Strona 1 Podrêcznik jest adresowany do uczniów klas pierwszych liceów i techników, ucz¹cych siê matematyki w zakresie podstawowym lub rozszerzonym. Tematy, które mog¹ nie byæ realizowane w zakresie podstawowym, zosta³y oznaczone w spisie treœci symbolem R. Nauczyciel mo¿e równie¿ pomin¹æ, zgodnie z realizo- wanym przez siebie programem, pewne zagadnienia omówione w innych tema- tach. Jednak zachêcamy uczniów do zapoznania siê ze wszystkimi tematami. Mo¿e to im u³atwiæ uczenie siê matematyki. Nowe zagadnienia s¹ precyzyjnie wyjaœnione, tematy zawieraj¹ du¿¹ liczbê dobrze dobranych przyk³adów o wzrastaj¹cym stopniu trudnoœci. Praca z na- szym podrêcznikiem umo¿liwia równie¿ powtórzenie najwa¿niejszych za- gadnieñ z zakresu gimnazjum. Ka¿dy temat koñczy siê zestawem zadañ, zatytu³owanym SprawdŸ, czy rozumiesz. W przypadku trudnoœci z rozwi¹zaniem tych zadañ warto powtórnie przeczytaæ i przeanalizowaæ dany temat. Odpowiedzi do wiêkszoœci zadañ znajduj¹ siê na koñcu podrêcznika. Tam rów- nie¿ umieœciliœmy skorowidz wa¿niejszych terminów. Autorzy Spis treœci 1. Wprowadzenie do matematyki Zdanie. Zaprzeczenie zdania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 Koniunkcja zdañ. Alternatywa zdañ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 Implikacja. Równowa¿noœæ zdañ. Definicja. Twierdzenie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 Prawa logiczne. Prawa De Morgana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 Zbiór. Dzia³ania na zbiorach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 Zbiory liczbowe. Oœ liczbowa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 Rozwi¹zywanie prostych równañ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 Przedzia³y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 Rozwi¹zywanie prostych nierównoœci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 Zdanie z kwantyfikatorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 2. Dzia³ania w zbiorach liczbowych Zbiór liczb naturalnych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 Zbiór liczb ca³kowitych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 Zbiór liczb wymiernych i zbiór liczb niewymiernych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 Prawa dzia³añ w zbiorze liczb rzeczywistych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 Rozwi¹zywanie równañ – metoda równañ równowa¿nych . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 Rozwi¹zywanie nierównoœci – metoda nierównoœci równowa¿nych . . . . . . . . 62 Procenty . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 Punkty procentowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 Wartoœæ bezwzglêdna. Proste równania i nierównoœci z wartoœci¹ bezwzglêdn¹ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 R W³asnoœci wartoœci bezwzglêdnej . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 Przybli¿enia, b³¹d bezwzglêdny i b³¹d wzglêdny, szacowanie . . . . . . . . . . . . . . . 84 Strona 2 3. Wyra¿enia algebraiczne Potêga o wyk³adniku naturalnym . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 Pierwiastek arytmetyczny. Pierwiastek stopnia nieparzystego z liczby ujemnej . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 Dzia³ania na wyra¿eniach algebraicznych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 Wzory skróconego mno¿enia, cz. 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 R Wzory skróconego mno¿enia, cz. 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 Potêga o wyk³adniku ca³kowitym ujemnym . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 Potêga o wyk³adniku wymiernym . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 Potêga o wyk³adniku rzeczywistym . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110 Dowodzenie twierdzeñ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112 Okreœlenie logarytmu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 R Zastosowanie logarytmów . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120 Przekszta³canie wzorów . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124 Œrednie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128 4. Geometria p³aska – pojêcia wstêpne Punkt, prosta, odcinek, pó³prosta, k¹t, figura wypuk³a, figura ograniczona . . 130 £amana. Wielok¹t. Wielok¹t foremny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138 Wzajemne po³o¿enie prostych na p³aszczyŸnie, odleg³oœæ punktu od prostej, odleg³oœæ miêdzy prostymi równoleg³ymi, symetralna odcinka, dwusieczna k¹ta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142 Dwie proste przeciête trzeci¹ prost¹. Suma k¹tów w wielok¹cie . . . . . . . . . . . 148 R Wektor na p³aszczyŸnie (bez uk³adu wspó³rzêdnych) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152 R Wybrane przekszta³cenia p³aszczyzny, cz. 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156 R Wybrane przekszta³cenia p³aszczyzny, cz. 