były zainteresowane zbudowaniem satelitarnego systemu nawigacyjnego. Nowemu systemowi nawigacyjnemu postawiono następujące wymagania: globalny zasięg, praca ciągła w dowolnych warunkach pogodowych, zdolność do obsługiwania pojazdów o dużej dynamice ruchu, duża dokładność określania pozycji. Dopplerowski system nawigacji satelitarnej Transit, który wszedł w fazę operacyjną w roku 1964, był powszechnie akceptowany do określania pozycji pojazdów o niezbyt dużej dynamice ruchu. System ten umożliwiał określenie pozycji statku znajdującego się na równiku średnio raz na 110 minut, przy czym określenie pozycji trwało od 10 do 15 minut. Możliwa częstość określania pozycji statku wzrastała ze wzrostem szerokości geograficznej, np. przy szerokości można było określać pozycję statku raz na 30 minut. Mankamenty systemu Transit spowodowały, że Marynarka Amerykańska (US Navy) była zainteresowana udoskonaleniem systemu Transit lub budową nowego systemu nawigacji satelitarnej o wymienionych wcześniej właściwościach. Różne odmiany systemu Transit proponowało Laboratorium Fizyki Stosowanej Uniwersytetu Johna Hopkinsa (Johns Hopkins University Applied Physics Laboratory). Laboratorium Badawcze Marynarki (Naval Research Laboratory - NRL) pracowało nad programem satelitarnej precyzyjnej służby czasu, zwanym programem Timation. Program ten rozszerzono o możliwość pomiaru odległości do satelitów, dzięki temu system Timation mógł służyć do dwuwymiarowego określania pozycji statków. W tym samym czasie, gdy Marynarka Amerykańska pracowała nad udoskonaleniem systemu Transit i nad programem Timation, Amerykańskie Wojka Lotnicze (US Air Force) przedstawiły koncepcję satelitarnego systemu nawigacyjnego pod nazwą System 621B. Satelity tego systemu, w liczbie od 15 do 20, miały poruszać się po eliptycznych orbitach o nachyleniu Do pomiaru odległości do satelitów proponowano zastosować kluczowanie fazy sygnału nośnego za pomocą ciągu pseudolosowego. System 621b miał zapewnić trójwymiarowe określanie pozycji w skali całego globu w dowolnych warunkach meteorologicznych. Koncepcję systemu testowano za pomocą tzw. pseudolitów, tzn. stacji naziemnych nadających takie same sygnały, jakie miały nadawać satelity. Sygnały te były odbierane przez latające samoloty, które na ich podstawie określały swoje pozycje. Również Amerykańska Piechota (US Army) prowadziła badania nad wyborem przyszłego systemu nawigacji satelitarnej. Wynikiem tych badań było stwierdzenie, najlepszym rozwiązaniem jest system odległościowy z pomiarem odległości na zasadzie rozpraszania widma sygnału nośnego za pomocą ciągu pseudolosowego. W roku 1969 Biuro Sekretarza Obrony (The Office of the Secretary of Defence - OSD) ustanowiło program budowy obronnego systemu nawigacji satelitarnej (Defence Navigation Satellite System - DNSS), którego zadaniem było połaczenie dotychczasowych badań prowadzonych przez różne organizacje i zbudowanie jednego - służącego wszystkim - systemu nawigacji satelitarnej. Powstała w ten sposób koncepcja systemu NAVSTAR GPS (NAVSTAR Global Positioning System),który powinien zaspokoić potrzeby wszystkich użytkowników. Prace projektowe trwały do 1979 r. Pierwszego satelitę umieszczono na orbicie w lutym 1978 r. System jest obecnie w fazie operacyjnej i spełnia wymagania postawione mu na początku lat 60. Zapewnia on ciągłe, trójwymiarowe określanie pozycji i prędkości użytkownika z dużą precyzją w skali globalnej, niezależnie od warunków meteorologicznych, oraz służbę czasu - (ang. UTC - Coordinated Universal Time). Konstelacja GPS składa się z 24 satelitów nawigacyjnych rozmieszczonych równomiernie na sześciu kołowych orbitach podsynchronicznych nachylonych pod kątem . Krążąc na wysokości około 20183 km nad powierzchnią Ziemi satelity wykonują dwa obroty na dobę. Bez przerwy nadają one informację nawigacyjną w dwóch kanałach L1 (częstotliwość 1575,42 MHz) i L2 (częstotliwość 1227,60 