Strona 1 Równanie ruchu i charakterystyka statyczna podstawowych członów automatyki. Układ dynamiczny opisany jest ogólnym równaniem ruchu w postaci:   f y ( n) , y ( n1) ,..., y, y, x ( m) , x ( m1) ,..., x, x, t  0 gdzie: x- wektor sygnałów wejściowych, y- wektor sygnałów wyjściowych. Przyjmując, że zależność pomiędzy wejściem a wyjściem jest liniowa to otrzymujemy następujące równanie różniczkowe n-tego rzędu o stałych współczynnikach: 𝑑 𝑛 𝑦(𝑡) 𝑑 𝑛−1 𝑦(𝑡) 𝑑𝑦(𝑡) + 𝑎𝑛−1 + … + 𝑎1 + 𝑎0 𝑦 𝑡 = 𝑑𝑡 𝑛 𝑑𝑡 𝑛−1 𝑑𝑡 𝑑 𝑚 𝑥(𝑡) 𝑑 𝑚 −1 𝑥(𝑡) 𝑑𝑥(𝑡) = 𝑏𝑚 + 𝑏𝑚 −1 + … + 𝑏1 + 𝑏0 𝑥 𝑡 𝑑𝑡 𝑚 𝑑𝑡 𝑚 −1 𝑑𝑡 gdzie współczynniki a0, a1,..., an-1 oraz b0, b1,..., bm są stałymi rzeczywistymi. Charakterystyką statyczną nazywamy zależność między sygnałem (wektorem) wyjściowym a sygnałem (wektorem) wejściowym w stanie ustalonym. W stanie ustalonym, gdy t  przyjmuje się w równaniu ruchu wszystkie pochodne względem czasu t równe 0, otrzymując równanie charakterystyki statycznej w postaci: 𝑓 𝑥, 𝑦 = 0 lub liniowe 𝑎0 𝑦 = 𝑏0 𝑥 𝑏0 𝑦= 𝑥; 𝑦 = 𝑘𝑥 𝑎0 y y 𝑏 tan 𝑎 = 𝑎0 = 𝑘 0 x x Strona 2 Linearyzacja statyczna nieliniowych równań różniczkowych Układ dynamiczny opisany jest ogólnym równaniem ruchu w postaci:   f y ( n) , y ( n1) ,..., y, y, x ( m) , x ( m1) ,..., x, x, t  0 gdzie: x- wektor sygnałów wejściowych, y- wektor sygnałów wyjściowych. Przyjmując, że zależność pomiędzy wejściem a wyjściem jest nieliniowa to poddajemy go linearyzacji. Linearyzacją układów nieliniowych nazywamy zastąpienie układu nieliniowego jego liniowym przybliżeniem. Jedną z metod linearyzacji jest rozwinięcie równania ruchu w szereg Taylora w otoczeniu punktu równowagi p(x0, y0). Linearyzacja statyczna w warunkach ustalonych (𝑡 → ∞) sprowadza równanie ruchu do postaci: f  y0 , 0, ...,0, x0   0 𝑑 =0 𝑑𝑡 Jego postać zlinearyzowana to: 𝜕𝑓 𝜕𝑓 y + x = 0 𝜕𝑦 𝑦0 𝜕𝑥 𝑥0 Strona 3 gdzie: y  y  y0 ; x  x  x0 𝑎y + 𝑏x = 0 Równanie zlinearyzowane obowiązuje