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162 Twierdzenie Talesa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164 Okr¹g i ko³o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168 K¹ty i ko³a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174 5. Geometria p³aska – trójk¹ty Podzia³ trójk¹tów. Suma k¹tów w trójk¹cie. Nierównoœæ trójk¹ta. Odcinek ³¹cz¹cy œrodki dwóch boków w trójk¹cie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180 Twierdzenie Pitagorasa. Twierdzenie odwrotne do twierdzenia Pitagorasa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188 Wysokoœci w trójk¹cie. Œrodkowe w trójk¹cie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192 Symetralne boków trójk¹ta. Okr¹g opisany na trójk¹cie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198 Dwusieczne k¹tów trójk¹ta. Okr¹g wpisany w trójk¹t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202 Przystawanie trójk¹tów . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208 Podobieñstwo trójk¹tów . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214 R Twierdzenie o stycznej i siecznej . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220 6. Trygonometria Okreœlenie sinusa, cosinusa, tangensa i cotangensa w trójk¹cie prostok¹tnym . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222 Wartoœci sinusa, cosinusa, tangensa i cotangensa dla k¹tów 30°, 45° i 60° . . 228 K¹t skierowany . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230 Sinus, cosinus, tangens i cotangens dowolnego k¹ta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232 Strona 3 Podstawowe to¿samoœci trygonometryczne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238 Wzory redukcyjne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244 R Twierdzenie sinusów . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250 R Twierdzenie cosinusów . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255 7. Geometria p³aska – pole ko³a, pole trójk¹ta Pole figury geometrycznej . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260 Pole trójk¹ta, cz. 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264 Pole trójk¹ta, cz. 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 268 Pola trójk¹tów podobnych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274 Pole ko³a, pole wycinka ko³a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 276 R Zastosowanie pojêcia pola w dowodzeniu twierdzeñ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278 8. Funkcja i jej w³asnoœci Pojêcie funkcji. Funkcja liczbowa. Dziedzina i zbiór wartoœci funkcji . . . . . . . 282 Sposoby opisywania funkcji . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 286 Wykres funkcji . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 288 Dziedzina funkcji liczbowej . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294 Zbiór wartoœci funkcji liczbowej . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 298 Miejsce zerowe funkcji . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 300 R Równoœæ funkcji . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304 Monotonicznoœæ funkcji . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 306 Funkcje ró¿nowartoœciowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312 R Funkcje parzyste i funkcje nieparzyste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 318 R Funkcje okresowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 324 R Najwiêksza i najmniejsza wartoœæ funkcji liczbowej . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 326 Odczytywanie w³asnoœci funkcji na podstawie jej wykresu. Szkicowanie wykresów funkcji o zadanych w³asnoœciach . . . . . . . . . . . . . . . . . . 330 Zastosowanie wykresów funkcji do rozwi¹zywania równañ i nierównoœci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 336 Zastosowanie wiadomoœci o funkcjach do opisywania, interpretowania i przetwarzania informacji wyra¿onych w postaci wykresu funkcji . . . . . . . . . . 340 9. Przekszta³cenia wykresów funkcji Podstawowe informacje o wektorze w uk³adzie wspó³rzêdnych . . . . . . . . . . . 344 ® Przesuniêcie równoleg³e o wektor u = [p, q] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 350 Symetria osiowa wzglêdem osi OX i osi OY . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 356 Symetria œrodkowa wzglêdem punktu (0, 0) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 360 R Wykres funkcji y = |f(x)| oraz y = f(|x|) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362 R Powinowactwo prostok¹tne o osi OX i o osi OY . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 364 R Szkicowanie wykresów wybranych funkcji . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 370 R Zastosowanie wykresów funkcji do rozwi¹zywania zadañ . . . . . . . . . . . . . . . . . 376 Skorowidz wa¿niejszych terminów . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 380 Odpowiedzi do zadañ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 382