MHz). Częstotliwość obu sygnałów nośnych, a także sygnały zegarowe sterujące generatory ciągów pseudolosowych, są uzyskiwane z tego samego wzorca atomowego o częstotliwości 10,23 MHz. Maksymalna niestabilność wzorca wynosi 10-12 na dobę. Rys. 6.1. Widmo energetyczne na wyjściu nadajnika satelitowego: wyraźnie widać dużą gęstość widmową sygnału kluczowanego kodem C/A w kanale L1 i małą gęstość widmową sygnału kluczowanego kodem P w kanałach L1 i L2 Sygnały nośne obu kanałów są rozpraszane za pomocą specjalnych binarnych kodów pseudolosowych (rys. 6.1). Mamy więc do czynienia z systemem szerokopasmowym z kluczowaniem fazy przebiegu nośnego. W systemie stosuje się dwa kody: standardowy C/A (ang. Coarse/Acquisition lub Clear/Acquisition) zapewniający powszechnie dostępną służbę określania pozycji SPS (ang. Standard Positioning Service),i precyzyjny P, zapewniający precyzyjną służbę określania pozycji PPS (ang. Precise Positioning Service), dostępną tylko dla wojskowych i wybranych rządowych organizacji USA. Rys. 6.2. Generator ciągów Golda Kod C/A jest krótkim kodem, zawiera on 1023 bity, generowane z szybkością 1,023 Mb/s. Kod C/A powtarza się co milisekundę. Każdy satelita nadaje inny ciąg kodowy wybrany z rodziny 1023 ciągów Golda (rys. 6.2) w taki sposób, aby zapewnić możliwie małą korelację wzajemną między ciągami nadawanymi przez poszczególne satelity. Dzięki temu maleją zakłócenia interferencyjne oraz ułatwia się identyfikację satelity i synchronizację odbiornika. Służba SPS została - w sensie operacyjnym - uruchomiona w grudniu 1993 roku, kiedy stały się dostępne 24 satelity nawigacyjne prototypowe i operacyjne pierwszej generacji. Błąd określenia pozycji za pomocą kodu C/A nie przekracza 100 m (95%) w płaszczyźnie poziomej i 133 m (95%) w płaszczyźnie pionowej. Oznacza to, że 95% wyznaczeń pozycji w ustalonym punkcie mieści się wewnątrz okręgu o promieniu 100 m w płaszczyźnie poziomej i 133 m w płaszczyźnie pionowej. Błąd ten jest w głównej mierze spowodowany celowym wprowadzeniem przez Departament Obrony USA (ang. Department of Defence - DOD) zakłóceń do efemeryd i zegarów satelitów nawigacyjnych. Działanie to określa się jako wybiórczą dostępność (ang. Selective Availability - SA). Wybiórczą dostępność wprowadzono 25 marca 1990 r. Można się spodziewać, że DOD zrezygnuje ze stosowania wybiórczej dostępności po roku 2000. Błąd określenia czasu UTC nie przekracza 340 ns (95%). Kod P jest bardzo długim kodem, okres powtarzania wynosi 267 dób. Ciąg kodowy P jest generowany z szybkością 10,23 Mb/s. Każdemu satelicie przypisano odcinek tego kodu o długości jednego tygodnia. O północy z soboty na niedzielę generatory ciągu kodowego na satelitach rozpoczynają cykl pracy od początku. Sygnały nośne w obu kanałach są modulowane (kluczowane) ciągiem P, ciągi C/A występują tylko w kanale L1. Dzięki krótkiemu okresowi kodu C/A odbiornik łatwo osiąga synchroniczną pracę. Po zsynchronizowaniu się odbiornika z kodem C/A można przejść do śledzenia kodu P. Kod C/A ułatwia więc synchronizację startową. Bezpośrednie zsynchronizowanie odbiornika z kodem P wymagałoby niesłychanie długiego czasu. Błąd określenia pozycji za pomocą kodu P wynosi 22 m (95%) w płaszczyźnie poziomej i 27,7 m (95%) w płaszczyźnie pionowej. Błąd określenia czasu nie przekracza 200 ns (95%), a prędkości - 0,2 m/s (95%). Nad prawidłową pracą systemu czuwa operacyjny segment sterowania OCS (ang. Operational Control Segment). Zapewnia on utrzymanie satelitów na ustalonych pozycjach orbitalnych, monitoruje stan baterii słonecznych, poziom akumulatorów itp. OCS kontroluje stan zegarów satelitowych, uaktualnia efemerydy i almanach raz na dobę lub w miarę potrzeby. OCS składa się z Centralnej Stacji Sterowania MCS (ang. Master Control Station) w Colorado Springs i kilku odległych stacji monitorujących RMS (ang. Remote Monitor Station). 