tylko w dobranym przedziale Δy, Δx wokół punktu pracy p(x0, y0) i definiuje go współczynnik wzmocnienie k. y y’ 𝑏 Δy tan 𝑎 = 𝑎0 = 𝑘 0 Δy P(x0,y0) x’ Δx Δx x Elementy automatyki - przykłady 1. Dźwignia a b y x 𝑥 𝑦 tan α = = 𝑎 𝑏 𝑏 𝑦= 𝑥 𝑎 𝑦 = 𝑘𝑥 X – sygnał wejścia Y – sygnał wyjścia k – wzmocnienie Jest to równanie ruchu, charakterystyka statyczna i dynamiczna. Element liniowy, proporcjonalny, bezinercyjny. 2. Dźwignia – sumator c d y x z a b Strona 4 𝑥 𝑦 𝑧 tan α = = = 𝑐 𝑑 𝑏−𝑑 𝑎+𝑏 =𝑐+𝑑 𝑥 𝑦 = 𝑐 𝑑 𝑦 𝑧 = 𝑑 𝑏−𝑑 𝑐 =𝑎+𝑏−𝑑 xd = y(a + b − d) 𝑦 𝑏 − 𝑑 = 𝑧𝑑 d(x + y) = y(a + b) 𝑑 𝑧 + 𝑦 = 𝑦𝑏 𝑦 𝑦 𝑎+𝑏 = 𝑏 ∶𝑦 𝑥+𝑦 𝑧+𝑦 𝑏 𝑥+𝑦 = 𝑧+𝑦 𝑎+𝑏 𝑏𝑥 = 𝑧 𝑎 + 𝑏 + 𝑎𝑦 𝑏 𝑎 𝑧= 𝑥− 𝑦 𝑎+𝑏 𝑎+𝑏 Etapy działania regulacyjnego dźwigni jako sumatora - pojawienie się sygnału x: c y x e a b - etap regulacji: c d y x e a b - zakończenie regulacji, e=0: c d y x e=0 a b Strona 5 1 R 𝐼 = 𝑅𝑈 gdzie: I-prąd; U-napięcie; R-opór 𝐹 = 𝑘𝑥 gdzie: F-siła; x-ugięcie sprężyny k-współczynnik sprężystości sprężyny Wypływ swobodny cieczy Q1 h Q – natężenie przepływu cieczy w punkcie 1 i 2 h – wysokość cieczy w zbiorniku f – przekrój wypływu α – współczynnik wypływu otworu Q2, f , α Warunek stanu ustalonego: Q1=Q2 𝑄 = 𝛼𝑓 2𝑔𝑕 Równanie należy zlinearyzować 𝐹 𝑄, 𝑕 = 𝑄 − 𝛼𝑓 2𝑔𝑕=0 𝜕𝐹 𝜕𝐹 Q + h = 0 𝜕𝑄 𝑄0,𝑕0 𝜕𝑕 𝑄0,𝑕0 𝑔 1 ∙  Q − 𝛼𝑓 h = 0 2𝑕0 𝑔  Q = 𝛼𝑓 h 2𝑕0 𝑔 k = 𝛼𝑓 2𝑕 0 Q = 𝑘h dla punktu pracy Q0, ho Strona 6 Transmitancja operatorowa podstawowych członów automatyki. Dane jest ogólne równanie ruchu n-tego rzędu o stałych współczynnikach: 𝑑 𝑛 𝑦(𝑡) 𝑑 𝑛−1 𝑦(𝑡) 𝑑𝑦(𝑡) + 𝑎𝑛−1 + … + 𝑎1 + 𝑎0 𝑦 𝑡 = 𝑑𝑡 𝑛 𝑑𝑡 𝑛−1 𝑑𝑡 𝑑 𝑚 𝑥(𝑡) 𝑑 𝑚 −1 𝑥(𝑡) 𝑑𝑥(𝑡) = 𝑏𝑚 + 𝑏𝑚 −1 + … + 𝑏1 + 𝑏0 𝑥 𝑡 𝑑𝑡 𝑚 𝑑𝑡 𝑚 −1 𝑑𝑡 gdzie współczynniki a0, a1,..., an-1 oraz b0, b1,..., bm są stałymi rzeczywistymi. Dokonując transformaty Laplace'a na obu stronach równania ruchu przy założeniu zerowych warunków początkowych otrzymujemy postać: 𝑠 𝑛 + 𝑎𝑛−1 𝑠 𝑛 −1 + … + 𝑎1 𝑠 + 𝑎0 𝑌 𝑠 = 𝑠 𝑚 + 𝑏𝑚 −1 𝑠 𝑚 −1 + … + 𝑏1 𝑠 + 𝑏0 𝑋 𝑠 Po przekształceniu otrzymujemy transmitancję operatorową danego elementu: 𝑌(𝑠) 𝑠 𝑚 + 𝑏𝑚 −1 𝑠 𝑚 −1 + … + 𝑏1 𝑠 + 𝑏0 𝐺 𝑠 = = 𝑛 𝑋(𝑠) 𝑠 + 𝑎𝑛−1 𝑠 𝑛 −1 + … + 𝑎1 𝑠 + 𝑎0 𝑚≤𝑛 Transmitancja operatorowa danego elementu jest to stosunek transformaty sygnału wyjściowego Y(s) do transformaty sygnału wejściowego X(s) dla zerowych warunków początkowych. Pozwala na wyznaczenie charakterystyki dynamicznej elementu. Własności transformaty streszczone mogą zostać następująco: - Transmitancja operatorowa definiowana jest tylko dla układów liniowych stacjonarnych. Nie może zostać zdefiniowana dla układów nieliniowych. - Transmitancja pomiędzy zmienną wejściową i zmienną wyjściową układu, definiowana jest jako transformata Laplace'a odpowiedzi impulsowej. Innym sposobem wyznaczania transmitancji jest wyznaczenie ilorazu transformaty Laplace'a wyjścia do transformaty Laplace'a wejścia. - Wszystkie warunki początkowe układu są zbiorem zerowym. - Transmitancja nie zależy od rodzaju sygnału wejściowego. Strona 7 - Transmitancja operatorowa układu ciągłego jest wyrażana tylko i wyłącznie jako funkcja operatorowa zmiennej zespolonej s. Nie jest to funkcja zmiennej rzeczywistej, czasu ani żadnej innej zmiennej, która używana byłaby jako zmienna niezależna . Transmitancja właściwa. Transmitancja opisana równaniem nazywana jest ściśle właściwą jeśli rząd wielomianu mianownika jest większy od rzędu wielomianu licznika (tzn. n => m). Transmitancja jest niewłaściwa jeśli n < m. Równanie charakterystyczne. Równanie charakterystyczne układu liniowego jest definiowane jako równanie uzyskane poprzez przyrównanie wielomianu mianownika transmitancji do zera. Równanie charakterystyczne układu jest następujące: 𝑠 𝑛 + 𝑎𝑛−1 𝑠 𝑛 −1 + … + 𝑎1 𝑠 + 𝑎0 = 0 Stabilność układów z pojedynczym wejściem i wyjściem określona jest wystarczająco poprzez pierwiastki równania charakterystycznego. Linearyzacja