6.2. Konstelacja GPS Konstelacja GPS składa się z 24 satelitów nawigacyjnych rozmieszczonych na sześciu kołowych orbitach podsynchronicznych, po cztery satelity na każdej orbicie (rys. 6.3). Orbity są równomiernie rozmieszczone wzdłuż równika, co 600. Inklinacja wszystkich orbit jest jednakowa i wynosi 550. Krążąc na wysokości około 20183 km nad powierzchnią Ziemi satelity wykonują dwa obroty na dobę syderyczną. Rysunek 6.4 przedstawia rzut płaski konstelacji z godziny 00.00 1 lipca 1993 roku (UTC). Każda orbita została "rozcięta" i "ułożona" na płaszczyźnie. Podobnie postąpiono z równikiem ziemskim. Nachylenie odcinków reprezentujących orbity odpowiada ich inklinacjom, równym 550. Położenie orbit względem Ziemi opisują rektascencje węzłów wstępujących. Położenie satelitów na orbitach określają anomalie średnie. Rozwój satelitów nawigacyjnych GPS odbywał się w kilku fazach, poczynając od połowy lat 70. i jest ciągle kontynuowany. Satelity opracowane w poszczególnych fazach nazywa się blokami. Blok I obejmował satelity prototypowe, których zadaniem było sprawdzenie słuszność koncepcji i ocenienie przydatności systemu GPS. Satelity tego bloku były umieszczane na orbitach w latach 1978 1985. Jesienią 1995 roku wyłączono z ruchu ostatniego satelitę prototypowego. Blok II obejmuje pierwsze satelity produkcyjne, blok IIA - udoskonalone satelity produkcyjne. Są one obecnie używane jako satelity operacyjne. Blok IIR obejmuje satelity uzupełniające(rys. 6.5), będą one umieszczane na orbitach w latach 1997 - 2004. Po roku 2004 przewiduje się wprowadzenie bloku IIF. Rys. 6.3. Konstelacja satelitów GP Rys. 6.4. Rzut płaski konstelacji satelitów GPS Rys. 6.5. Satelita GPS z bloku IIR Wyposażenie nawigacyjne satelitów GPS (rys. 6.6) zapewnia odbiór danych z OCS, komunikację między satelitami (tylko satelity bloków IIR i IIF) oraz nadawanie sygnałów nawigacyjnych do użytkowników. Sygnały telemetryczne, rezultaty śledzenia satelitów i sygnały telesterowania są gromadzone w pamięci komputera pokładowego, który wykorzystuje je odpowiednio do przygotowania informacji nawigacyjnej. Na pokładzie każdego satelity znajdują się dwa cezowe i dwa rubidowe zegary atomowe (satelity bloku IIR są wyposażone w jeden cezowy i dwa rubidowe zegary atomowe). Jeden z tych zegarów jest traktowany jako podstawowy i jest odniesieniem czasu i częstotliwości dla wszystkich urządzeń nawigacyjnych. Pozostałe zegary stanowią redundancję. Generatory kodów pseudolosowych generują kody C/A i P, do których dodaje się modulo 2 informację nawigacyjną, a następnie doprowadza do nadajników pasma L. Nadajniki te tworzą sygnały o rozproszonym widmie w kanałach L1 i L2, które są następnie wypromieniowane w kierunku Ziemi za pomocą odpowiednich anten. Rys. 6.6. Wyposażenie nawigacyjne satelity GPS 6.3. Informacja nawigacyjna Każdy satelita nadaje w obu kanałach jednakową informację nawigacyjną, umożliwiającą użytkownikowi systemu dokładne określenie położenia satelity. Informacja nawigacyjna zawiera 1500 bitów i jest przesyłana z szybkością 50 b/s. Długość ramki zawierającej informację nawigacyjną wynosi więc 30 s. Ramka jest podzielona na 5 subramek, każda o długości 6 s (rys. 6.7). Każda subramka zawiera 10 słów trzydziestobitowych. Pierwsze słowo (TLM) zawiera informacje telemetryczne, drugie (HOW - ang. Hand over Word) - umożliwia synchronizację odbiornika z kodem P. Pozostałe osiem słów w każdej subramce są informacjami nawigacyjnymi przeznaczonymi dla użytkownika. Blok 1 zawiera dane umożliwiające korektę czasu, ze względu na dryf generatorów pokładowych, a także ze względu na opóźnienie fali w jonosferze. Bloki 2 i 3 zawierają efemerydy satelity nadającego informację (tab. 6.1). Blok 4 jest wykorzystywany do przesyłania informacji alfanumerycznej. Blok 5 (almanach) zawiera przybliżone informacje o położeniu pozostałych satelitów. Informacje te nie mieszczą się w jednej subramce, do przesłania pełnej informacji wykorzystuje się 19 kolejnych