dynamiczna nieliniowych równań różniczkowych Układ dynamiczny opisany jest ogólnym równaniem ruchu w postaci:   f y ( n) , y ( n1) ,..., y, y, x ( m) , x ( m1) ,..., x, x, t  0 gdzie: x- wektor sygnałów wejściowych, y- wektor sygnałów wyjściowych. Przyjmując, że zależność pomiędzy wejściem a wyjściem jest nieliniowa to poddajemy go linearyzacji. Linearyzacją układów nieliniowych nazywamy zastąpienie układu nieliniowego jego liniowym przybliżeniem. Jedną z metod linearyzacji jest rozwinięcie równania ruchu w szereg Taylora. Jego postać zlinearyzowana to: 𝜕𝑓 𝜕𝑓 𝜕𝑓 𝜕𝑓 𝜕𝑓 𝜕𝑓 Δy(n) + … + Δy(1) + Δy + (𝑚 ) Δx(m) + … + Δx(1) + Δx 𝜕𝑦 (𝑛) 𝑝 𝜕𝑦 (1) 𝜕𝑦 𝑝 𝜕𝑥 𝑝 𝜕𝑥 (1) 𝑝 𝜕𝑥 𝑝 𝑝 +R=0 Gdzie: R – nieliniowa część rozwinięcia, 𝛥𝑦 𝑛 = 𝑦 𝑛 − 𝑦0𝑛 …………… 𝛥𝑦 1 = 𝑦1 − 𝑦01 𝛥𝑦 = 𝑦 − 𝑦0 𝛥𝑥 𝑚 = 𝑥 𝑚 − 𝑥0𝑚 …………… 𝛥𝑥1 = 𝑥1 − 𝑥01 Strona 8 𝛥𝑥 = 𝑥 − 𝑥0 Dla R =0, otrzymuje się przybliżenie liniowe równania różniczkowego układu. Przykład: Znaleść rozwiązanie równania różniczkowego dla x=1(t) przy zerowych warunkach początkowych. 𝑦 + 2𝑦 + 3𝑦 = 2𝑥 𝑠 2 𝑌 𝑠 + 2𝑠𝑌 𝑠 + 3𝑌 𝑠 = 2𝑋(𝑠) 2 1 𝑌 𝑠 = 𝑋 𝑠 𝑋 𝑠 = 𝑠 2 + 2𝑠 + 3 𝑠 2 𝑌 𝑠 = 𝑠 𝑠2 + 2𝑠 + 3 𝐴 𝐵𝑠 + 𝐶 𝑌 𝑠 = + 2 𝑠 𝑠 + 2𝑠 + 3 𝐴𝑠 2 + 2𝐴𝑠 + 3𝐴 + 𝐵𝑠 2 + 𝐶𝑠 𝑌 𝑠 = 𝑠 𝑠 2 + 2𝑠 + 3 2 𝐴= 3 𝐴+𝐵 =0 2 2𝐴 + 𝐶 = 0 𝐵=− 3𝐴 = 2 3 4 𝐶=− 3 2 1 2 𝑠+2 𝑌 𝑠 = ∙ − ∙ 2 3 𝑠 3 𝑠 + 2𝑠 + 3 𝑠+2 𝑦1 = 𝑠2 + 2𝑠 + 3 𝛥 = 4 − 12 = −8 𝛥 = ±2𝑖 2 𝑠1 = −1 − 𝑖 2 𝑖 𝑠2 = −1 + 𝑖 2 𝐴 + 𝑖𝐶 𝐵 + 𝑖𝐷 𝑦1 = + 𝑠 − −1 − 𝑖 2 𝑠 − −1 + 𝑖 2 𝐴𝑠 + 𝐴 − 𝑖𝐴 2 + 𝑖𝐶𝑠 + 𝑖𝐶 + 𝐶 2 + 𝐵𝑠 + 𝐵 + 𝑖𝐵 2 + 𝑖𝐷𝑠 + 𝑖𝐷 − 𝐷 2 𝑦1 = 𝑠 2 + 2𝑠 + 3 Strona 9 1 𝐴= 2 𝐴+𝐵 =1 1 𝐵= 𝐶+𝐷 =0 2 𝐴+𝐵+ 2 𝐶−𝐷 = 2 2 𝐶= 2 𝐵−𝐴 +𝐶+𝐷 =0 4 2 𝐷=− 4 1 2 1 2 +𝑖 4 −𝑖 4 𝑦1 = 2 + 2 𝑠 − −1 − 𝑖 2 𝑠 − −1 + 𝑖 2 1 2 −1−𝑖 2 𝑡 1 2 −1+𝑖 2 𝑡 𝑦1 = +𝑖 𝑒 + −𝑖 𝑒 2 4 2 4 1 −1−𝑖 2 𝑡 2 −1−𝑖 2 𝑡 1 −1+𝑖 2 𝑡 2 −1+𝑖 2 𝑡 𝑦1 = 𝑒 +𝑖 𝑒 + 𝑒 −𝑖 𝑒 2 4 2 4 1 −1−𝑖 2 𝑡 −1+𝑖 2 𝑡 2 −1−𝑖 2 𝑡 −1+𝑖 2 𝑡 𝑦1 = 𝑒 +𝑒 +𝑖 𝑒 −𝑒 2 4 1 −1 𝑡 −𝑖 2 𝑡 −1+𝑖 2 𝑡 2 −1−𝑖 2 𝑡 −1+𝑖 2 𝑡 𝑦1 = 𝑒 𝑒 +𝑒 +𝑖 𝑒 −𝑒 2 4 1 2 −𝑡 −𝑖 𝑦1 = 𝑒 −𝑡 𝑒 −𝑖 2𝑡 + 𝑒𝑖 2𝑡 +𝑖 𝑒 𝑒 2𝑡 − 𝑒𝑖 2𝑡 2 4 𝑒 −𝑖 2𝑡 + 𝑒𝑖 2𝑡 2 −𝑡 𝑒 −𝑖 2𝑡 − 𝑒𝑖 2𝑡 𝑦1 = 𝑒 −𝑡 − 𝑒 2 2 2𝑖 𝑒 −𝑖 2𝑡 + 𝑒𝑖 2𝑡 2 −𝑡 𝑒 𝑖 2𝑡 − 𝑒 −𝑖 2𝑡 𝑦1 = 𝑒 −𝑡 + 𝑒 2 2 2𝑖 Według wzorów Eulera 𝑒 𝑖𝑎 + 𝑒 −𝑖𝑎 𝑒 𝑖𝑎 − 𝑒 −𝑖𝑎 cos 𝑎 = ; sin 𝑎 = 2 2𝑖 𝑒 𝑖𝑎 + 𝑒 −𝑖𝑎 𝑒𝑖 2𝑡 − 𝑒 −𝑖 2𝑡 cos 𝑎 = ; sin 𝑎 = 2 2𝑖 2 −𝑡 𝑦1 = 𝑒 −𝑡 cos 2𝑡 + 𝑒 sin 2𝑡 2 Strona 10 2 𝑦1 = 𝑒 −𝑡 cos 2𝑡 + sin 2𝑡 2 Ze wzorów trygonometrycznych sin 𝛼 + 𝛽 = sin 𝛼 cos 𝛽 + cos 𝛼 sin 𝛽 Asin 𝛼 + 𝛽 = 𝐴 sin 𝛼 cos 𝛽 + Acos 𝛼 sin 𝛽 𝛽 = 2𝑡 𝛽 = 2𝑡 𝛽 = 2𝑡 3 3 𝐴 sin 𝛼 = 1 𝐴 sin 𝛼 2 = 1 2 𝐴2 sin 𝛼 2 + cos 𝛼 2 = 𝐴= 1 2 2 2 2 Acos 𝛼 = 𝐴2 cos 𝛼 2 = 2 2 tan 𝛼 = 𝛼 = 54.7° 2 3 −𝑡 𝑦1 = 𝑒 sin 2𝑡 + 𝛼 2 Ostatecznie 2 2 3 −𝑡 𝑦 𝑡 = ∙ 1(𝑡) − ∙ 𝑒 sin 2𝑡 + 𝛼 3 3 2 2 6 −𝑡 𝑦 𝑡 = ∙ 1(𝑡) − 𝑒 sin 2𝑡 + 𝛼 3 3 Obliczenia z wykorzystaniem tablic transformat: 2 1 2 𝑠+2 𝑌 𝑠 = ∙ − ∙ 2 3 𝑠 3 𝑠 + 2𝑠 + 3 2 1 2 𝑠+1+1 𝑌 𝑠 = ∙ − ∙ 3 𝑠 3 𝑠+1 2−1+3 2 1 2 𝑠+1 1 𝑌 𝑠 = ∙ − 2 + 3 𝑠 3 𝑠+1 +2 𝑠+1 2+2 2 1 2 𝑠+1 2 1 𝑌 𝑠 = ∙ − − 3 𝑠 3 𝑠+1 2 +2 3 𝑠+1 2+2 2 1 2 𝑠+1 2 1 2 𝑌 𝑠 = ∙ − − ∙ 3 𝑠 3 𝑠+1 +2 3 2 𝑠+1 2+2 2 2 1 2 𝑠+1 2 2 𝑌 𝑠 = ∙ − 2 − 3 𝑠 3 𝑠+1 +2 3 𝑠+1 2+2 Strona 11 2 1 2 𝑠+1 2 2 𝑌 𝑠 = ∙ − + 3 𝑠 3 𝑠+1 2+2 2 𝑠+1 2+2 Z tablic: 𝑠−𝑎 𝑤 𝐿 𝑒 𝑎𝑡 cos 𝑤𝑡 = 𝑖 𝐿 𝑒 𝑎𝑡 sin 𝑤𝑡 = 𝑠 − 𝑎 2 + 𝑤2 𝑠 − 𝑎 2 + 𝑤2 Ostatecznie: 2 2 −𝑡 2 −𝑡 𝑦 𝑡 = 1 𝑡 − 𝑒 cos 2𝑡 + 𝑒 sin 2𝑡 3 3 2 2 2 2 𝑦 𝑡 = 1 𝑡 − 𝑒 −𝑡 cos 2𝑡 + sin 2𝑡 3 3 2 2 2 3 −𝑡 𝑌 𝑠 = ∙ 1(𝑡) − ∙ 𝑒 sin 2𝑡 + 𝛼 3 3 2 Residuum w biegunie jednokrotnym 𝑅𝑒𝑠𝑌 𝑠 𝑠1 = lim 𝑌 𝑠 ∗ 𝑠 − 𝑠1 𝑠→𝑠1 Wypływ swobodny cieczy Q1 A h Q – natężenie przepływu cieczy w punkcie 1 i 2 h – wysokość cieczy w zbiorniku f – przekrój wypływu α – współczynnik wypływu otworu Q2, f , α A – pole powierzchni lustra cieczy Warunek równowagi wypływu: 𝐴𝑕 = 𝑚1 − 𝑚2 𝜌 𝑑𝑕 𝐴 𝑑𝑡 = 𝑄1 − 𝑄2 𝜌 𝑄2 = 𝛼𝑓 2𝑔𝑕 Strona 12 𝐴 𝑑𝑕 + 𝛼𝑓 2𝑔𝑕 = 𝑄1 𝜌 𝑑𝑡 𝐴 𝑑𝑕 Równanie należy zlinearyzować 𝐹 𝑕, 𝑕, 𝑄, 𝑡 = 𝜌 𝑑𝑡 + 𝛼𝑓 2𝑔𝑕 − 𝑄1 =0 𝜕𝐹 𝜕𝐹 𝜕𝐹 h + h + Q = 0 𝜕𝑕 𝑕0 𝜕𝑕 𝑕0 𝜕𝑄 𝑄0 𝐴 𝑔 Δh + 𝛼𝑓 h − Q = 0 𝜌 2𝑕0 𝐴 1 Δh +  h = Q 𝑔 𝑔 𝜌𝛼𝑓 𝛼𝑓 2𝑕0 2𝑕0 𝐴 1 