ramek. Almanach powtarza się więc co 570 s. Rys. 6.7. Organizacja ramki informacji nawigacyjnej: TLM - informacja telemetryczna, HOW (ang. Hand over Word) - synchronizacja kodu P Tabela 6.1 Efemerydy satelitów GPS Czas odniesienia Pierwiastek kwadratowy z wielkiej półosi Mimośród Inklinacja (w momencie ) Rektascencja węzła wstępującego (w epokach tygodniowych) Argument perigeum (w momencie ) Anomalia średnia ( w momencie ) Szybkość zmiany inklinacji Szybkość zmiany rektascencji węzła wstępującego Korekcja średniego ruchu Kosinusowy współczynnik korekcyjny dla argumentu szerokości Sinusowy współczynnik korekcyjny dla argumentu szerokości Kosinusowy współczynnik korekcyjny dla promienia orbity Sinusowy współczynnik korekcyjny dla promienia orbity Kosinusowy współczynnik korekcyjny dla inklinacji Sinusowy współczynnik korekcyjny dla inklinacji 6.4. Określenie pozycji użytkownika System GPS jest systemem odległościowym. Określenie pozycji użytkownika polega na pomiarze odległości do wybranych satelitów nawigacyjnych i wyznaczenie powierzchni nawigacyjnych w postaci sfer, których przecięcie się jest poszukiwaną pozycją. Pomiar odległości od odbiornika nawigacyjnego (użytkownika) do satelity nawigacyjnego odbywa się poprzez pomiar czasu propagacji fali elektromagnetycznej na trasie satelita - odbiornik nawigacyjny. Rys. 6.8. Wektor pozycyjny użytkownika u, wektor pozycyjny satelity nawigacyjnego s w układzie współrzędnych ECEF oraz wektor odległości r między użytkownikiem i satelitą Tabela 6.2 Obliczanie współrzędnych satelity GPS w układzie ECEF (1) Wielka półoś (2) Skorygowany ruch średni (3) Upływ czasu od epoki efemeryd (4) Anomalia średnia (5) Anomalia mimośrodowa (rozwią-zanie iteracyjne względem )(6) Anomalia rzeczywista (7) Argument szerokości (8) Argument korekcji szerokości (9) Korekcja promienia (10) Korekcja inklinacji (11) Skorygowany argument szerokości (12) Skorygowany promień (13) Skorygowana inklinacja (14) Skorygowana rektascencja węzła (15) (16) (17) Współrzędna x w układzie ECEF (18) Współrzędna y w układzie ECEF (19) Współrzędna z w układzie ECEF Rys. 6.8. Pomiar czasu propagacji fali elektromagnetycznej na trasie satelita nawigacyjny - odbiornik poprzez określenie maksimum funkcji korelacji wzajemnej ciągu pseudolosowego generowanego na satelicie i repliki tego kodu wytwarzanego w odbiorniku nawigacyjnym Na rysunku 6.7 pokazano użytkownika, którego położenie określa w układzie ECEF wektor pozycyjny u (nieznany) o składowych i satelitę nawigacyjnego, którego położenie w tym samym układzie współrzędnych określa wektor pozycyjny s (znany po zdekodowaniu informacji nawigacyjnej, patrz tabela X.3) o składowych ; odległość od użytkownika do satelity nawigacyjnego opisuje wektor r. Między wektorami r, s, i u zachodzi związek (6.1) Moduł wektora odległości (6.2) jest znany na podstawie pomiaru czasu propagacji fali elektromagnetycznej. Pomiar czasu propagacji fali elektromagnetycznej na trasie satelita - użytkownik ilustruje rysunek 6.8. Charakterystyczny element sygnału pseudolosowego zostaje wypromieniowany z satelity w momencie . Element ten dociera do odbiornika nawigacyjnego w momencie , po upływie t sekund potrzebnych na przebycie przez falę elektromagnetyczną odległości r. W odbiorniku nawigacyjnym wyznacza się maksimum funkcji korelacji wzajemnej ciągu pseudolosowego nadawanego przez satelitę i repliki tego ciągu odtworzonej w odbiorniku. Położenie tego maksimum wyznacza czas propagacji fali t. Gdyby zegar satelity i zegar odbiornika były zsynchronizowane z czasem systemowym, to - po pomnożeniu t przez prędkość rozchodzenia się fal elektromagnetycznych c - otrzymalibyśmy odległość geometryczną odbiornika nawigacyjnego od satelity Odległość geometryczna = = ct, (6.3) przy czym: - czas systemowy, w którym sygnał nawigacyjny został wypromieniowany z satelity; - czas systemowy, w którym sygnał nawigacyjny dotarł do odbiornika nawigacyjnego. Rys. 6.9. Zależności czasowe przy pomiarze odległości do satelity GPS: - czas systemowy, w którym sygnał nawigacyjny został wypromieniowany z satelity; - czas systemowy, w którym sygnał nawigacyjny dotarł do odbiornika użytkownika; t - przesunięcie czasu zegara na satelicie względem czasu systemowego; - przesunięcie czasu zegara w odbiorniku użytkownika względem czasu systemowego; - odczyt zegara satelitowego w momencie, w którym sygnał nawigacyjny został wypromieniowany z satelity; - odczyt zegara w odbiorniku użytkownika w momencie, w którym dotarł do niego sygnał nawigacyjny W rzeczywistości satelity są wyposażone w bardzo stabilne zegary atomowe, które jednak nie są zsynchronizowane z czasem systemowym. Zegary satelitowe wykazują więc pewne przesunięcie ?t w stosunku do czasu systemowego (przyśpieszenie jest dodatnie, opóźnienie - ujemne). Zegar w odbiorniku nawigacyjnym nie jest również zsynchronizowany z czasem systemowym; występuje przesunięcie czasu użytkownika względem czasu systemowego. Zależności czasowe występujące podczas pomiaru czasu propagacji fali elektromagnetycznej w systemie GPS ilustruje rysunek 6.9. W rzeczywistości w wyniku określenia maksimum funkcji korelacji wzajemnej nie mierzymy czasu t, odpowiadającego odległości geometrycznej między satelitą i odbiornikiem nawigacyjnym, lecz czas t + . Przesunięcie czasu zegara na satelicie względem czasu systemowego t jest mierzone przez OCS i wprowadzane do informacji nawigacyjnej. Odbiornik nawigacyjny może więc dokonać odpowiedniej korekty. Pozostaje jednak przesunięcie czasu zegara w odbiorniku użytkownika względem czasu systemowego. Odbiornik nawigacyjny mierzy więc nie czas t, lecz czas t + . Jeśli ten czas pomnożymy przez prędkość rozchodzenia się fali elektromagnetycznej, to nie otrzymamy odległości geometrycznej między satelitą i odbiornikiem nawigacyjnym, lecz tzw. pseudoodległość Pseudoodległość = c = c(t + .) = r + c. (6.5) Określenie pozycji użytkownika w układzie ECEF wymaga więc wyznaczenia trzech składowych wektora pozycyjnego użytkownika oraz różnicy . między czasem lokalnym użytkownika i czasem systemowym. Rozwiązanie tak postawionego zadania nawigacyjnego wymaga pomiaru pseudoodległości co najmniej do czterech satelitów nawigacyjnych i rozwiązania następującego układu równań (6.6) W formie rozwiniętej układ równań (6.6) ma postać (6.7a) (6.7b) (6.7c) (6.7d) przy czym są współrzędnymi czterech satelitów nawigacyjnych w układzie ECEF. Rozwiązania układu nieliniowych równań (6.7) można dokonać w trojaki sposób: (1) znaleźć rozwiązanie w formie zamkniętej, (2) zastosować technikę iteracyjną po wcześniejszej linearyzacji układu, (3) zastosować filtrację Kalmana. W metodzie iteracyjnej zakładamy, że znane jest wstępne oszacowanie położenia użytkownika i przesunięcia czasu . Rozwijamy wyrażenia na pseudoodległości w szereg Taylora w otoczeniu przybliżonego położenia użytkownika i zachowujemy tylko człony liniowe; otrzymujemy wówczas układ czterech równań liniowych (6.8) j = 1,2,3,4; w którym: j = 1,2,3,4. Po rozwiązaniu układu równań (6.8) otrzymuje się nowe przybliżenie pozycji i czasu użytkownika: (6.9a) (6.9b) (6.9c) (6.9d) Proces iteracyjny można powtarzać wielokrotnie. Zbieżność procesu iteracji i dokładność otrzymanych wyników zależą od tego, jak dobrze dokonano oszacowania wstępnego położenia i czasu użytkownika. Układ równań (6.9) można zapisać w postaci macierzowej = Hx, (6.10) w której: ; x Formalnie rozwiązanie równania macierzowego można zapisać w postaci x = . (6.11) Współczesne odbiorniki nawigacyjne są odbiornikami wielokanałowymi (nawet do dwunastu kanałów). Odbiorniki te umożliwiają śledzenie większej liczby niż czterech satelitów (jeśli są widoczne). Prowadzi to do nadokreślongo układu równań dla pseudoodległości, który rozwiązuje się metodą najmniejszych kwadratów. W ten sposób można zwiększyć dokładność określenia pozycji