𝑇= ; k= 𝑔 𝑔 𝜌𝛼𝑓 𝛼𝑓 2𝑕0 2𝑕0 𝑇Δh +  h = k  Q R i 𝑢 = 𝑖𝑅 + 𝑢𝑐 U Uc równanie kondensatora 𝑑𝑢 𝑐 𝑖=𝐶 𝑑𝑡 𝑑𝑢 𝑐 Stąd 𝑢(𝑡) = 𝑅𝐶 + 𝑢𝑐 (t) 𝑑𝑡 𝑈 𝑠 = 𝑅𝐶𝑠𝑈𝑐 𝑠 + 𝑈𝑐 𝑠 𝑈𝑐 𝑠 1 𝐺 𝑠 = = 𝑅𝐶𝑠+1 𝑈 𝑠 𝑘 = 1; 𝑇 = 𝑅𝐶 𝑈𝑐 𝑠 𝑘 𝐺 𝑠 = = 𝑇𝑠+1 𝑈 𝑠 Strona 13 Podstawowe elementy automatyki: 1. Proporcjonalny, bezinercyjny 𝑦 =𝑘∙𝑥 Y s 𝐺 𝑠 = =𝑘 X(s) 2. Inercyjny pierwszego rzędu 𝑇y + y = kx 𝑇sY s + Y s = kX(s) Y s 𝑘 𝐺 𝑠 = = X(s) 𝑇∙𝑠+1 3. Inercyjne wyższego rzędu Y s 𝑘 𝐺 𝑠 = = X(s) 𝑇1 𝑠 + 1 𝑇2 𝑠 + 1 … . . 𝑇𝑛−1 𝑠 + 1 𝑇𝑛 𝑠 + 1 4. Całkujący t 𝑑𝑦 = kx lub y=k xdt 𝑑𝑡 0 sY s = kX(s) Y s 𝑘 1 𝐺 𝑠 = = 𝑙𝑢𝑏 𝐺 𝑠 = X(s) 𝑠 𝑇𝑠 5. Różniczkujący 𝑑𝑥 𝑑𝑥 𝑦 = 𝑇𝑑 lub 𝑇 y + y = Td 𝑑𝑡 𝑑𝑡 Y s = 𝑇𝑑 sX s lub 𝑇sY s + Y s = Td X(s) Y s 𝑇𝑑 𝑠 𝐺 𝑠 = = 𝑇𝑑 𝑠 𝑙𝑢𝑏 𝐺 𝑠 = X(s) 𝑇𝑠 + 1 6. Oscylacyjny 𝑇12 𝑦 + 𝑇2 y + y = kx 𝑇12 𝑠 2 Y s + 𝑇2 sY s + Y s = kX(s) Strona 14 Y s 𝑘 𝑘𝜔02 𝐺 𝑠 = = 2 2 𝑙𝑢𝑏 𝐺 𝑠 = X(s) 𝑇1 𝑠 + 𝑇2 s + 1 𝑠 2 + 2𝜉𝜔0 s + 𝜔02 Gdzie: ξ – współczynnik tłumienia ω – częstotliwość drgań własnych 7. Opóźniający: Y s 𝐺 𝑠 = = 𝑒 −𝜏𝑠 X(s) Przykłady: inercyjne drugiego rzędu R1 i i2 R2 i1 U C1 Uc1 C2 Uc2 𝑢 = 𝑖𝑅1 + 𝑢𝑐1 𝑢𝑐1 = 𝑖2 𝑅2 + 𝑢𝑐2 𝑑𝑢𝑐1 𝑖1 = 𝐶1 𝑑𝑡 𝑑𝑢𝑐2 𝑖2 = 𝐶2 𝑑𝑡 𝑖 = 𝑖1 + 𝑖2 𝑢 = 𝑖1 + 𝑖2 𝑅1 + 𝑢𝑐1 𝑢𝑐1 = 𝑖2 𝑅2 + 𝑢𝑐2 𝑑𝑢𝑐1 𝑖1 = 𝐶1 𝑑𝑡 𝑑𝑢𝑐2 𝑖2 = 𝐶2 𝑑𝑡 𝑈 = 𝐼1 + 𝐼2 𝑅1 + 𝑈𝑐1 𝑈𝑐1 = 𝐼2 𝑅2 + 𝑈𝑐2 𝐼1 = 𝐶1 𝑠𝑈𝑐1 𝐼2 = 𝐶2 𝑠𝑈𝑐2 𝑈 = 𝐶1 𝑠𝑈𝑐1 + 𝐶2 𝑠𝑈𝑐2 𝑅1 + 𝑈𝑐1 𝑈𝑐1 = 𝑅2 𝐶2 𝑠𝑈𝑐2 + 𝑈𝑐2 𝑈 = 𝑅1 𝐶1 𝑠 + 1 𝑈𝑐1 + 𝑅1 𝐶2 𝑠𝑈𝑐2 𝑈𝑐1 = 𝑅2 𝐶2 𝑠 + 1 𝑈𝑐2 Strona 15 𝑈 = 𝑅1 𝐶1 𝑠 + 1 𝑅2 𝐶2 𝑠 + 1 𝑈𝑐2 + 𝑅1 𝐶2 𝑠𝑈𝑐2 𝑈𝑐2 𝑠 1 𝐺 𝑠 = = 𝑈 𝑠 𝑅1 𝐶1 𝑠 + 1 𝑅2 𝐶2 𝑠 + 1 + 𝑅1 𝐶2 𝑠 𝑈𝑐2 𝑠 1 𝐺 𝑠 = = 2 𝑈 𝑠 𝑅1 𝐶1 ∙ 𝑅2 𝐶2 ∙ 𝑠 + 𝑅1 𝐶1 + 𝑅2 𝐶2 + 𝑅1 𝐶2 𝑠 + 1 𝑘 = 1; 𝑇1 = 𝑅1 𝐶1 ; 𝑇2 = 𝑅2 𝐶2 𝑈𝑐2 𝑠 1 𝐺 𝑠 = = 𝑈 𝑠 𝑇1 𝑇2 𝑠 2 + 𝑇1 + 𝑇2 + 𝑅1 𝐶2 𝑠 + 1 Wersja uproszczona: 1 𝐺 𝑠 = 𝑇1 𝑠 + 1 𝑇2 𝑠 + 1 Charakterystyka skokowa: 1 1 𝑌= 𝑇1 𝑠 + 1 𝑇2 𝑠 + 1 𝑠 𝐴 𝐵 𝐶 𝑌= + + 𝑠 𝑇1 𝑠 + 1 𝑇2 𝑠 + 1 𝐴=1 −𝑇12 𝐵= 𝑇1 − 𝑇2 𝑇22 𝐶= 𝑇1 − 𝑇2 1 𝑇12 1 𝑇22 1 𝑌= − + 𝑠 𝑇1 − 𝑇2 𝑇1 𝑠 + 1 𝑇1 − 𝑇2 𝑇2 𝑠 + 1 1 1 𝑇1 1 𝑇2 𝑌= − + 𝑠 𝑇1 − 𝑇2 𝑠 + 1 𝑇1 − 𝑇2 𝑠 + 1 𝑇 