użytkownika. Macierz H ma wówczas postać , (6.12) przy czym N – liczba satelitów, do których wykonano pomiar odległości. Residuum . (6.13) Minimum kwadratu residuum . (6.14) Poprawka . (6.15) 6.5. Błąd określenia pozycji użytkownika Pomiar pseudoodległości jest obarczony różnymi błędami: niestabilności zegara satelity, perturbacjami w ruchu satelity, błędami w prognozowaniu efemeryd, opóźnieniem fali elektromagnetycznej w jonosferze i troposferze, propagacją wielodrogową, szumem termicznym odbiornika. Szczególnym rodzajem błędu jest tzw. wybiórcza dostępność SA (ang. Selective Availability). Jest to wprowadzany świadomie przez DOD błąd w prognozowaniu efemeryd satelitów oraz błąd w określeniu czasu systemowego. Selektywną dostępność stosowano od 25 marca 1990 r. do 30 kwietnia 2000 r. tylko w standardowej służbie określania pozycji (kod C/A). Wartości różnych błędów podano w tabeli 6.3. Jest to jednosigmowy błąd określenia pseudoodległości wyrażony w metrach. Pierwiastek kwadratowy z sumy kwadratów błędów cząstkowych określa całkowity błąd systemowy określenia pseudoodległości UERE (ang. User Equivalent Range Error). Tabela 6.3. Budżet błędu określania pseudoodległosci w systemie GPS Błąd jednosigmowy [m] Segment Źródło błędu PPS SPS z SA SPS bez S.A. Kosmiczny Niestabilność zegara satelity Perturbacje ruchu satelity Dostęp selektywny Inne 3,0 1,0 - 0,5 3,0 1,0 32,3 0,5 3,0 1,0 - 0,5 Sterowanie Błąd predykcji efemeryd Inne 4,2 0,9 4,2 0,9 4,2 0,9 Użytkownik Opóźnienie jonosferyczne Opóźnienie troposferyczne Szum termiczny i rozdzielczość odbiornika Propagacja wielodrogowa Inne 2,3 2,0 1,5 1,2 0,5 5,0 1,5 1,5 2,5 0,5 5,0 1,5 1,5 2,5 0,5 Błąd całkowity UERE 6,5 33,3 8,0Błąd UERE mówi tylko o dokładności pomiaru pseudoodległości. Błąd określenia pozycji użytkownika zależy jeszcze od rozmieszczenia satelitów nawigacyjnych na firmamencie w stosunku do użytkownika. Wpływ rozmieszczenia satelitów na dokładność określenia pozycji dla przypadku dwuwymiarowego ilustruje rys. 6.10. Gdy satelity znajdują się blisko siebie, wówczas błąd określenia pozycji jest duży. Błąd określenia pozycji użytkownika w systemie GPS można scharakteryzować następującym wyrażeniem (Błąd określenia pozycji) = = (Błąd pomiaru pseudoodległości) (Współczynnik geometryczny) (6.16) Za błąd pomiaru pseudoodległości można przyjąć UERE, który jest gaussowską zmienną losową o wartości średnie równej 0 i o odchyleniu standardowym (tab. 6.3). Współczynnik określa wzrost błędu określenia pozycji ze względu układ satelitów nawigacyjnych względem użytkownika (rys. 6.10). Zwykle mówi się o geometrycznym zmniejszeniu dokładności określenia pozycji użytkownika GDOP (ang. Geometric Diulution of Precision). Z najlepszym rozmieszczeniem satelitów mamy do czynienia wówczas, gdy jeden z satelitów znajduje się w zenicie nad użytkownikiem, a pozostałe trzy możliwie nisko nad horyzontem rozmieszczone równomiernie co 120. Rys. 6.10. Wyjaśnienie wpływu rozmieszczenia satelitów na dokładność określenia pozycji użytkownika (przypadek dwuwymiarowy) Na ogół rozróżnia się błąd określenia pozycji w płaszczyźnie pionowej i poziomej. Błąd określenia pozycji w płaszczyźnie pionowej dz ma rozkład N(0, VDOP), tzn. rozkład normalny z zerową wartością średnią i odchyleniem standardowym VDOP, przy czym VDOP (ang. Vertical Dilution of Precision) jest geometrycznym zmniejszeniem dokładności w płaszczyźnie pionowej. Statystycznie błąd określenia pozycji w płaszczyźnie pionowej wyraża się zależnością (6.17) w której UERE jest zmienną losową o rozkładzie N(0, ). Odchylenie standardowe zmiennej losowej dz (6.18) Rozkład gaussowski charakteryzuje się tym, że w przedziale o sszerokości 1 względem wartości średniej znajduje się 68% wyników pomiarów. W przybliżeniu 95% wyników pomiarów mieści się w przedziale o szerokości 2 względem wartości średniej; można więc zapisać równanie (6.19) Przypuśćmy, że w pewnym momencie dla określonego układu użytkownika względem satelitów nawigacyjnych VDOP = 2. Dla kodu C/A z włączoną selektywną dostępnością m (patrz tab. 6.3 ), więc Oznacza to, że prawdopodobieństwo, iż błąd określenia pozycji będzie większy niż 113,2 metra nie przekracza 5%. Do kreślenia błędu określenia pozycji w płaszczyźnie poziomej wprowadza się często pojęcie prawdopodobnego błędu kołowego CEP (ang. Circular Error Probable). Jest to promień koła ze środkiem w prawdziwej (bezbłędnej) pozycji użytkownika obejmującego 50% wykonanych pomiarów. Innymi słowy prawdopodobieństwo tego, że błąd pomiaru jest mniejszy niż wartość CEP wynosi dokładnie 1/2. CEP wyraża się następującą zależnością przybliżoną (20) Przez rozumiemy promień koła ze środkiem w prawdziwej pozycji użytkownika, które obejmuje xx% wyników pomiarów obarczonych błędami. Oczywiście Obowiązują następujące zależności przybliżone: (6.21a) (6.21b) (6.21c) Powiedzmy, że w pewnym momencie i w pewnej konfiguracji satelitów względem użytkownika HDOP = 1,5. Jeśli użytkownik korzysta z kodu C/A i jest włączona wybiórcza dostępność, to Oznacza to, że w 95% przypadków wynik określenia pozycji znajdzie się kole o średnicy około 100 metrów, którego środek pokrywa się z pozycją rzeczywistą. Zwróćmy uwagę, że dominującym źródłem błędu jest wybiórcza dostępność. Przy wyłączonej SA mielibyśmy co jest bardzo atrakcyjnym rezultatem. 6.6. Efekty relatywistyczne Zegary pokładowe satelitów nawigacyjnych są pod wpływem dwóch efektów relatywistycznych wynikających ze szczególnej i ogólnej i teorii względności Einsteina. Pierwszy efekt jest związany ze zmianą chodu zegara znajdującego się w ruchu - “szybkie zegary chodzą wolno” - wynikającą ze szczególnej teorii względności. Generator umieszczony na satelicie generuje więc mniejszą częstotliwość niż ta, na którą został ustawiony. Drugi efekt jest związany z zasadą równoważności, zgodnie z którą chód zegara ulega zwolnieniu przy zbliżaniu się do środka pola grawitacyjnego. W odniesieniu do generatora umieszczonego na satelicie te dwa efekty działają w przeciwnych kierunkach. W przypadku satelity poruszającego się po orbicie o promieniu równym półtora promienia Ziemi oba efekty wzajemnie kompensują się. Satelity systemu GPS poruszają się jednak po orbitach o promieniach równych około 4,2 promienia Ziemi. Zegary umieszczone na tych satelitach chodzą więc szybciej niż zegary znajdujące się na powierzchni Ziemi. Całkowity błąd z tego tytułu wynosi 38,4 s w ciągu doby, co odpowiada 11,5 km błędu w określeniu odległości. Wymienione efekty relatywistyczne są kompensowane przez ustawienie częstotliwości zegarów satelitowych nieco poniżej częstotliwości nominalnej - 10,22999999545 MHz. Częstotliwość widziana przez obserwatora na powierzchni morza jest natomiast równa 10,23 MHz, co oznacza, że użytkownik nie musi wprowadzać korekcji na omawiane efekty relatywistyczne. Użytkownik musi natomiast wprowadzać korekcję ze względu na inny periodyczny efekt relatywistyczny, wynikający z niewielkiej ekscentryczności orbit satelitów nawigacyjnych. Połowa tego efektu jest związana z okresową zmianą prędkości satelity względem układu współrzędnych ECI, druga połowa jest związana ze zmianą położenia satelity w ziemskim polu grawitacyjnym. Rys. 6.11. Efekt Sagnaca W związku z obrotem Ziemi w czasie transmisji sygnału z satelity do odbiornika nawigacyjnego powstaje kolejny efekt relatywistyczny, zwany efektem Sagnaca, polegający na zmianie pseudoodległości związanej z szybkim ruchem użytkownika względem Ziemi (rys. X.25). 