1 𝑇 2 𝑇1 𝑡 𝑇2 𝑡 − − 𝑦=1+ 𝑒 𝑇1 + 𝑒 𝑇2 𝑇2 − 𝑇1 𝑇1 − 𝑇2 Strona 16 Przykłady: inercyjne trzeciego rzędu R1 i i2 R2 i3 R3 i1 i4 U C1 Uc1 C2 Uc2 C3 Uc3 𝑢 = 𝑖𝑅1 + 𝑢𝑐1 𝑢𝑐1 = 𝑖2 𝑅2 + 𝑢𝑐2 𝑢𝑐2 = 𝑖3 𝑅3 + 𝑢𝑐3 𝑑𝑢𝑐1 𝑑𝑢𝑐2 𝑑𝑢𝑐3 𝑖1 = 𝐶1 ; 𝑖4 = 𝐶2 ; 𝑖3 = 𝐶3 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑖 = 𝑖1 + 𝑖2 ; 𝑖2 = 𝑖3 + 𝑖4 𝑢 = 𝑖1 + 𝑖3 + 𝑖4 𝑅1 + 𝑢𝑐1 𝑢𝑐1 = 𝑖3 + 𝑖4 𝑅2 + 𝑢𝑐2 𝑢𝑐2 = 𝑖3 𝑅3 + 𝑢𝑐3 𝑑𝑢𝑐1 𝑑𝑢𝑐2 𝑑𝑢𝑐3 𝑖1 = 𝐶1 ; 𝑖4 = 𝐶2 ; 𝑖3 = 𝐶3 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑈 = 𝐼1 + 𝐼3 + 𝐼4 𝑅1 + 𝑈𝑐1 𝑈𝑐1 = 𝐼3 + 𝐼4 𝑅2 + 𝑈𝑐2 𝑈𝑐2 = 𝐼3 𝑅3 + 𝑈𝑐3 𝐼1 = 𝐶1 𝑠𝑈𝑐1 ; 𝐼4 = 𝐶2 𝑠𝑈𝑐2 ; 𝐼3 = 𝐶3 𝑠𝑈𝑐3 𝑈 = 𝐶1 𝑠𝑈𝑐1 + 𝐶3 𝑠𝑈𝑐3 + 𝐶2 𝑠𝑈𝑐2 𝑅1 + 𝑈𝑐1 𝑈𝑐1 = 𝐶3 𝑠𝑈𝑐3 + 𝐶2 𝑠𝑈𝑐2 𝑅2 + 𝑈𝑐2 𝑈𝑐2 = 𝐶3 𝑠𝑈𝑐3 𝑅3 + 𝑈𝑐3 𝑈 = 𝑅1 𝐶1 𝑠 + 1 𝑈𝑐1 + 𝑅1 𝐶3 𝑠𝑈𝑐3 + 𝑅1 𝐶2 𝑠𝑈𝑐2 𝑈𝑐1 = 𝑅2 𝐶2 𝑠 + 1 𝑈𝑐2 + 𝑅2 𝐶3 𝑠𝑈𝑐3 𝑈𝑐2 = 𝑅3 𝐶3 𝑠 + 1 𝑈𝑐3 𝑈 = 𝑅1 𝐶1 𝑠 + 1 𝑈𝑐1 + 𝑅1 𝐶3 𝑠𝑈𝑐3 + 𝑅1 𝐶2 𝑠 𝑅3 𝐶3 𝑠 + 1 𝑈𝑐3 𝑈𝑐1 = 𝑅2 𝐶2 𝑠 + 1 𝑅3 𝐶3 𝑠 + 1 𝑈𝑐3 + 𝑅2 𝐶3 𝑠𝑈𝑐3 𝑈 = 𝑅1 𝐶1 𝑠 + 1 𝑅2 𝐶2 𝑠 + 1 𝑅3 𝐶3 𝑠 + 1 + 𝑅2 𝐶3 𝑠 𝑈𝑐3 + 𝑅1 𝐶3 𝑠𝑈𝑐3 + 𝑅1 𝐶2 𝑠 𝑅3 𝐶3 𝑠 + 1 𝑈𝑐3 𝑈= 𝑅1 𝐶1 𝑠 + 1 𝑅2 𝐶2 𝑠 + 1 𝑅3 𝐶3 𝑠 + 1 + 𝑅1 𝐶1 𝑠 + 1 𝑅2 𝐶3 𝑠 + 𝑅3 𝐶3 𝑠 + 1 𝑅1 𝐶2 𝑠 + 𝑅1 𝐶3 𝑠 𝑈𝑐3 𝑈𝑐3 1 𝐺 𝑠 = = 𝑈 𝑅1 𝐶1 𝑠 + 1 𝑅2 𝐶2 𝑠 + 1 𝑅3 𝐶3 𝑠 + 1 + 𝑅1 𝐶1 𝑠 + 1 𝑅2 𝐶3 𝑠 + 𝑅3 𝐶3 𝑠 + 1 𝑅1 𝐶2 𝑠 + 𝑅1 𝐶3 𝑠 𝑈𝑐3 1 𝐺 𝑠 = = 𝑈 𝑇1 𝑠 + 1 𝑇2 𝑠 + 1 𝑇3 𝑠 + 1 + 𝑇1 𝑠 + 1 𝑅2 𝐶3 𝑠 + 𝑇3 𝑠 + 1 𝑅1 𝐶2 𝑠 + 𝑅1 𝐶3 𝑠 𝑘 = 1; 𝑇1 = 𝑅1 𝐶1 ; 𝑇2 = 𝑅2 𝐶2 ; 𝑇3 = 𝑅3 𝐶3 Strona 17 𝑈𝑐3 1 𝐺 𝑠 = = 𝑈 𝑇1 𝑇2 𝑇3 𝑠 3 + 𝑇1 𝑇2 + 𝑇1 𝑇3 + 𝑇2 𝑇3 + 𝑅1 𝐶2 𝑇3 + 𝑅2 𝐶3 𝑇1 𝑠 2 + 𝑇1 + 𝑇2 + 𝑇3 + 𝑅1 𝐶2 + 𝑅1 𝐶3 + 𝑅2 𝐶3 𝑠 + 1 Wersja uproszczona: 1 𝐺 𝑠 = 𝑇1 𝑠 + 1 𝑇2 𝑠 + 1 𝑇3 𝑠 + 1 Charakterystyka skokowa: 1 1 𝑌= 𝑇1 𝑠 + 1 𝑇2 𝑠 + 1 𝑇3 𝑠 + 1 𝑠 1 𝑇1 𝑇2 𝑇3 1 𝑌= 1 1 1 𝑠+𝑇 𝑠+𝑇 𝑠+𝑇 𝑠 1 2 3 𝐴 𝐵 𝐶 𝐷 𝑌= + + + 𝑠 1 1 1 𝑠+𝑇 𝑠+𝑇 𝑠+𝑇 1 2 3 𝐴=1 𝑇12 𝐵= 𝑇3 − 𝑇1 𝑇1 − 𝑇2 𝑇22 𝐶= 𝑇3 − 𝑇2 𝑇2 − 𝑇1 𝑇32 𝐷= 𝑇1 − 𝑇3 𝑇3 − 𝑇2 1 𝑇12 1 𝑇22 1 𝑇32 1 𝑌= + + + 𝑠 𝑇3 − 𝑇1 𝑇1 − 𝑇2 1 𝑇3 − 𝑇2 𝑇2 − 𝑇1 1 𝑇1 − 𝑇3 𝑇3 − 𝑇2 1 𝑠+ 𝑠+ 𝑠+ 𝑇1 𝑇2 𝑇3 𝑇21 𝑡 𝑇22 𝑡 𝑇23 𝑡 − − − 𝑦 =1+ 𝑒 𝑇1 + 𝑒 𝑇2 + 𝑒 𝑇3 𝑇3 − 𝑇1 