6.7. Różnicowe systemy GPS Błąd określenia pozycji użytkownika stosującego kod C/A jest dość duży. Nawet przy wyłączonej selektywnej dostępności błąd określenia pozycji wynosi około 25 m (95%) w płaszczyźnie poziomej i około 45 m (95%) w płaszczyźnie pionowej, co w wielu zastosowaniach niedopuszczalne. Poprawę dokładności określenia pozycji można uzyskać wprowadzając różnicowy system określania pozycji DGPS (ang. Differential GPS). Opracowano wiele różnicowych systemów określania pozycji, które bardzo ogólnie można podzielić na systemy lokalne LADGPS (ang. Local Area DGPS) i systemy wielko obszarowe WADGPS (ang. Wide Rys. 6.12. Koncepcja lokalnego różnicowego systemu określania pozycji LADGPS Pierwsze z nich polegają na zastosowaniu naziemnej stacji odniesienia, której położenie jest dobrze znane (rys. 6.12). Stacja ta określa swoją pozycję na podstawie odbioru sygnałów nadawanych przez satelity nawigacyjne GPS, porównuje ją z pozycją rzeczywistą, oblicza poprawki i nadaje je za pomocą nadajnika naziemnego pracującego w różnych zakresach częstotliwości. Na przykład do obsługi samolotów stosuje nadajniki VHF, statków nadajniki MF. Koncepcja LADGPS opiera się na założeniu, że wiele czynników powodujących błąd określenia pozycji są silnie skorelowane. Wobec tego użytkownik po określeniu swojej pozycji za pomocą sytemu GPS może ją skorygować wprowadzając poprawki pozycji nadawane przez stację odniesienia. Ten sposób można stosować tylko w niewielkiej odległości od stacji odniesienia. Lepszym rozwiązaniem jest określenie przez stację odniesienia poprawek do pseudoodległosci i przesyłanie ich do użytkowników. Budżet błędu określenia pozycji w tym przypadku podano w tabeli 6.4. Tabela 6.4 Budżet błędu określania pseudoodległosci w systemie LADGPS Segment Źródło błędu Błąd jednosigmowy [m] GPS LADGPS Kosmiczny Niestabilność zegara satelity Perturbacje ruchu satelity Dostęp selektywny Inne 3,0 1,0 32,3 0,5 0 0 0 0 Sterowanie Błąd predykcji efemeryd Inne 4,2 0,9 0 0 Użytkownik Opoźnienie jonosferyczne Opóźnienie troposferyczne Szum termiczny i rozdzielczość odbiornika Propagacja wielodrogowa Inne 5,0 1,5 1,5 2,5 0,5 0 0 2,1 2,5 0,5 Błąd całkowity UERE 33,3 3,3Tak dobre rezultaty uzyskuje się tylko w bezpośrednim sąsiedztwie stacji odniesienia. W miarę oddalania się użytkownika od tej stacji następuje stopniowa dekorelacja błędów określenia pseudoodległości, co powoduje wzrost całkowitego błędu określenia pozycji. Stwierdzono jednak znaczne zmniejszenie nawet w odległości 400 km od stacji odniesienia. Wydaje się więc, że warto zastosować system LADGPS w systemie monitorowania ruchu pojazdów w Polsce. Sygnały różnicowe mogłaby nadawać budowana obecnie w Solcu Kujawskim długofalowa stacja Polskiego Radia. Stacja ta będzie dobrze odbierana na obszarze całego kraju. System różnicowy jest skuteczny tylko wówczas, gdy stacja odniesienia i użytkownik odbierają sygnały z tych samych satelitów nawigacyjnych. Przy dużych odległościach od stacji odniesienia może się zdarzyć, że odbiornik użytkownika wybierze inny układ odniesienia niż odbiornik stacji odniesienia. Stacja odniesienia oprócz sygnałów różnicowych powinna więc nadawać również informację o numerach satelitów nawigacyjnych, z których korzysta. Sprawa ta wymaga szczegółowego opracowania. Wielkoobszarowe systemy różnicowe mogą obsługiwać całe kontynenty, a nawet cały glob. Wymagają one stosowanie wielu współpracujących ze sobą stacji odniesienia. Systemy WADGPS nie mają znaczenia dla opracowywanego w Polsce sytemu monitorowania ruchu pojazdów, nie będą więc szczegółowo omawiane. Bibliografia Bem D. J., Systemy szerokopasmowe, Rozprawy Elektrotechniczne, t. 31, 1985, nr 1, s. 241-263. Bem D.J., Systemy telekomunikacyjne. Część III - Radiolokacja i radionawigacja, Wydawnictwo Politechniki Wrocławskiej, Wrocław 1991. Hofmann-Wellen B., Lichteneger H., Collins J., GPS NAVSTAR User's Overview, New York, Spiger - Verlag, 19933. Kaplam E. D., (editor), Understanding GPS. Principles and Applications, Artech House, Boston, London, 1996. NAVSTAR GPS Joint Program Office(JPO), GPS NAVSTAR User's Overview, YEE-82-009D, GPS JPO, March 1991. Szymoński M., Nawigacyjne wykorzystanie sztucznych satelitów Ziemi. WKiŁ, Warszawa 1989. Daniel Józef Bem, Nawigacja satelitarna Strona - 2 -