𝑇1 − 𝑇2 𝑇3 − 𝑇2 𝑇2 − 𝑇1 𝑇1 − 𝑇3 𝑇3 − 𝑇2 Przykłady: układ drugiego rzędu oscylacyjny R i L U C Uc Strona 18 𝑢 = 𝑖𝑅 + 𝑢𝐿 + 𝑢𝑐 𝑑𝑢𝑐 𝑖=𝐶 𝑑𝑡 𝑑𝑖 𝑢𝐿 = 𝐿 𝑑𝑡 𝑈 = 𝐼𝑅 + 𝑈𝐿 + 𝑈𝑐 𝐼 = 𝐶𝑠𝑈𝑐 𝑈𝐿 = 𝐿𝑠𝐼 𝑈 = 𝑅 + 𝐿𝑠 𝐼 + 𝑈𝑐 𝐼 = 𝐶𝑠𝑈𝑐 𝑈 = 𝑅𝐶𝑠 + 𝐿𝐶𝑠 2 + 1 𝑈𝑐 𝑈𝑐 1 𝐺 𝑠 = = 𝑈 𝐿𝐶𝑠 2 + 𝑅𝐶𝑠 + 1 𝑘 = 1; 𝑇1 = 𝐿𝐶; 𝑇2 = 𝑅𝐶 lub 1 𝑈𝑐 𝐿𝐶 𝐺 𝑠 = = 𝑈 𝑅 1 𝑠 2 + 𝐿 𝑠 + 𝐿𝐶 1 𝑅 𝐶 𝑘 = 1; 𝜔0 = ; 𝜉= 𝐿𝐶 2 𝐿 0 < 𝜉 < 1 𝑤𝑠𝑝ół𝑐𝑧𝑦𝑛𝑛𝑖𝑘 𝑡ł𝑢𝑚𝑖𝑒𝑛𝑖𝑎, 𝑒𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡 𝑜𝑠𝑐𝑦𝑙𝑎𝑐𝑦𝑗𝑛𝑦 𝜉>1 𝑒𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡 𝑖𝑛𝑒𝑟𝑐𝑦𝑗𝑛𝑦 𝑑𝑟𝑢𝑔𝑖𝑒𝑔𝑜 𝑟𝑧ę𝑑𝑢 Wersja uproszczona: 𝑘𝜔02 𝐺 𝑠 = 𝑠 2 + 2𝜉𝜔0 s + 𝜔02 Charakterystyka skokowa: 𝑘𝜔02 1 𝑌= 2 2∙𝑠 𝑠 + 2𝜉𝜔0 s + 𝜔0 𝐴 𝐵𝑠 + 𝐶 𝑌= + 2 𝑠 𝑠 + 2𝜉𝜔0 s + 𝜔02 𝐴=𝑘 𝐵 = −𝑘 𝐶 = −2𝑘𝜉𝜔0 Strona 19 𝑘 𝑠 + 2𝜉𝜔0 𝑌= −𝑘 2 𝑠 𝑠 + 2𝜉𝜔0 s + 𝜔02 𝑘 𝑠 + 2𝜉𝜔0 𝑌= −𝑘 𝑠 𝑠 + 𝜉𝜔0 2 − 𝜉 2 𝜔02 + 𝜔02 𝑘 𝑠 + 2𝜉𝜔0 𝑌= −𝑘 𝑠 𝑠 + 𝜉𝜔0 2 + 𝜔02 1 − 𝜉 2 𝑘 𝑠 + 𝜉𝜔0 𝜉𝜔0 𝑌= −𝑘 2 −𝑘 𝑠 2 𝑠 + 𝜉𝜔0 + 𝜔0 1 − 𝜉 2 𝑠 + 𝜉𝜔0 + 𝜔02 1 − 𝜉 2 2 𝑘 𝑠 + 𝜉𝜔0 𝑘𝜉 𝜔0 1 − 𝜉 2 𝑌= −𝑘 − 𝑠 𝑠 + 𝜉𝜔0 2 + 𝜔02 1 − 𝜉 2 2 1 − 𝜉 2 𝑠 + 𝜉𝜔0 2 + 𝜔0 1 − 𝜉 2 𝑘𝜉 𝑦 = 𝑘 − 𝑘𝑒 −𝜉𝜔 0 𝑡 cos 𝜔0 1 − 𝜉 2 𝑡 − 𝑒 −𝜉𝜔 0 𝑡 sin 𝜔0 1 − 𝜉 2 𝑡 1− 𝜉2 𝜉 𝑦 = 𝑘 − 𝑘𝑒 −𝜉𝜔 0 𝑡 cos 𝜔0 1 − 𝜉 2 𝑡 + sin 𝜔0 1 − 𝜉 2 𝑡 1 − 𝜉2 Asin 𝛼 + 𝛽 = 𝐴 sin 𝛼 cos 𝛽 + Acos 𝛼 sin 𝛽 𝛽 = 𝜔0 1 − 𝜉 2 𝑡 𝛽 = 𝜔0 1 − 𝜉 2 𝑡 𝛽 = 𝜔0 1 − 𝜉 2 𝑡 1 𝐴 sin 𝛼 = 1 𝐴2 sin 𝛼 2 = 1 𝐴2 sin 𝛼 2 + cos 𝛼 2 = 1 𝜉 1 − 𝜉2 𝐴= Acos 𝛼 = 𝜉2 1 − 𝜉2 𝐴2 cos 𝛼 2 = 1 − 𝜉2 1 − 𝜉2 1 − 𝜉2 tan 𝛼 = 𝜉 𝑘 𝑦=𝑘− 𝑒 −𝜉𝜔 0 𝑡 sin 𝜔0 1 − 𝜉 2 𝑡 + 𝛼 1− 𝜉2 Przykłady: układ różniczkujący rzeczywisty k y Y x 𝐹𝑡 = 𝑏𝑥 k y b x 𝐹𝑠 = 𝐹𝑡 𝑘𝑦 = 𝑏 𝑥 − 𝑦 Strona 20 𝑑𝑦 𝑑𝑥 𝑏 + 𝑘𝑦 = 𝑏 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑏𝑠𝑌 + 𝑘𝑌 = 𝑏𝑠𝑋 𝑌 𝑏𝑠 𝐺 𝑠 = = 𝑋 𝑏𝑠 + 𝑘 𝑏 𝑌 𝑠 𝑇𝑑 𝑠 𝐺 𝑠 = = 𝑘 = 𝑋 𝑏 𝑠 + 1 𝑇𝑠 + 1 𝑘 Charakterystyka skokowa: 𝑇𝑑 𝑠 1 𝑌= ∙ 𝑇𝑠 + 1 𝑠 𝑇𝑑 𝑌= 𝑇 1 𝑠+𝑇 𝑇𝑑 − 𝑡 𝑦= 𝑒 𝑇 𝑇 𝑇𝑑 – kd wzmocnienie dynamiczne 𝑇 Przykłady: zawieszenie pojazdu m y k b x 𝐹𝑠 + 𝐹𝑡 = 𝐹𝑚 𝑘 𝑥 − 𝑦 + 𝑏 𝑥 − 𝑦 = 𝑚𝑦 𝑚𝑦 + 𝑏𝑦 + 𝑘𝑦 = 𝑏𝑥 + 𝑘𝑥 𝑚𝑠 2 𝑌 + 𝑏𝑠𝑌 + 𝑘𝑌 = 𝑏𝑠𝑋 + 𝑘𝑋